高考数学(文数)一轮复习课时练习：2.10《变化率与导数、导数的计算》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习课时练习：2.10《变化率与导数、导数的计算》(教师版)，共9页。试卷主要包含了如图，y＝f是可导函数，直线l，∵y＝xln x，等内容，欢迎下载使用。
1．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：y＝xex－1＝eq \f(xex,e)＝eq \f(1,e)xex，y′＝eq \f(1,e)(ex＋xex)＝eq \f(ex,e)(1＋x)，∴k＝y′|x＝1＝2，故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.
答案：B
3．函数f(x)＝exsin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
解析：因为f′(x)＝exsin x＋excs x，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为1.所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为eq \f(π,4)，故选C.
答案：C
4．曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0，则a＝( )
A.eq \f(1,2) B．2
C．ln 2 D．ln eq \f(1,2)
解析：由题知，y′＝axln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，
故切线方程为xln a－y＋1＝0，∴a＝eq \f(1,2)，故选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝sin x－cs x，且f′(x)＝eq \f(1,2)f(x)，则tan 2x的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(4,3)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
解析：因为f′(x)＝cs x＋sin x＝eq \f(1,2)sin x－eq \f(1,2)cs x，所以tan x＝－3，
所以tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)＝eq \f(－6,1－9)＝eq \f(3,4)，故选D.
答案：D
6．曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则eq \f(a,b)的值为( )
A．－eq \f(1,2e) B．－eq \f(2,e)
C.eq \f(2,e) D.eq \f(1,2e)
解析：y′＝ex＋xex，则y′|x＝1＝2e，∵切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，
∴－eq \f(a,b)＝－eq \f(1,2e)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(1,2e)，故选D.
答案：D
7．已知曲线y＝eq \f(2x,x－1)在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2eq \r(5)，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0
D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
解析：y′＝eq \f(2x－1－2x,x－12)＝－eq \f(2,x－12)，y′|x＝2＝－eq \f(2,2－12)＝－2，因此kl＝－2，
设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得eq \f(|2×2＋4－b|,\r(5))＝2eq \r(5)，
解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.
答案：B
8．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
解析：法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
答案：C
9．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
解析：由题意知直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图可得f(3)＝1.又点(3,1)在直线l上，∴3k＋2＝1，∴k＝－eq \f(1,3)，∴f′(3)＝k＝－eq \f(1,3).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0，故选B.
答案：B
10．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为( )
A．0 B．2
C．1 D．3
解析：因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－eq \f(3,x)＝－1，得x＝1或x＝－eq \f(3,2)(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
答案：B
11．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，则它在点A处的切线方程是( )
A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0
C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0
解析：由题意知m＝1，∴eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))α，∴α＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝xeq \f(1,2)，∴f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))，其在Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))的切线的斜率k＝1，
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))处的切线方程为y－eq \f(1,2)＝x－eq \f(1,4)，即y＝x＋eq \f(1,4)，故选C.
答案：C
12．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，则切点的横坐标为( )
A．ln 2 B．－ln 2
C.eq \f(ln 2,2) D．－eq \f(ln 2,2)
解析：对f(x)＝ex＋a·e－x求导得f′(x)＝ex－ae－x，又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝eq \f(3,2)，解得ex0＝2或ex0＝－eq \f(1,2)(舍去)，所以x0＝ln 2.
答案：A
13．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
答案：5x＋y＋2＝0
14．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________．
解析：y′＝3ln x＋1＋3＝3ln x＋4，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
15．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：设P(x0，y0)．∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．
答案：(e，e)
16．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋eq \f(1,3)x3，则f(x)＝__________.
解析：由f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋eq \f(1,3)x3，得f′(x)＝f′(1)·ex－1－f(0)＋x2.令x＝1，得f(0)＝1.在f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋eq \f(1,3)x3中，取x＝0，得f(0)＝f′(1)e－1＝1，所以f′(1)＝e，所以f(x)＝ex－x＋eq \f(1,3)x3.
答案：ex－x＋eq \f(x3,3)
B组 能力提升练
1．已知函数g(x)＝sin x，记f(0)＝g(x)＝sin x，f(1)＝(sin x)′＝cs x，f(2)＝(cs x)′＝－sin x，…依次类推，则f(2 019)＝( )
A．sin x B．cs x
C．－sin x D．－cs x
解析：由题意得f(3)＝－cs x，f(4)＝sin x，f (5)＝cs x，
周期为4.
∴f(2 019)＝f(3)＝－cs x，故选D.
答案：D
2．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cs x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( )
A．在直线y＝－3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上
解析：f′(x)＝3＋4cs x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cs x，由题意知4sin x0－cs x0＝0，
所以f(x0)＝3x0，
故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.
答案：B
3．已知函数f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,3) B．(－6,0)
C．[－2,3] D．[－6,0]
解析：依题意，知函数f′(x)与g′(x)值域的交集为空集，∵f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤eq \f(a2,3)，∴eq \f(a2,3)≤－2a，解得－6≤a≤0.
答案：D
4．已知函数fn(x)＝xn＋1，n∈N的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则lg2 013x1＋lg2 013x2＋…＋lg2 013x2 012的值为( )
A．－1 B．1－lg2 0132 012
C．－lg2 0132 012 D．1
解析：由题意可得点P的坐标为(1,1)，
f′n(x)＝(n＋1)·xn，所以fn(x)图象在点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，所以切线与x轴交点的横坐标为xn＝eq \f(n,n＋1)，则lg2 013x1＋lg2 013x2＋…＋lg2 013x2 012＝lg2 013(x1x2…x2 012)＝lg2 013eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(2 012,2 013)))＝lg2 013eq \f(1,2 013)＝－1.故选A.
答案：A
5．已知曲线f(x)＝eq \f(x,ex)－axln x在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋eq \f(1,e)＋b－1，则下列命题是真命题的个数为( )
①∀x∈(0，＋∞)，f(x)＜eq \f(b,e)；②∃x0∈(0，e)，f(x0)＝0；
③∀x∈(0，＋∞)，f(x)＞eq \f(b,4e)；④∃x0∈(1，e)，f(x0)＝eq \f(1,2e).
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：f′(x)＝eq \f(1－x,ex)－a(1＋ln x)，则f′(1)＝－a，又f(1)＝eq \f(1,e)，∴曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－eq \f(1,e)＝－a(x－1)，即y＝－ax＋eq \f(1,e)＋a，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝eq \f(x,ex)－xln x．易知y＝eq \f(x,ex)在(0，＋∞)上的最大值为eq \f(1,e)，y＝xln x在(0，＋∞)上的最小值为－eq \f(1,e)，∴eq \f(x,ex)＜xln x＋eq \f(2,e)，即f(x)＜eq \f(2,e)，①正确，∵f(1)·f(e)＜0，且f(x)的图象在(0，e)上连续，∴②正确；
∵f(e)＜0，∴③错误；由f(1)＝eq \f(1,e)，f(e)＜0知④正确，即①②④正确．
答案：C
6．设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋eq \f(b,x)，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f(x)与g(x)的大小关系是( )
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＝g(x)
D．f(x)与g(x)的大小关系不确定
解析：由题意得f(x)与x轴的交点(1,0)在g(x)上，所以a＋b＝0，因为函数f(x)，g(x)的图象在此公共点处有公切线，所以f(x)，g(x)在此公共点处的导数相等，f′(x)＝eq \f(1,x)，g′(x)＝a－eq \f(b,x2)，以上两式在x＝1时相等，即1＝a－b，又a＋b＝0，所以a＝eq \f(1,2)，b＝－eq \f(1,2)，即g(x)＝eq \f(x,2)－eq \f(1,2x)，f(x)＝ln x，令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－eq \f(x,2)＋eq \f(1,2x)，则h′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,2)－eq \f(1,2x2)＝eq \f(2x－x2－1,2x2)＝－eq \f(x－12,2x2)，因为x>1，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)＜h(1)＝0，所以f(x)＜g(x)．故选B.
答案：B
7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：令t＝ex，故x＝ln t，∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋1，∴f′(1)＝2.
答案：2
8．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线与曲线y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝eq \f(1,x)上，所以b＝1，故P(1,1)．
答案：(1,1)
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax，
当x＝eq \f(a,3)时，f′(x)取到最大值eq \f(a2,3).
∴eq \f(a2,3)＜1，解得－eq \r(3)＜a＜eq \r(3).
答案：－eq \r(3)＜a＜eq \r(3)
10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值．
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
11．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点(2，－2)的曲线的切线方程．
解析：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，
所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－8x0＋5，
所以切线方程为y－ (－2)＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，
所以xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
12．设有抛物线C：y＝－x2＋eq \f(9,2)x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，
则y1＝kx1，①
y1＝－xeq \\al(2,1)＋eq \f(9,2)x1－4，②
①代入②得，xeq \\al(2,1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.
因为P为切点，
所以Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(9,2)))2－16＝0，
得k＝eq \f(17,2)或k＝eq \f(1,2).
当k＝eq \f(17,2)时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝eq \f(1,2)时，x1＝2，y1＝1.
因为P在第一象限，
所以所求的斜率k＝eq \f(1,2).
(2)过P点作切线的垂线，
其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得，
x2－eq \f(13,2)x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，
所以x2＝eq \f(9,2)，y2＝－4.
所以Q点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，－4)).