2020-2021学山东省济南外国语学校年高三10月月考数学试题含解析

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山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考数学试题 评卷人得分  一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合，，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，以及一元二次不等式和分式不等式的解法，其中解答中根据一元二次不等式和分式不等式的解法求得集合是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2．已知为虚数单位，，复数，则A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数的除法运算，可得，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，得，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．命题“”的否定是A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式书写.【详解】命题“”的否定是，.故选C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.4．已知向量，若，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量的坐标运算，求得，再结合，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，因为，可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及共线向量的坐标表示及应用，其中解答中熟记向量的共线的坐标表示，列出方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.5．二项式的展开式中项的系数为10，则（　　）A．8 B．6 C．5 D．10【答案】C【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数为3，即可求出的值．【详解】由二项式的展开式的通项得：令 ，得，则 ，所以，解得，故选C．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．6．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质，结合中间量法可得答案；【详解】解：因为，，所以，，，所以，故选：A.7．已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】圆关于直线对称即说明直线过圆心，即可求出，即可由中点弦求出弦长.【详解】依题意可知直线过圆心，即，．故．圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为．故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。8．用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为A． B． C． D．【答案】D【分析】画出正三棱柱内接于球的直观图，设底面边长，由球的体积公式得，再由勾股定理得正三棱柱的，代入体积公式，利用基本不等式可求得．【详解】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为．设底面边长，则，，等号成立当且仅当，故选D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁． 评卷人得分  二、多选题9．下列说法正确的是A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）=0.5【答案】BD【分析】对A，方差应变为原来的a2倍；对B，x增加1个单位时计算y值与原y值比较可得结论；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；根据正态曲线关于x=1对称即可判断.【详解】对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故错误.对于选项B：若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确.对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误.对于选项D：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），由于正态曲线关于x=1对称，则P（ξ＞1）=0.5，正确.故选：BD【点睛】本题考查样本数据方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，属于基础题.10．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABCD【分析】根据余弦定理列方程得出a，c的关系，再计算离心率.【详解】由双曲线的定义知：，由可得，在中，由余弦定理可得：，解得或，或，或，又，可得或故选：ABCD【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于基础题．11．已知函数，，则以下结论错误的是（    ）A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，无最大值D．有最小值，无最大值【答案】ABC【分析】根据与的单调性逐个判定即可.【详解】对A, 中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.对B,易得反例,.故不成立.故B错误.对C, 当因为为增函数,且当时,当时.故无最小值,无最大值.故C错误.对D, ,当且仅当即时等号成立. 当时.故有最小值,无最大值.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.12．如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（    ）A．  B．平面C．存在点E，使得平面平面  D．三棱锥的体积为定值【答案】ABD【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可.对C,根据与平面有交点判定即可.对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;在B中,因为,,故,故.故,又有,所以平面,故B正确；在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.  评卷人得分  三、填空题13．若，则的值为__________.【答案】【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得,利用两角和的正切公式可得,然后相除可得.【详解】因为,所以,,所以.故答案为: 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.14．甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口硫导交通,每个路口有1名或2名志原者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数________(用数字作答).【答案】【分析】甲、乙两人在同一路口时，根据题意可知:另外两人在同一路口，剩下一个在第三个路口,即可求解.【详解】解： 甲、乙两人在同一路口分配方案，故答案为.【点睛】本题考查排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为__________.【答案】【分析】先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.【详解】球的表面积为如图所示：为中点，连接 ，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.在中：，故；在中：，，故，故 故答案为【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键. 评卷人得分  四、双空题16．抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.【答案】    9    【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把转化为，再转化为，从而得出结论．【详解】解：抛物线：的焦点．
过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线 于，
则由抛物线的定义可得．
再根据为线段的中点，，∴，
故答案为：焦点坐标是，．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，其中不要忽略中位线的性质，梯形的中位线是上底与下底和的一半，属于中档题． 评卷人得分  五、解答题17．已知首项为的等比数列的前项和为. （1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，求出，可得出，然后利用裂项求和法可求出数列的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，整理得，解得或，因此，或；（2），，，，因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.18．在中，为BC边上的中点.（1）求的值；（2）若，求AD.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，结合三角形面积公式即可求.（2）由（1）及倍角关系可求，再由二倍角余弦公式求，分别在△、△中有，结合余弦定理列方程求.【详解】（1）在△中，为BC边上的中点，∴，即，∴；（2）由得，∴，而，在△中，；在△中，，而，∴，解得.【点睛】关键点点睛：（1）由三角形中线的性质，结合三角形面积公式求三角函数值的比例.（2）由倍角关系，结合（1）结论，应用倍角正余弦公式及余弦定理求中线长.19．如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取中点，连结，推导出为平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）取中点，连结，取的中点，连结，推导出，，从而平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值．【详解】解：（1）取中点，连结，. ∵，是，的中点，∴，且.∵，，∴，∴，∴，又，∴，∴为平行四边形，∴.又平面，且平面，∴平面；（2）取中点，连接，取的中点，连接，.设，由（1）得，∴为等边三角形，∴，同理∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量，则，∴，取，得，又平面的法向量，∴，由图得二面角的平面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式．参考数据：，．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）；610千克.【分析】（1）根据散点图中的数据分别求得可得，，，，，进而求得相关系数，再与0.75比较下结论.（2）结合（1）中的数据，分别求得，，写出回归方程，然后将代入求解.【详解】（1）由已知数据可得，，所以，，，所以相关系数．因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2），，所以回归方程为．当时，，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克．21．已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆C上一点，轴， .（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）由题意写P点坐标和b，代入方程解得a值，即得方程；（2）先计算斜率不存在时的面积，再设斜率存在是直线的方程并联立方程得到韦达定理，求弦长与点到直线的距离，即可计算面积，换元，求其最大值即可.【详解】（1）由题知，点，，则有，又，解得，，故椭圆C的方程为.（2）当轴时，M位于x轴上，且，由可得，此时.当AB不垂直x轴时，设直线AB方程为，与椭圆交于，，由，得.，，从而，已知，可得.设O到直线AB的距离为d，则，.将代入化简得.令，则，故，当且仅当时取等号，此时的面积最大，故面积的最大值为2.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆的综合应用即三角形面积最大值的求法，属于难题.22．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在,【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）求出导函数，假设存在，则在上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】（1）当时，．所以令，则或，令，则，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在，满足题设，因为函数所以要使函数在上单调递增，即，，令，，则，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，且，∴在上的最大值为．所以存在，满足题设．【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用确定增区间，用确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多.