人教版七年级下册5.3.1 平行线的性质学案设计

这是一份人教版七年级下册5.3.1 平行线的性质学案设计，共43页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

5.3.1 平行线的性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　）

A．112° B．110° C．108° D．106°
2．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ）

A．19° B．38° C．42° D．52°
3．如图，若直线a∥b，那么∠x=（　　）

A．64° B．68° C．69° D．66°
4．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°
5．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（ ）

A．25° B．35° C．45° D．50°
6．把一块直尺与一块含的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．124°
7．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　)

A．55° B．60° C．65° D．70°
8．如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）

A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
10．如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）

A．122° B．151° C．116° D．97°
11．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是(　　)

A．70° B．60° C．55° D．50°
13．一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（　 　）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°
14．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）

A．102° B．112° C．120° D．128°
15．如图，桌面上有木条b固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（ ）

A．20 B．30 C．70 D．80
16．如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（ ）

A．78° B．132° C．118° D．112°
17．如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是( )

A． B． C． D．
18．如图，∠B=∠C，∠A=∠D，下列结论：①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC=∠BND，其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．②③④ C．③④ D．①②③④
19．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
20． 如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，BC=3cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　）

A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
21．如图，直线∥，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )

A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
22．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（ ）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段CD的长度
23．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）

A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积
24．如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中与△ABD面积相等的三角形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二、填空题
25．如图，，设，那么，，的关系式______．

26．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．

27．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．

28．（2017启正单元考）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．

29．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为_____．

30．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是__________

31．如图，已知，=____________

32．如图，已知，，则________.

33．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠A＝110°，则∠AEC＝_____°．

34．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为_____．

35．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°.有下列结论：①∠BOE＝(180－a)°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF.其中正确的结论是________(填序号)．

36．观察下列图形：已知在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：_________度．

37．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度．

38．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．

39．如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC＝________°.

40．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则_________．

41．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于_____．

42．如图，AD∥BC，∠D=100°，CA平分∠BCD，则∠DAC=________度．

43．如图，∠AOB=40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE=__度．

44．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝_____．

45．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有________对.

46．如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠B＝∠5，③∠3＝∠4，④∠5＝∠D，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AD∥BC的条件是______(填序号)；能够得到AB∥CD的条件是_______．(填序号)

47．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为______．

48．如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是______．

49．如图,直线a∥b,点A,B位于直线a上,点C,D位于直线b上,且AB∶CD=1∶2,若三角形ABC的面积为6,则三角形BCD的面积为__________. 

50．如图，直线a∥b，点A、B位于直线a上，点C、D位于直线b上，且AB：CD＝1：2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为_____．


三、解答题
51．如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．



52．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，，交BC于点F，AE平分求证：DF平分
证明：平分已知
( )


故 ( )

( )
并且 ( )
( )
平分 ( )

53．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．









54．如图，已知∠1，∠2互为补角，且∠3=∠B，
(1)求证：∠AFE=∠ACB
(2)若CE平分∠ACB，且∠1=80°，∠3=45°，求∠AFE的度数.






55．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．

（1）填空：∠BAN=______°；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．






参考答案
1．D
【详解】
分析：由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
详解：∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选D．
点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
2．D
【详解】
试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．

考点：平行线的性质；余角和补角．
3．A
【详解】
试题解析：令与130°互补的角为∠1，如图所示．

∵∠1+130°=180°，
∴∠1=50°．
∵a∥b，
∴x+48°+20°=∠1+30°+52°，
∴x=64°．
故选A.
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线间的折线问题以及角的计算，解题的关键是：利用“两平行线间的折线所成的角之间的关系-左边角之和等于右边角之和”规律做题．
4．B
【详解】
过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
解：

过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
5．D
【详解】
试题分析：∵CD∥EF，∠C=∠CFE=25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE=2∠CFE=50°，又∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE=50°，故选D．
考点：平行线的性质．
6．D
【分析】
根据角的和差可先计算出∠AEF，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠2的度数．
【详解】
解：由题意可知AD//BC，∠FEG=90°，
∵∠1=34°，∠FEG=90°，
∴∠AEF=90°-∠1=56°，
∵AD//BC，
∴∠2=180°-∠AEF=124°，
故选：D．
【点拨】本题考查平行线的性质．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补并能正确识图是解题关键．
7．C
【分析】
首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数．
【详解】



过点A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l1∥l2，
∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，
∵∠1=105,∠2=140 ，
∴∠4=75,∠5=40，
∵∠4+∠5+∠3=180，
∴∠3=65.
故答案选：C.
【点拨】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
8．C
【详解】
解析：（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（已知） ∴（垂直的定义）
∴
∴即平分
∵（已知） ∴（垂直的定义）
∴，∴
，，所以④错误；故答案为C．
9．A
【详解】
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】如图，AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故选A．

【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
10．B
【详解】
试题分析：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．
故选B．
考点：平行线的性质．

11．A
【详解】
分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．
详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．
故选A．

点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
12．A
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．
考点：平行线的性质．

13．A
【分析】
根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【详解】
如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2．
故选A．

14．A
【分析】
根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠EFC=154°（图a），
∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），
∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
故选：A．
【点拨】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．
15．B
【详解】
如图当a逆时针旋转至c位置时与b平行，旋转角为∠3，

∵c∥b，∴∠2=∠1=70°，
∵∠1+∠3=100°，∴∠3=30°.
∴n=30.
故选B.
点睛：本题关键在于结合旋转与平行线的性质解题，并且要注意旋转角的范围.
16．D
【分析】
根据补角的性质、对角的性质，再进行代换可以求出∠2－∠3的度数.
【详解】
延长直线c与b相交，



令∠2的补角是∠4，
则∠4=180º-∠2，
令∠3的对顶角是∠5，
则∠3=∠5，
∵a∥b，
∴∠6=∠1=68°.
又∠4+∠5=∠6.
∴（180º-∠2）+∠3=68°
即：∠2-∠3= 112°
【点拨】本题考查了补角的性质、对角的性质等知识点，熟练掌握是本题的解题关键.
17．B
【分析】
根据内错角相等，两直线平行，得AB∥CE，再根据性质得∠B=∠3.
【详解】
因为∠1=∠2，
所以AB∥CE
所以∠B=∠3=

故选B
【点拨】熟练运用平行线的判定和性质.
18．A
【详解】
分析：根据平行线的判定与性质分析判断.
详解：①因为∠B＝∠C，所以AB∥CD，则①正确；
②因为AB∥CD，所以∠A＝∠AEC，
因为∠A＝∠D，所以∠AEC＝∠D，所以AE∥DF，则②正确；
③不能得到∠AMB是直角，所以③错误；
④因为AE∥DF，所以∠AMC＝∠FNC，
因为∠FNC＝∠BND，所以∠AMC＝∠BND，则④正确.
故选A.
点睛：本题考查了对顶角的性质及平行线的判定与性质，性质的题设是两条直线平行，结论是同位角相等，或内错角相等或同旁内角互补，是由直线的位置关系(平行)到角的数量关系的过程；判定与性质正好相反，是对直线是否平行的判定，因而角之间的数量关系(同位角相等，内错角相等，同旁内角互补)是题设，两直线平行是结论，是一个由角的数量关系到平行的过程．
19．B
【分析】
根据两种三角形的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案
【详解】
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A错误．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正确，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C错误，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D错误．
故选B

【点拨】此题考查平行线的判断，解题关键在于根据三角形的度数，来进行计算
20．B
【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC===4（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC=4cm．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
21．C
【分析】
根据等底同高的三角形面积相等即可解题.
【详解】
∵平行线之间的距离是相等的,,
∴以BC为底边的三角形△ABC和△DBC等底同高,
∴△DBC的面积等于△ABC的面积等于10,
故选C.
【点拨】本题考查了三角形的面积,属于简单题,明确等底同高的三角形面积相等是解题关键.
22．A
【解析】
分析：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案.
详解：∵a∥b，AP⊥BC
∴两平行直线a、b之间的距离是AP的长度
∴根据平行线间的距离相等
∴直线a与直线b之间的距离AP的长度
故选A.
点睛：本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义.
23．D
【分析】
根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选D．
【点拨】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
24．C
【分析】
根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；
【详解】
解：∵AE∥BD，
∴S△ABD=S△BDE，
∵DE∥BC，
∴S△BDE=S△EDC，
∵AB∥CD，
∴S△ABD=S△ABC，
∴与△ABD面积相等的三角形有3个，
故选C．
【点拨】本题考查平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．
【分析】
过作，过作，根据平行线的性质可知，然后根据平行线的性质即可求解；
【详解】
如图，过作，过作，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；
26．120
【详解】
分析：先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案．
详解：如图，过点B作BF∥CD，

∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°．
故答案为120．
点睛：此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
27．48°
【分析】
将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，

∵AB∥CD，∠B＝75°，
∴∠EFC＝∠B＝75°，
又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点拨】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
28．12
【分析】
由角平分线与平行线易得∠EBG=∠EGB，从而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根据EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案．
【详解】
∵BG平分∠EBC
∴∠EBG=∠GBC
∵ED∥BC
∴∠EGB=∠GBC
∴∠EBG=∠EGB
∴EB=EG
同理可得DF=DC
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12
故答案为：12．
【点拨】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
29．55°
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，可得∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE＝20°，∠ADE＝∠CDE＝35°，进而求得∠E的度数．
【详解】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC=40°，∠BAD＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC=20°，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC=35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=20°+35°=55°.
故答案为55°．

【点拨】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确做出辅助线是解题的关键．本题也考查了数形结合的数学思想.
30．150°
【详解】
过点B作BE∥AD，

∵AD∥CF，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠1=∠A=120°，∠2+∠C=180°，
∵∠ABC=150°，∠1+∠2=∠ABC，
∴∠2=30°，
∴∠C=150°．
考点：平行线性质
31．
【详解】
试题解析：如图，

过E点作EF∥AB，
∵AB∥CD
∴EF∥AB∥CD
∴∠ABE+∠FEB=180°
∠DCE=∠FEC
∵∠ABE=120°, ∠DCE=25°
∴∠BEF=60°∠FEC=25°
∴∠a=60°+25°=85°
32．65°
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【详解】

∵m∥n,∠1=105°，
∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°
∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°
故答案为：65°.
【点拨】此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.
33．35
【分析】
首先根据AB∥CD，得到∠ACD70°，再由CE平分∠ACD，得到∠ACE＝∠DCE＝35°，最后由两直线平行内错角相等，得到∠AEC＝35°．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝=35°，
∴∠AEC＝∠DCE＝35°；
故答案为：35．
【点拨】本题考查了平行线的基本性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记并灵活运用平行线基本性质是解本题的关键．
34．∠A+∠C﹣∠P=180°　
【详解】
如图所示，作PE∥CD，

∵PE∥CD，
∴∠C+∠CPE=180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A=∠APE，
∴∠A+∠C-∠P=180°，
故答案是：∠A+∠C-∠P=180°．
35．①②③
【分析】
根据垂直定义、角平分线的性质、直角三角形的性质求出∠POE、∠BOF、∠BOD、∠BOE、∠DOF等角的度数，即可对①②③④进行判断．
【详解】
①∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠ABO=a°，
∴∠COB=180°﹣a°=（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COB=（180﹣a）°．故①正确；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°﹣（180﹣a）°=a°，
∴∠BOF=∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正确；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠POE=90°﹣∠EOC=a°，
∴∠POE=∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB=90°﹣a°，
而∠DOF=a°，所以④错误．
故答案为①②③．
【点拨】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；解答此题要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．
36．（n+1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°．
【详解】
解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，

∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°
∴（1）∠1+∠2=180°，
（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，
（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，
（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
37．20
【分析】
由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF．
【详解】
解：过点C作CF∥AB，
已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC=180°，
∴∠BCF=60°，
∴∠DCF=20°，
∴∠CDE=∠DCF=20°．

故答案为20．
【点拨】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
38．40°
【分析】
由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】
解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点拨】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
39．40
【详解】
根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．
解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；
故应填40．
“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．
40．65
【分析】
如下图，利用∠1的大小和平行，先求解出∠3的大小，再利用∠3和∠2以及∠2折叠部分的大小总共为平角来求解∠2的大小．
【详解】
如下图

∵∠1=130°，
∴∠3=50°
∵图形是折叠而来，
∴∠2=∠4
∵∠3+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=130°
∴∠2=65°
故答案为：65．
【点拨】本题考查了折叠问题及平行线的性质，折叠部分是完全相同的，即折叠部分的角度是相等的，这是一个隐含条件，解题过程中不可遗漏．
41．80°
【详解】
解：已知a∥b，
∴∠3=∠2=100°，
又∠3+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠3=180°-100°=80°
42．40°
【分析】
本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠D=80°，
又∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠BCD=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°．
【点拨】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
43．130
【分析】
先根据角平分线的性质求出∠AOC和∠BOC的大小，再利用三角形外角的性质求出∠DCP的大小，根据平行线的性质求出∠PCE的大小，进而可得∠DCE的大小.
【详解】
∵∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝20°，又∵CD⊥OA于点D，CE∥OB，∴∠DCP＝90°＋20°＝110°，∠PCE＝∠POB＝20°，∴∠DCE＝∠DCP＋∠PCE＝110°＋20°＝130°.
【点拨】本题考查了相交线与平行线的相关知识，以及角平分线的性质、垂线和三角形内角和、外角相关知识，求出∠DCP和∠PCE的大小是解题的关键.
44．
【详解】
试题分析：如图，过E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两直线互相平行，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC=44°，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE=90°-44°=46°，即可求出∠1=180°-46°=134°.

45．2
【分析】
根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行）推出即可．
【详解】
解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠EFA=∠CDA=90°，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠EDC，
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴DE∥BC，
即图中互相平行的直线有2对，
故答案为2．
【点拨】本题考查了平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
46．①④ ②③⑤
【分析】
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】
解：∵①∠1=∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠B=∠5，
∴AB∥DC；
③∵∠3=∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠5=∠D，
∴AD∥BC；
⑤∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
∴能够得到AD∥BC的条件是①④，能够得到AB∥CD的条件是②③⑤，
故答案为①④，②③⑤．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
47．8
【详解】
在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，因为AE∥BD，所以h=h′，因为△ABD的面积为16，BD=8，所以h=4．则△ACB的面积==8．
48．4
【分析】
由AD∥BC，S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等，则得到S△CBE=S△ABC=5，再利用S△BOC = S△CBE - S△EOC得到结论．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等.
∴S△CBE=S△ABC=5，
∵S△EOC=1，
∴S△BOC = S△CBE - S△EOC =5-1=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
49．12
【详解】
根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算．
解：过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，
∵a∥b，
∴CM=BN，
∴S△ABC=BA⋅CM,S△CDB=CD⋅BN，
∴S△ABC:S△CDB=AB：CD=1：2，
∵△ABC的面积为6，
∴△BCD的面积为12，
故答案为12.
点睛：本题考查平行线间的距离和三角形的面积.牢记平行线间的距离处处相等得出△ABC和△BCD的高相等，从而将两个三角形的面积比转化为对应底之比是解题的关键.
50．12
【解析】
【分析】
根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算．
【详解】
过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，
∵a∥b，
∴CM＝BN，
∴S△ABC＝BA·CM，S△CDB＝CD·BN，
∴S△ABC∶S△CDB＝AB：CD＝1∶2，
∵△ABC的面积为6，
∴△BCD的面积为12，
故答案为12.

【点拨】本题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比．
51．见解析
【分析】
首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．
【详解】
证明：如图，设BC与AE、GF分别交于点M、N.

∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB=∠GNB=90°，
∴AE∥FG，
∴∠A=∠1；
又∵∠2=∠1，
∴∠A=∠2，
∴AB∥CD．
【点拨】本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．
52．角平分线的定义 ；  两直线平行，内错角相等  ； 等量代换 ；  两直线平行，同位角相等  ； 两直线平行，内错角相等 ；  等量代换  ； 角平分线的定义．
【分析】
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论．
【详解】
证明：平分已知
角平分线的定义
已知
两直线平行，内错角相等
故等量代换
已知
，两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等量代换
平分角平分线的定义．
故答案为：角平分线的定义，两直线平行，内错角相等，等量代换，两直线平行，同位角相等，等量代换，角平分线的定义．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
53．（1）证明见解析；（2）∠AED+∠D＝180°，理由见解析；（3）110°
【分析】
（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；
（2）依据平行线的性质，可得出∠FGD＝∠EFG，进而判定AB∥CD，即可得出∠AED+∠D＝180°；
（3）依据已知条件求得∠CGF的度数，进而利用平行线的性质得出∠CEF的度数，依据对顶角相等即可得到∠AEM的度数．
【详解】
（1）∵∠CED＝∠GHD，
∴CB∥GF；
（2）∠AED+∠D＝180°；
理由：∵CB∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
（3）∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，
∴∠CGF＝80°+30°＝110°，
又∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣110°＝70°，
又∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝70°，
∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．

【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
54．（1）详见解析；（2）70°.
【分析】
（1）求出DF∥AB，推出∠3=∠AEF，求出∠B=∠AEF，得出FE∥BC，根据平行线性质求出即可；
（2）求出∠FED=80°-45°=35°，根据平行线性质求出∠BCE=∠FED=35°，求出∠ACB=2∠BCE=70°，根据平行线性质求出即可．
【详解】
解：(1)因为∠1＋∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
所以∠2＝∠FDE，所以DF∥AB，所以∠3＝∠AEF.
因为∠3＝∠B，所以∠B＝∠AEF，所以FE∥BC，
所以∠AFE＝∠ACB.
(2)因为∠1＝80°，所以∠FDE＝180°－∠1＝100°.
因为∠3＋∠FDE＋∠FED＝180°，
所以∠FED＝180°－∠FDE－∠3＝35°.
因为EF∥BC，所以∠BCE＝∠FED＝35°.
因为CE平分∠ACB，
所以∠ACB＝2∠BCE＝70°，
所以∠AFE＝∠ACB＝70°.
【点拨】本题考查的知识点是平行线的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定与性质.
55．（1）60；（2）当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由见解析.
【分析】
（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t=1•（30+t），可得 t=30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t-180）=180，可得t=110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t-120°，∠BCD=120°-∠BCA=t-60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【详解】
（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°×=60°，
故答案为60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°-2t，
∴∠BAC=60°-（180°-2t）=2t-120°，
又∵∠ABC=120°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-t）=t-60°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点拨】考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．