初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试课后复习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试课后复习题，共16页。试卷主要包含了在下列条件，如图，已知等内容，欢迎下载使用。
1．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．7cmB．9cmC．7cm或12cmD．12cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8B．1C．2D．4
3．在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
4．如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．50°B．75°C．80°D．105°
5．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（ ）
A．2B．3C．4D．2
7．如图，BE，CE分别平分∠ABC，∠ACD，EF∥BC，交AB于点F，交AC于点G，若BF＝7，CG＝5，则FG长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
8．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（ ）厘米．
A．16B．18C．26D．28
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知：a、b是等腰三角形ABC的两边长，且满足（a﹣5）2+|b﹣6|＝0，则△ABC的周长为 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝ cm．
11．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝ ．
12．如图，点O在△ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度．
13．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
15．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，∠CDE＝20°，则∠BAD的大小为 ．
16．如图，△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，BC＝13cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 cm．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．
（1）求∠ADE的度数；
（2）△ADF是正三角形吗？为什么？
（3）求AB的长．
19．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
20．已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．
（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝ 度；
（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，
解得x＝17，
此时三边长7cm、7cm、17cm，
∵7+7＜17
∴此三角形不成立；
若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得
7+x+x＝31，
解得x＝12，
此时三边长7cm、12cm、12cm．
答：该等腰三角形的腰长为12cm．
故选：D．
2．解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
3．解：∵点P到△ABC的三边的距离相等，
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
4．解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣20°﹣30°＝130°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝30°，
∴∠PAQ＝130°﹣20°﹣30°＝80°，
故选：C．
5．解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180，
解得：x＝18°，
∴∠5＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
6．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝，
故选：C．
7．解：∵BE，CE分别平分∠ABC，∠ACD，
∴∠ABE＝∠DBE，∠ACE＝∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠ABE＝∠FEB，∠FEC＝∠DCE，
∴FB＝FE，GC＝GE，
∴FG＝EF﹣GE＝FB﹣CG＝7﹣5＝2．
故选：A．
8．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵（a﹣5）2+|b﹣6|＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
（1）若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、6，
能组成三角形，周长为5+5+6＝16；
（2）若5是底边长，则三角形的三边长为：5、6、6，
能组成三角形，
周长为5+6+6＝17．
故答案为：16或17．
10．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90°
∴∠EAC＝∠B
∵AB＝AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm．
故填7．
11．解：延长BD交AC于E，如图，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠ABD＝∠AED，
∴△ABE为等腰三角形，
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△AED，S△CBD＝S△CED，
∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6．
故答案为：6．
12．解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A
＝90°+×58°
＝119°．
故答案为：119．
13．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PE＝PF＝PD＝5，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD•AB+PE•BC+PF•AC
＝（AB+BC+AC）
＝×20
＝50，
故答案为：50．
14．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
15．解：∵∠ADC是三角形ABD的外角，∠AED是三角形DEC的一个外角，∠CDE＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC，∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠ADE+20°，∠AED＝∠C+20°，
∵AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝AE，∠CDE＝20°，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+20°，
∴∠C+∠BAD＝∠C+20°+20°，
∴∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
16．解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，如图，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PD＝PE＝PF，
∵S△PAB+S△PBC+S△PAC＝S△ABC，
∴•AB•PE+•BC•PD+•PF•AC＝•AB•AC，
即×5×PE+×13×PD+×12×PF＝×5×12，
∴（5+12+13）PD＝60，解得PD＝2（cm）．
故答案为2．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
18．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝×（180°﹣∠B）＝75°，
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°；
（2）△ADF是正三角形，
理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，
∴DF＝CF，
∵∠C＝30°，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠ADF＝60°，
即∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，
∴△ADF是正三角形；
（3）∵CD的垂直平分线MF，
∴∠FMC＝90°，
∵∠C＝30°，MF＝2，
∴FC＝2MF＝4，
∵DF＝FC，
∴DF＝4，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+4＝8，
∵AB＝AC，
∴AB＝8．
19．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
20．解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，
∴∠ABY＝130°，
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB＝20°，∠EBA＝∠YBA＝65°，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，
故答案为：45；
（2）∠ACB的大小不变化．
理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝∠YBA﹣∠OAB＝（∠YBA﹣∠OAB），
∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°，
即：∠ACB的大小不发生变化．
21．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
22．（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．