【原创】2022届高三二轮专题卷 数学（十六）轨迹方程的求法【学生版+教师版】

1．直接法求轨迹方程

1．已知平面上两定点、，为一动点，满足．

求动点的轨迹的方程．

2．双曲线的两焦点分别是、，其中是抛物线的焦点，

两点、都在该双曲线上．

（1）求点的坐标；

（2）求点的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．

2．定义法求轨迹方程

1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．

2．已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程．

3．一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（    ）

1. 抛物线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支

3．相关点法求轨迹方程

1．点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程．

2．双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程．

3．如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程．

4．参数法求轨迹方程

1．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．

2．设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

1．直接法求轨迹方程

1．【答案】．

【解析】设，

由已知，，，

得，，

∵，∴，整理得，

即动点的轨迹为抛物线，其方程为．

2．【答案】（1）；（2）直线或椭圆，除去两点、．

【解析】（1）由得，焦点．

（2）因为A、B在双曲线上，所以，．

①若，则，点的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当时，与重合；当时，A、B均在双曲线的虚轴上，

故此时的轨迹方程为；

②若，则，此时，的轨迹是以A、B为焦点，，，中心为的椭圆，

其方程为，

故的轨迹是直线或椭圆，除去两点、．

2．定义法求轨迹方程

1．【答案】，椭圆．

【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，

将圆方程分别配方得，，

当与相切时，有         ①

当与相切时，有        ②

将①②两式的两边分别相加，得，

即   ③

移项再两边分别平方得           ④

两边再平方得，整理得，

所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆．

2．【答案】．

【解析】设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得，．

．

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12，

故所求轨迹方程为．

3．【答案】D

【解析】令动圆半径为R，则有，则，满足双曲线定义，

故选D．

3．相关点法求轨迹方程

1．【答案】．

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0），

则由M为线段AB中点，可得，

即点B坐标可表为，

，，

，

．

2．【答案】．

【解析】设点坐标各为，

∴在已知双曲线方程中，∴，

∴已知双曲线两焦点为，

∵存在，∴，

由三角形重心坐标公式有，即，

∵，∴，

已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有，

即所求重心的轨迹方程为．

3．【答案】．

【解析】设，则．

在直线上，①

又，得，即．②

联解①②得，

又点在双曲线上，，

化简整理得，此即动点的轨迹方程．

4．参数法求轨迹方程

1．【答案】．

【解析】设，直线的斜率为，则直线的斜率为．

直线OA的方程为，

由，解得，即，

同理可得．

由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程．

2．【答案】M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

【解析】解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y) (x≠0)，直线AB的方程为x=my+a，

由OM⊥AB，得，由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0，

所以，，

所以，由OA⊥OB，得，所以，

故，用代入，得，

故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

解法二：设OA的方程为，代入得，

则OB的方程为，代入得，

∴AB的方程为，过定点，

由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外），

故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

解法三：设，OA的方程为，代入得，

则OB的方程为，代入得，

由OM⊥AB，得：M既在以OA为直径的圆……①上，

又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），

①+②得，

故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．