2021届西藏拉萨中学高三上学期第五次月考数学（理）试题（含解析）

2021届西藏拉萨中学高三上学期第五次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解二次不等式和指数不等式求得集合，进而根据交集的定义求解．

【详解】由，得

集合，，

则

故选：A

2．已知为虚数单位，且复数满足：，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过运算得出，从而判定出的z的虚部.

【详解】，故的虚部为.

故选：A

【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.对复数的实部，虚部的正确理解是判断答案的关键.

3．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是

A．众数是82 B．中位数是82

C．极差是30 D．平均数是82

【答案】D

【详解】试题分析：A中，82出现的次数最多，所以众数是82，A正确；B中，把数据按大小排列为：65，76，82，82，86，95，中间两个数为82，82，所以中位数是82，B正确；C中，极差是95－65=30，C正确；D中，平均数，D错误，故选D．

【解析】1、众数；2、中位数；3、极差；4、平均数．

4．要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只须将函数y＝sin2x的图象 （    ）

A．向左平移 B．向右平移

C．向左平移 D．向右平移

【答案】D

【分析】根据函数的平移变换原则，即可容易求得结果.

【详解】，

故只需将的图象向右平移即可得到.

故选：.

【点睛】本题考查三角函数的平移变换，属简单题.

5．已知数列为等比数列，，则的值为（    ）

A．16 B．8 C．-8 D．-16

【答案】C

【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；

【详解】解：因为，

所以，又，所以，

所以，

故选：C

6．定积分（    ）

A．e B． C． D．

【答案】A

【分析】利用定积分基本定理求解.

【详解】,

故选：A

7．若满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B．7 C． D．

【答案】D

【分析】画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，从而求出目标函数的最大值．

【详解】

如图作出不等式对应的平面区域，由图可知，平移直线 ，

当直线经过 时的最大值为.

故选: D.

8．若，则的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解．

【详解】∵0＜a＝，b＝log0.51.2＜log0.51＝0，c＝1.20.5＞1.20＝1，

∴b＜a＜c．

故选C．

【点睛】本题考查对数值大小的比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，是基础题．

9．已知为定义在R上的周期函数，其周期为2，且当时，则 的值为（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】D

【分析】先根据周期性得到，由此计算出的值，然后利用周期性将转变为，根据解析式可求得结果.

【详解】因为是定义在上的周期为的周期函数，所以，

所以，所以，

所以时，，

所以，

故选：D.

10．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的

最小值为

A．4 B．6 C．12 D．16

【答案】B

【详解】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即，，所以 ，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B．

11．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，由椭圆的定义可得，结合余弦定理可得，再利用椭圆的离心率公式即可得解.

【详解】设，则，

在中，

，

所以，

所以椭圆的离心率.

故选：A.

12．定义行列式运算，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先用行列式展开法则求出，再由平移公式得到，进而求出的最小值.

【详解】函数，

将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为.

依题意可得，令可得的最小值为.

故选：C.

二、填空题

13．已知，且，则__________．

【答案】

【详解】试题分析：因,故,所以，,应填.

【解析】三角变换及运用．

14．设向量，若向量与向量共线，则λ的值为_________．

【答案】

【分析】利用向量共线坐标公式求解即可．

【详解】因为向量，向量与向量共线，由

所以，得

故答案为：

15．若抛物线的焦点为F，设C上两点的纵坐标分别为，且，则________．

【答案】5

【分析】根据抛物线方程和已知条件求解出的值，再根据抛物线的焦半径公式求解出的值.

【详解】设的横坐标为，因为，

所以，所以，

又因为，

故答案为：.

16．已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图像关于点对称；④函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；其中正确结论是_________________.

【答案】①③

【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．

【详解】由题意．

，①正确；

当时，，在此区间上不单调，②错误；

，是对称中心，③正确；

函数的图像向左平移个单位得到图象解析式是，④错，

所以正确的有①③．

故答案为：①③．

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数性质求解．

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，且满足.

（1）如，求a；

（2）若，，求外接圆的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到， 再由两角和的正弦公式得到，从而得到，再结合求解。

（2）结合（1），结合，得到，再利用余弦定理结合，求得，然后由正弦定理求得，再代入圆的面积公式求解。

【详解】（1）因为，

，

即，

得，

所以.

因为，

所以，

解得，

所以，

又，

由正弦定理，得，

所以.

（2）由（1）知，，，

所以，

所以，

又，，

所以

由正弦定理可得，，

解得

所以外接圆的面积

【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理在解三角形的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．某地为了提高人民的健康意识，增强抵御疫情能力，特举办健康知识大赛．筹划组在该地随机抽取100名居民进行调查，其中60名男居民中对健康知识大赛有兴趣的占，而抽取的女居民中有15人表示对该大赛无兴趣．

（1）完成列联表，并判断是否有99%的把握认为“对健康知识大赛是否有兴趣与性别有关”；

（2）若将频率视为概率，现再从全体受调查者中，采用随机抽样的方法抽取1名居民，抽取4次，设对健康知识大赛有兴趣的人数为X，且每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望和方差．

参考公式：附：，其中．

【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为“对健康知识大赛是否有兴趣与性别有关”；（2）分布列见解析，数学期望为3，方差为．

【分析】（1）根据题中数据可完善列联表，再计算卡方值即可判断；

（2）可得随机变量X的所有可能取值为，且，求得X取不同值时概率，即可得出分布列.

【详解】解：（1）由题意可得列联表：

，

没有99%的把握认为“对健康知识大赛是否有兴趣与性别有关”．

（2）由（1）知对健康知识大赛有兴趣的居民频率为，将频率视为概率，即抽取一名群众对于健康知识大赛有兴趣的概率，

由题意可知，

则随机变量X的所有可能取值为．

，

，

，

，

，

故X的分布列为

，

．

19．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．

（1）证明：平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面；

（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：

在正方形中，，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，平面平面，

所以，

因为在四棱锥中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因为

所以平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，

设，则有，

因为QB=，所以有

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.

20．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线交椭圆于两点，求(为原点)面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1） 根据离心率和椭圆经过点求解；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得和点到直线的距离，然后由求解．

【详解】（1） 根据题意知离心率，即．

因为，

所以，整理得，①

又由椭圆经过点，

可得，即，②

联立①②，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意，易知直线的斜率存在，

设直线的方程为，

则，得，

由，得，

设，

则，

所以

，

点到直线的距离，

所以．

令，则，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

此时的面积的最大值为．

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性.

（2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求得的定义域和导函数，对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）求得的表达式，求得，利用根与系数关系得到的关系式以及的取值范围，将表示为只含的形式，利用构造函数法求得的最小值，从而证得不等式成立.

【详解】(1)由题意得，函数的定义域为，.

当时，，

函数在上单调递增.

当时，令，得.

若，则，此时函数单调递增；

若，则，此时函数单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

(2)，，

.

由得，

，，.

，，

，解得.

.

设，

则，

函数在上单调递减.

当时，.

时，成立.

【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.

22．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

【答案】（1）；；（2）.

【分析】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.

【详解】（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.

（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，

则，解得：，所求圆的半径，

所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为.

【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.

23．已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）先将函数写成分段函数的形式，再由分类讨论的方法，即可得出结果；

（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，再由柯西不等式得到，进而可得出结果.

【详解】（Ⅰ）由题意， ，

所以等价于或或.

解得：或，所以不等式的解集为；

（Ⅱ）由(1)可知,当时, 取得最小值, 

所以，即，

由柯西不等式得，

整理得，

当且仅当时,  即时等号成立.

所以的最小值为.

【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型.