高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测06《函数的奇偶性及周期性》(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测06《函数的奇偶性及周期性》(教师版)，共5页。

对点练(一) 函数的奇偶性
1．在函数y＝xcs x，y＝ex＋x2，y＝lgeq \r(x2－2)，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )
A．3B．2
C．1D．0
解析：选B y＝xcs x是奇函数，y＝lgeq \r(x2－2)和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B.
2．已知函数f(x)＝asin x＋blneq \f(1－x,1＋x)＋t，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝6，则实数t＝( )
A．－2B．－1
C．1D．3
解析：选D 令g(x)＝asin x＋blneq \f(1－x,1＋x)，则易知g(x)为奇函数，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，
则由f(x)＝g(x)＋t，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2t＝2t＝6，解得t＝3.故选D.
3．若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则“f(x)与g(x)同是奇函数或同是偶函数”是“f(x)·g(x)是偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
解析：选A 若函数f(x)与g(x)同是R上的奇函数或偶函数，则f(－x)·g(－x)＝－f(x)·(－g(x))＝f(x)·g(x)或f(－x)·g(－x)＝f(x)·g(x)，即f(x)·g(x)是偶函数，∴充分性成立；必要性不成立，如f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,x2，x<0，))g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,1，x<0，))满足f(x)·g(x)是偶函数，但f(x)与g(x)都不是奇函数或偶函数．故选A.
4．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)
解析：选C 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
对点练(二) 函数的周期性
1．设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( )
A．f(x)是奇函数B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为RD．f(x)是周期函数
解析：选D 因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1＋cs x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，D错误，故选D.
2．函数f(x)的周期为4，且x∈(－2,2]，f(x)＝2x－x2，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．
解析：由f(x)＝2x－x2，x∈(－2,2]知f(－1)＝－3，f(0)＝0，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，
所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(－1)＋f(0)＝0－3＋0＝－3.
答案：－3
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝________.
解析：因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，所以f(－3)＝－1，f(－2)＝0，f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝－1＋0－1＋0＋1＋2＝1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝336×[f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)]＋f(2 017)＝336＋f(1)＝336＋1＝337.
答案：337
对点练(三) 函数性质的综合问题
1．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(0)＝2，则f(2 018)的值为( )
A．2B．0
C．－2D．±2
解析：选C ∵g(－x)＝f(－x－1)，∴－g(x)＝f(x＋1)．
又g(x)＝f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
则f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 018)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝－2.
2．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,7)))，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,7)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan\f(5π,7)))，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．b解析：选B ∵eq \f(π,2)0，∴taneq \f(5π,7)∵函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)是R上的增函数，∴c3．已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋cs x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1)B．(1，eq \r(2) )
C．(－2，－eq \r(2) )D．(1，eq \r(2))∪(－eq \r(2)，－1)
解析：选B 依题意得f′(x)>0，则f(x)是定义在(－1,1)上的增函数．
不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0等价于f(1－a2)<－f(1－a)＝f(a－1)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1－a2<1，,－14．已知函数f(x)是奇函数，且满足f(2－x)＝f(x)(x∈R)，当0A．7B．8
C．9D．10
解析：选C 由函数f(x)是奇函数且满足f(2－x)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，且关于直线x＝1＋2k(k∈Z)成轴对称，关于点(2k,0)(k∈Z)成中心对称．当05．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＋f(1)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，周期为2，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)＋2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4eq \f(1,2)＝－2.∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＋f(1)＝－2.
答案：－2
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－eq \r(2))，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－eq \r(2))＝f(eq \r(2))，
∴f(2|a－1|)＞f(eq \r(2))，∴2|a－1|＜eq \r(2)＝2eq \f(1,2)，∴|a－1|＜eq \f(1,2)，即－eq \f(1,2)＜a－1＜eq \f(1,2)，即eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))
7．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤0，,gx，x>0，))若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
解析：设x>0，则－x<0.
∵x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，
∴g(－x)＝－ln(1＋x)．
又∵g(x)是奇函数，
∴g(x)＝ln(1＋x)(x>0)，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤0，,ln1＋x，x>0.))其图象如图所示．
由图象知，函数f(x)在R上是增函数．
∵f(2－x2)>f(x)，
∴2－x2>x，即－2所以实数x的取值范围是(－2,1)．
答案：(－2,1)
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝lg SKIPIF 1 < 0 x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg SKIPIF 1 < 0 (－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg SKIPIF 1 < 0 x，x>0，,0，x＝0，,lg SKIPIF 1 < 0 －x，x<0.))
(2)因为f(4)＝lg SKIPIF 1 < 0 4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－eq \r(5)即不等式的解集为(－eq \r(5)，eq \r(5))．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))
所以13．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝eq \f(1,2)f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，
解得－15∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．