初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试同步测试题

北师大版八年级数学下册

第一章　三角形的证明

单元测试训练卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(    )

A．35°    B．40°    C．45°    D．50°

2. 如图，已知AD是等边三角形ABC的中线，则∠BAD的度数是(    )

A．20°    B．30°      C．45°    D．60°

3. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　　)

A．AC＝AD         B．AC＝BC

C．∠ABC＝∠ABD   D．∠BAC＝∠BAD

4. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(    )

A．5  B．6  C．7  D．25

5. 下列定理中，没有逆定理的是(    )

A．直角三角形的两个锐角互余

B．等腰三角形两腰上的高相等

C．全等三角形的周长相等

D．等边三角形的三个角都相等

6. 如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是(    )．

A．25海里  B．25海里   

C．50海里    D．25海里

7. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，若∠C＝25°，则∠ADB的度数为(    )

A．50°    B．70°    C．75°   D．80°

8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为(    )

A．2  B．2  C．4  D．4

9. 如图，以△ABC的边AB，AC为边向外作等边三角形△ABD与△ACE，线段BE交DC于点F，下列结论：①CD＝BE；②FA平分∠BAC；③∠BFC＝120°，④FA＋FB＝FD.其中正确有(    )

A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(    )

A．2    B．4    C．3    D．

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_______°.

12. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠CDE＝____．

13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是三角形的高，垂足为D，E，若∠CAD＝20°，则∠BCE＝__    _．

14. 如图，△ABC是边长为24的等边三角形，△CDE是等腰三角形，其中DC＝DE＝10，∠CDE＝120°，点E在BC边上，点F是BE的中点，连接AD，DF，AF，则AF的长为____．

,

15. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为P.若∠BAC＝82°，则∠BDC＝__   __°.

16. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为__________.

三．解答题（共6小题， 56分）

17．(6分) 如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，BC＝4，CD＝3，AB＝13，AD＝12，求证：∠C＝90°.

18．(8分) 如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由．

19．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.

(1)求证：△ABD是等腰三角形；

(2)若∠A＝40°，求∠DBC的度数；

(3)若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

20．(10分) 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．

21．(12分) 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6 cm，△OBC的周长为16 cm.

(1)求线段BC的长；

(2)连接OA，求线段OA的长；

(3)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．

22．(12分) 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：如图①，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．

应用：如图②，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB.求∠APB的度数．

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC的长为5，AB＝3，准外心P在AC边上．试探究PA的长．

参考答案

1-5ABAAC    6-10DACBA

11．82.5

12．15°

13．20°

14．13

15．98

16．130°或90°

17．证明：∵AD⊥BD，AB＝13，AD＝12，∴BD＝5.又∵BC＝4，CD＝3，∴CD2＋BC2＝BD2，∴∠C＝90°

18．解：PC＝PD.理由：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∵OM平分∠AOB，点P在OM上，∴PE＝PF，又∵∠AOB＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠CPD，∴∠EPC＝∠FPD.又∵∠PEC＝∠PFD＝90°，∴△PCE≌△PDF(ASA)，∴PC＝PD

19．解：(1)证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形．(2)∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝(180°－40°)÷2＝70°.∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.(3)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，AD＝BD.∵△CBD的周长为20，∴AC＋BC＝20，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.

20．(1)解：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ.∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.又∵BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ(SAS)．∴AP＝CQ.

(2)解：△PQC是直角三角形．理由如下：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a(a>0)，则PB＝4a，PC＝5a.在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.又由(1)知CQ＝PA，∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.∴△PQC是直角三角形．

21．解：(1)∵l1，l2分别是AB，AC边的垂直平分线，∴DA＝DB，EA＝EC，∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝6 cm.

(2)连接OA，∵l1，l2分别是AB，AC边的垂直平分线，∴OA＝OB，OA＝OC.∵△OBC的周长为16 cm，∴OB＋OC＋BC＝16 cm.∵BC＝6 cm，∴OB＋OC＝10 cm，∴2OA＝10 cm，∴OA＝5 cm.

(3)∴∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠BAD＋∠EAC＝60°，∴∠EAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝60°.

22．解：应用：若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC.∵CD为等边三角形ABC的高，∴AD＝BD，∠PCB＝∠ACB＝30°.∴∠PBC＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝30°.∴PD＝BP.又∵PD2＋BD2＝PB2，∴PD＝BD＝AB，与已知PD＝AB矛盾．∴PB≠PC.同理可得PA≠PC，∴PA＝PB.由PD＝AB，AD＝BD，得PD＝BD.∵∠PDB＝90°，∴∠DPB＝45°.同理，∠APD＝45°.∴∠APB＝90°.探究：∵AB＝3，BC＝5，∴在Rt△ABC中，AC＝＝4.若PB＝PC，设PA＝x，则PC＝PB＝AC－PA＝4－x.在Rt△APB中，AP2＋AB2＝PB2，∴x2＋32＝(4－x)2.∴x＝，即PA＝.若PA＝PC，则PA＝AC＝2.若PA＝PB，则∠PBA＝∠A＝90°，显然不成立．综上，PA的长为2或.