初中数学第六章 实数综合与测试练习

这是一份初中数学第六章 实数综合与测试练习，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第6章：实数 练习题

一、单选题
1．（2021·云南昆明·）5的平方根是（       ）
A． B． C． D．25
2．（2021·云南曲靖·）16的算术平方根是（       ）
A． B． C．4 D．
3．（2021·云南五华·）若与的和是单项式，则的平方根是（       ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2021·云南腾冲·）若方程是关于的一元一次方程则代数式的值为（       ）
A． B． C． D．
5．（2021·云南盘龙·）下列等式正确的是（   ）
A． B． C． D．
6．（2021·云南西山·）下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·云南临沧·）下列运算中，正确的是（　　）
A．＝3 B．＝0.1
C．2a+3a＝5a2 D．2a2b﹣2ab2＝0
8．（2021·云南峨山·）下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（     ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2021·云南砚山·）实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简代数式|a+b|−a的结果是(   )

A．2a+b B．2a C．a D．b
10．（2021·云南官渡·）下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（     ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021·云南德宏·）下列实数是无理数的是（       ）
A．3.14 B． C． D．
12．（2021·云南临沧·）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D．|a+1|＜|b+1|
13．（2021·云南峨山·）估计的值应在（        ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
14．（2021·云南五华·）下列实数是无理数的是（       ）
A． B．3.1415 C． D．－2
15．（2021·云南西双版纳·）已知下列各数：，3.14159265，﹣3，，π，，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数一共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2021·云南·祥云）若，则估计的值所在的范围是（       ）
A． B． C． D．
17．（2021·云南曲靖·）在﹣2，，，3.14，，，2.010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个），这7个数中，无理数共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
18．（2021·云南华坪·）4的平方根是 ．
19．（2021·云南昭通·）25的算术平方根是  _______  .
20．（2021·云南西山·）化简：______．
21．（2021·云南官渡·）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是______．
22．（2021·云南·祥云）已知，则________．
23．（2021·云南·祥云）若，则______．
24．（2021·云南西双版纳·）计算：＝___．
25．（2021·云南德宏·）比较大小：2 ____（用“＞”或“＜”号填空）．
26．（2021·云南官渡·）下列命题中：①带根号的数都是无理数；②直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④已知三条直线，，，若，，则．真命题有______（填序号）．
27．（2021·云南昆明·）写出一个大于1且小于3的无理数是___________．
28．（2021·云南曲靖·）已知x2＝3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是________．

29．（2021·云南保山·）下列各数，，，3.14，﹣2021，1﹣π，0.121121112…中，无理数的个数有____个．
30．（2021·云南盘龙·）比较大小：______3．（“＞”“＜”或“=”）
31．（2021·云南红塔·）若实数a的相反数是||，则a的值为 ___．
32．（2021·云南德宏·）若规定，计算____．
33．（2021·云南红塔·）下列各数，3.1415，﹣2021，2π，0131131113…（每相邻两个3之间依次多1个1）中，无理数的个数有___个．
三、解答题
34．（2021·云南·祥云）
35．（2021·云南盘龙·）计算：．
36．（2021·云南西山·）计算：|2|．
37．（2021·云南峨山·）计算：
38．（2021·云南峨山·）计算：
39．（2021·云南曲靖·）计算：﹣22×﹣×（﹣1）2021．
40．（2021·云南红塔·）解方程：（1）2x2﹣50＝0；
（2）．
41．（2021·云南西双版纳·）计算：+（﹣1）2021﹣|﹣5|+．
42．（2021·云南红塔·）计算：（﹣1）2020﹣（﹣2）2．
43．（2021·云南五华·）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
44．（2021·云南昭通·）阅读材料：
，即，，
的整数部分为2，的小数部分为．
解决问题：
（1）填空：的小数部分是______；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的立方根．
45．（2021·云南·祥云）阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若，则；
若，则；
若，则．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与的大小．
解：

，
______．
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较与的大小（写出相应的解答过程）．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据平方根的定义判断即可．
【详解】
解：5的平方根是．
故选：C．
【点睛】
本题考查平方根的定义，关键在于牢记定义，注意平方根与算术平方根的区别．
2．C
【解析】
【分析】
直接利用算术平方根的定义即可求解
【详解】
解：∵
∴的算术平方根是：．
故选：C
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，要注意算术平方根、平方根的联系与区别．
3．D
【解析】
【分析】
根据题意可知两个单项式为同类项，求得，代入求得，即可求解．
【详解】
解：根据题意可知：和为同类项
∴，

的平方根为
故答案为D
【点睛】
此题主要考查了同类项的概念，涉及了平方根，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
先整理方程为，由方程是关于的一元一次方程，可得且 解方程与不等式，从而可得答案．
【详解】
解：，

方程是关于的一元一次方程，
且
由




综上：

故选：
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的定义，绝对值的运算，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
根据算术平方根、立方根的定义计算即可．
【详解】
解：A、，此选项正确；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的化简，解题的关键是注意算术平方根是一个非负数，注意任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
6．D
【解析】
【分析】
根据算术平方根的性质和立方根的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】
解：A. ，故该选项错误，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的性质和立方根的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
根据算术平方根，立方根和合并同类项的方法计算求解即可.
【详解】
解：A、＝3，故本选项符合题意；
B、＝0.1，故本选项不符合题意；
C、2a+3a＝5a，故本选项不符合题意；
D、2a2b与2ab2不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根，立方根和合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．C
【解析】
【详解】
分析：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，
所以无理数有2个，
故选C.
点睛：本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.
9．D
【解析】
【分析】
首先根据数轴可以得到a、b的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．
【详解】
由数轴上各点的位置可知：a<0 ∴|a+b|−a=a+b−a=b.
故选D.
【点睛】
此题考查整式的加减，实数与数轴，解题关键在于结合数轴分析a,b的大小.
10．D
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
【详解】
是分数，属于有理数，
，是整数，属于有理数，
无理数有，(相邻两个1之间依次多一个0)， ，，共4个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，(每两个8之间依次多1个0)等形式．
11．C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：3.14，是有理数，是无理数．故选C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12．D
【解析】
【分析】
根据a＜b判断A，根据实数的加减法则判断B，根据实数的乘法法则判断C，根据绝对值的定义判断D．
【详解】
解：A选项，∵a＜b，
∴a﹣b＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
D选项，∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴﹣1＜a+1＜0，1＜b+1＜2，
∴|a+1|＜1，|b+1|＞1，
∴|a+1|＜|b+1|，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，绝对值，实数的运算法则，注意在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．
13．B
【解析】
【详解】
分析：先估算出的范围，再求出的范围，即可求出.
详解：

即

故选B.
14．C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、3.1415是有限小数数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、－2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
15．C
【解析】
【分析】
根据无限不循环小数是无理数即可判断无理数的个数．
【详解】
解：，π，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无理数，共3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解决本题的关键．
16．B
【解析】
【分析】
先估算的范围，再确定的范围，即可解答．
【详解】

，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，解决本题的关键是估算出的范围．
17．C
【解析】
【分析】
根据无理数的三种常见形式求解即可．
【详解】
解：＝2，＝﹣3，
在﹣2，，，3.14，，，2.010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这七个数中，
无理数有：，2.010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个），共有2个．
故选：C．
【点睛】
本题考查无理数的识别，理解无理数的定义以及常见的无理数的形式是解题关键．
18．±2．
【解析】
【详解】
试题分析：∵，∴4的平方根是±2．故答案为±2．
考点：平方根．
19．5
【解析】
【详解】
试题分析：根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
∵52=25， ∴25的算术平方根是5．
考点：算术平方根．
20．5
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义求解即可，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的算术平方根．
【详解】
解：，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．
21．16
【解析】
【分析】
根据一个正数的平方根互为相反数可得出a的值，代入后即可得出这个正数．
【详解】
由题意得+=0，
解得：a=1，
则这个正数为：，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了平方根及解一元一次方程的知识，解题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
22．
【解析】
【分析】
由题意直接根据算术平方根以及绝对值的非负性进行分析计算即可求出答案.
【详解】
解：∵，
∴，
解得
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查算术平方根以及绝对值的性质，熟练掌握算术平方根以及绝对值的非负性是解题的关键.
23．
【解析】
【分析】
利用平方根的定义解答．
【详解】
解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查平方根的定义：一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根，熟记定义是解题的关键．
24．3．
【解析】
【分析】
根据立方根的定义求出立方根，再计算绝对值即可．
【详解】
解：||＝|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了求立方根和绝对值，解题关键是掌握立方根的定义，准确求出立方根．
25．＞
【解析】
【分析】
【详解】
∵≈1.732，2＞1.732，
∴2＞．
故答案为＞．
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，能估算出的值是解答此题的关键．
26．②④
【解析】
【分析】
由无理数的定义、垂线段最短的性质、平行公理、平行线的推论分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：是有理数，带根号的数都是无理数是错误的；则①错误；
直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短；②正确；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；则③错误；
已知三条直线，，，若，，则；④正确；
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了无理数的定义、垂线段最短的性质、平行公理、平行线的推论，解题的关键是熟记所学的知识进行判断．
27．（不唯一）
【解析】
【分析】
根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
【详解】
解：∵1＝，3＝，
∴写出一个大于1且小于3的无理数是．
故答案为：（本题答案不唯一）．
【点睛】
此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质是解答此题的关键．
28．P1或P4
【解析】
【分析】
本题需先解出x等于多少，然后根据在数轴上的表示方法即可求出答案．
【详解】
解：∵x2＝3，
∴x＝，
∴在数轴上与实数x对应的点可能是P1或P4．
故答案为P1或P4．
【点睛】
此题考查开平方，和用数轴表示无理数的并估算无理数大小．
29．3
【解析】
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可求解．
【详解】
解：，
则，，3.14，﹣2021都是有理数，
，1﹣π，0.121121112…都是无理数，共3个；
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
30．＜
【解析】
【分析】
将3化成，然后比较被开方数即可比较大小．
【详解】
解：∵，而＜
∴＜3
故答案为：＜
【点睛】
此题主要考查了实数的大小比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
31．
【解析】
【分析】
根据相反数的定义和绝对值的性质，进行求解即可.
【详解】
解：∵实数a的相反数是
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了相反数的定义和绝对值的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相反数的定义.
32．6
【解析】
【分析】
利用已知的新定义计算即可得到答案．
【详解】
解：，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了新定义下的实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．3
【解析】
【分析】
根据无理数的定义逐个判断即可．
【详解】
解：在，3.1415，﹣2021，2π，0131131113…中，
无理数有、2π，0131131113…（每相邻两个3之间依次多1个1），共有3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了无理数的定义、算式平方根、立方根等知识点，能理解无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有特殊结构的数．
34．1．
【解析】
【分析】
分别利用立方根的定义、平方根的性质、绝对值的意义及乘方的定义进行计算，合并后即可得出结果．
【详解】
解：

．
【点睛】
此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根的定义、平方根的性质、绝对值的意义及乘方的定义是解题的关键．
35．-2
【解析】
【分析】
先根据-1的奇次幂，绝对值的性质，平方根的定义，立方根的定义逐个计算，再根据有理数的加减法法则计算.
【详解】
解：原式
.
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.
36．
【解析】
【分析】
利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义化简，再合并即可．
【详解】
解：原式

【点睛】
本题考查的是求一个数的算术平方根，立方根，以及绝对值，掌握以上知识是解题的关键．
37．1
【解析】
【分析】
根据立方根与算术平方根的的意义以及绝对值的意义计算即可．
【详解】
解：原式= -1+4-2
= 1．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根与算术平方根的的意义以及绝对值的意义是解决本题的关键．
38．
【解析】
【分析】
根据绝对值和实数的运算规则，求解计算即可．
【详解】
解：原式
=
【点睛】
此题考查了绝对值的性质以及实数的有关运算，熟练掌握绝对值的性质以及实数的运算法则是解题的关键．
39．﹣7
【解析】
【分析】
先计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，然后先算乘法，再算加减．
【详解】
解：原式＝
＝﹣2﹣2﹣3
＝﹣7．
【点睛】
本题考查的是有理数的乘方运算，算术平方根与立方根的含义，熟练以上运算的运算法则是解题的关键.
40．(1) x=5或x=-5；（2）x=3.
【解析】
【分析】
（1）先移项，再系数化为1，最后开平方求解；
（2）先将方程两边同时乘以几个分母的最小公倍数约去分母，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【详解】
(1)解：2x2﹣50＝0，
2x2=50，
x2=25，
x=5或x=-5.
（2），
解：去分母可得：，
去括号可得：，
移项合并同类项得：x=3.
【点睛】
本题主要考查平方根的运用和解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握平方根的定义和解一元一次方程的步骤.
41．﹣1．
【解析】
【分析】
根据立方根，算术平方根，绝对值和有理数乘方的计算法则计算求解即可.
【详解】
解：

.
【点睛】
本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值和有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
42．-4
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方，算术平方根和立方根的性质进行计算求解即可得到答案.
【详解】
解：


【点睛】
本题主要考查了有理数的乘方，算术平方根和立方根的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
43．（1）a=5，b=2，c=3   ；（2）±4.
【解析】
【分析】
(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】
(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b-1=16，
∴a=5，b=2，
∵c是的整数部分，
∴c=3，
（2）∵a=5,b=2,c=3,
∴3a-b+c=16，
3a-b+c的平方根是±4．
【点睛】
考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
44．（1）．（2）的立方根．
【解析】
【分析】
（1）根据求无理数的取值范围，进而得实数小数部分；
（2）由得的值，得的值，再进行相应的计算．
【详解】
解：（1），
的整数部分是2，
小数部分是．
故答案为：．
（2），
．
，
，
，
的立方根．
【点睛】
本题考查了实数的整数部分及小数部分，解题的关键是掌握无理数的取值范围，从而求出整数部分和小数部分，求出结果是求立方根的关键．
45．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据即可得到；
（2）直接用，最后判定结果的正负性即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴
故答案为：：
（2）



，

．
【点睛】
本题主要考查了利用作差法比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减运算和合并同类项的计算法则.