2021-2022学年河南省南阳市第一中学校高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年河南省南阳市第一中学校高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了设，则“”是“”的，已知，，则的值为，函数且的图象大致是，若，，，，则，已知函数，则方程实根的个数为等内容，欢迎下载使用。
河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第二次月考数学（理）试题评卷人得分  一、单选题1．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．【答案】A【分析】求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3．若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】因为所以 因为函数 为奇函数，所以它在区间上的最大值、最小值之和为0，
也即，
所以4．已知直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先设切点为，根据直线是曲线的一条切线得到，再将切点代入曲线方程即可得到答案.【详解】设切点坐标为，.因为直线是曲线的一条切线，所以，解得.将切点代入得到，解得.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.5．已知，，则的值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用凑出，然后结合两角和差的正弦公式以及齐次式求值问题即可求出结果.【详解】因为，，故选：A.6．函数且的图象大致是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据解析式判断奇偶性，在上有，利用导函数，结合函数图象分析内极值点的个数，即可确定正确函数图象.【详解】函数，且是偶函数，A不合要求．当时，：当，，C不合要求；而时，在上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点. D不合要求，B符合要求. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数.7．若，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案【详解】，因为，，所以，，因为，，所以，，则．故选：C【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ）A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年【答案】D【分析】根据题意，设第年开始超过200万元，可得，从而可得的取值范围，分析即可得答案．【详解】解：根据题意，设第年开始超过200万元，则，化为：，解可得：；则，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2023年.故选：D．9．定义在R上的奇函数满足，且当 时，，则下列结论正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】先确定函数的周期为4，再化简得到，，．接着判断当时函数单调递增，最后判断即可．【详解】解：因为在R上是奇函数，且，所以，故，的周期为4．因此，，．又时，,单调递增，所以，故．故选：C【点睛】本题考查利用函数的奇偶性对称性的应用、利用函数的周期性求函数值、利用函数的单调性判断函数值的大小关系，是中档题.10．已知函数，则方程实根的个数为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由得到或，再根据的图象来判断当或时对应的有几个，即为实根个数【详解】由可得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B【点睛】本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键11．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据当时，，构造，借助新函数的单调性比较大小.【详解】设，则，又当时，，∴，∴在上单调递减，∵，∴即，故A错误；∵，∴即，故B错误；∵，∴，又是定义在上的奇函数，∴，故C正确；∵，∴，即，故D错误.故选：C12．已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【分析】化简不等式可得mex＜，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．【详解】当x＞0时，由x2﹣mxex﹣mex＞0，可得mex＜（x＞0），显然当m≤0时，不等式mex＜（x＞0），在（0，+∞）恒成立，不符合题意；当m＞0时，令f（x）=mex，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，令g（x）=，则g′（x）==＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（0）=m＞0，g（0）=0，且f（x）＜g（x）有两个正整数解，则∴，即，解得≤m＜．故选D．【点睛】本题考查了不等式整数解问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题. 评卷人得分  二、填空题13．________ .【答案】【分析】根据微积分基本定理，可计算，根据定积分的几何意义，画出函数图像，即可求解.【详解】由题意，画出函数的图象如下图所示：则的几何意义为阴影部分面积，则则有故答案为：【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分几何意义，属于中等题型.14．函数的导函数为，且，的值为____________.【答案】0【分析】根据求导公式求出函数得导函数，即可得出答案.【详解】解：由，得，所以，所以.故答案为：0.15．已知，则tanα＝______________.【答案】【详解】由sinα＋cosα＝，有sin（α＋Φ）＝，即sin（α＋Φ）＝1，其中tanΦ＝于是α＋Φ＝2kπ＋（k∈Z）所以tanα＝tan（2kπ＋－Φ）＝cotΦ＝考点：三角函数性质16．当时，恒成立，则的取值范围为____________.【答案】【分析】先分离参数，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，分两种情况讨论，再用极限思想结合洛必达法则求出答案即可，注意最后取交集.【详解】解：当时，恒成立，则，当，即时，，对任意a都成立，当，即时，则，设，，则，设，，则恒成立，在上单调递增，，，在上单调递增，，根据洛必达法则可得，，综上所述的取值范围为，.故答案为：，. 评卷人得分  三、解答题17．（1）设，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，利用诱导公式化简所求得，在化弦为切即可得出答案；（2）由已知可得，利用平方关系求得2sinxcosx，然后可求得sinx－cosx，即可求得sinx，cosx，即可得出答案.【详解】解：（1）由已知，=；（2）∵，∴，即，把，两边平方得1＋2sinxcosx＝，即2sinxcosx＝－，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，即sinx－cosx＝，联立，解得sinx＝，cosx＝，∴cosx－2sinx＝.18．已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a>0）的解集，p：x∈A，q：x∈B.（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分别求函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域和不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0 (a>0)的解集，化简集合A，B，由A∩B=∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a的取值范围；（2）求出￢p对应的x的取值范围，由￢p是q的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a的范围【详解】解：（1）由条件得：A={x|﹣10<x<2}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=∅，则必须满足，解得：，所以，所以，a的取值范围的取值范围为：；（2）易得：￢p：x≥2或x≤﹣10，∵￢p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥2或x≤﹣10}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则，解得：，所以0<a≤1.∴a的取值范围的取值范围为：.19．它们的终边分别与单位圆相交于(1)求；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据三角函数的定义，求，，再利用两角和的正切公式求，结合的范围求，(2)根据同角关系求，，再根据二倍角公式求，，结合(1)由两角和的正弦公式求.【详解】由可得：(1)由得(2)由(1)得，故20．设.（1）令，求的最小值；（2）若任意且有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）由题意的，得，进而得到的单调性，即可求解的最小值；（2）根据题意，转化为恒成立，设在为单调递增函数，分离参数得到恒成立，即可求解实数的取值范围.试题解析：解：（1）∵，∴，∵，∴，∴在为减函数，在上为增函数，∴.（2）若恒成立，即：，令，则在上为增函数，∴，∵，∴，即，∴. 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，恒成立问题的求解和分离参数思想的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，把不等式恒成立问题转化为函数的单调性，进而利用导数求解是解答的关键.21．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.22．已知函数．若在上有两个极值点、．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）分析可知在(0，2)上有两个不同的零点，对实数a的取值进行分类讨论结合已知条件可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围（2）先证明出，由已知条件可得出,再利用不等式可证得结论成立【详解】（1）.要使在上有两个极值点、，则在(0，2)上有两个不同的零点.①当时，令故所以在(0，1)上为减函数，在(1，2)上为增函数，所以，故g(x)>0，所以g(x)在(0,2)上无零点，舍去；②当时，因为x∈(0，2)，，，则g(x)在(0,2)上单调递减，故g(x)最多只有一个零点，不合题意；舍去；③当1<a<e时，.当0<x<lna+1时，<0；当lna+1<x<2时，>0，所以,函数g(x)在(0，lna+1)上单调递减,在(lna+1,2)上单调递增.所以即只需，解得.综上所述，a的取值范围为.（2）由(1)知，.先证不等式，其中0<x1<x2<2.即证，即.令∈(0，1)，即证.构适函数，则，所以,函数在区间(0,1)上单调递减,故，即.由已知可得，故，所以，则，所以，因此.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题，方法如下：(1)直接构造函数法：证明不等式 (或)转化为证明 (或)，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造形似函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.