【原创】2022届高三二轮专题卷 数学（十九）函数的性质【学生版+教师版】

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   1．函数的单调性1．设实数，，，那么的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，令，，，令，，在上是减函数，，在上是减函数，又，，即，故选C．2．若，则一定有（    ）A． B．C．  D．【答案】C【解析】令 ，则单调递增，当时，，则存在，使得，则时，，此时单调递减；时，，此时单调递增，若，但无法确定处在还是内，故大小关系不定，即大小不定，即大小关系不定，故A，B不正确；令，则，当0<x<1时，，故f(x)在(0，1)上单调递减，因为，所以，即，所以，故选C．3．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为且，有，所以函数在上单调递增，由为偶函数，得函数在上单调递减，因为，，所以，即，故选A．4．若对任意的，且，都有成立，则m的最小值是（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由函数定义域得，假设，因为，所以，两边同除整理得，构造函数，则单调递减，，令，得，当时，，所以在单调递减，所以，所以m的最小值是，故选C． 2．函数的奇偶性1．函数是定义域为的偶函数，当时，，若，则（    ）A．e B． C． D．【答案】C【解析】由题可知，则，得，∴，∴，故选C．2．已知函数是偶函数，则（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由题意可得，因为是偶函数，所以，即，即，所以，由于，故，所以，，故选C．3．已知函数为偶函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，当时，则，即，，∵为偶函数，∴，即，∴，，∴，故选B．4．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，定义域为，又，，所以函数是偶函数，D错误；令，则，A错误；令，则，C错误；故选B．5．已知函数，若，则（    ）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】根据题意，即，所以，故选D．6．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于（    ）A．0 B．10 C． D．【答案】C【解析】令，则，∴f(x)和g(x)在上单调性相同，∴设g(x)在上有最大值，有最小值．∵，∴，∴g(x)在上为奇函数，∴，∴，，∴，，故选C．7．已知是奇函数，则下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】是奇函数，则有，即，故选项A判断正确；选项B判断错误；把函数的图象向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图象，则由函数有对称中心，可知函数有对称中心．选项C：由，可得函数的周期为2．判断错误；选项D：由，可得函数有对称轴．判断错误，故选A．8．设函数定义域为R，若，都为奇函数，则下面结论成立的是（    ）A．为奇函数  B．为偶函数C．  D．为奇函数【答案】D【解析】因为，都为奇函数，即关于和对称，所以，，所以，所以，因为，所以，即，所以为奇函数，故选D．9．已知函数，则（    ）A．2020 B．2021 C．4041 D．4042【答案】C【解析】由题意得：，关于中心对称，，，又，，故答案为C．10．已知函数，给出下列四个命题：（1）在定义域内是减函数；（2）是非奇非偶函数；（3）的图象关于直线对称；（4）是偶函数且有唯一一个零点．其中真命题有___________．【答案】（1）（4）【解析】函数可看成函数与函数的复合函数，（1）函数在R上是增函数，函数在上是减函数，故在定义域内是减函数，真命题；（2），且，故是奇函数，假命题；（3），，若，则，假命题；（4）是奇函数，则是偶函数，且当时，在上是增函数，故，函数有唯一一个零点0，真命题，故答案为（1）（4）． 3．函数的周期性1．函数的定义城为R，且，当时，，则（    ）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】因为，所以的周期为3，所以，故选A．2．已知是定义域为R且周期为2的函数，当时，，则（    ）A． B． C． D．1【答案】D【解析】∵的周期为2，则，又，∴，，故，故选D．3．已知是定义在R上的奇函数，，且，则（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】，∴，所以函数的周期为，则，∴，，，，故选B．4．若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（    ）A．0 B．2 C．4 D．【答案】D【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，又在上的周期为2，∴，，∴，故选D．5．已知函数为定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．2021【答案】B【解析】因为是奇函数，为偶函数，所以，所以的周期为4，，故选B．6．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】令，则，得，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为8，所以，故选A．7．定义在正整数上的函数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】①，②由①②可得，，，所以函数的周期，，故选C．8．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（    ）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为是偶函数，所以，令，则，故，所以，即，所以函数关于直线对称，因为是奇函数，所以，且函数关于对称，又因函数是由函数向右平移1个单位得到，所以关于对称，所以，所以，所以，则，即，所以函数的一个周期为，故有，故①正确；由函数关于直线对称，，所以，所以，故②正确；因为，因为关于对称，所以，所以，故③正确；又，故④正确，所以正确的个数为4个，故选D．4．函数性质综合1．函数满足，函数的图象关于点对称，则（    ）A． B． C． D．0【答案】D【解析】∵关于对称，∴关于对称，即是奇函数，令，得，即，解得，∴，即，∴，即函数的周期是12，∴，故选D．2．定义域为R的偶函数在上单调递减，当不等式成立时，实数a的取值范围是（    ）A．或  B．或C．  D．【答案】B【解析】因为为R上的偶函数，则等价于，又因为在上单调递减，所以，两边平方得，则且，得或，故选B．3．已知函数，则不等式的解集为（    ）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】因为，，且，所以是偶函数．因为，当时，，所以在上单调递增．又因为是偶函数，所以在上单调递减．所以，即，所以，即，解得或，故选D．4．已知，，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，（当且仅当时等号成立）则是上单增函数，又，即，则为上奇函数，故原不等式转化为，即，即，故选A．5．已知函数，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定义域满足，由，所以在上恒成立，所以的定义域为，，则，所以，即为奇函数．设，由上可知为奇函数．当时，，均为增函数，则在上为增函数，所以在上为增函数．又为奇函数，则在上为增函数，且，所以在上为增函数．又在上为增函数，在上为减函数，所以在上为增函数，故在上为增函数，由不等式，即，所以，则，故选B．6．已知函数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数，设，则有，解可得，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为增函数，而在上为增函数，故在区间上为增函数，，解可得，即不等式的解集为，故选C．7．设函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】由题意得的定义域为，因为，所以是偶函数．当时，，单调递增；当时，单调递减．又，，则有或，解得或，故答案为．8．已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论：①图象关于对称；②图象关于直线对称；③；④在区间单调递减，其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【解析】函数为奇函数得，所以图象关于对称；因为，所以，所以根据周期性得图象关于对称，①正确；因为，所以，即，所以，即图象关于直线对称，②正确；所以，所以③不正确；因为当时，，为单调递增函数，因为图象关于直线对称，在上单调递减，所以由周期性得在区间单调性与上的单调性相同，所以在区间单调递减，④正确，所以，正确题目的顺序号为①②④，故答案为①②④．