高考数学(文数)一轮复习课时练习：3.1《任意角和弧度制及任意角的三角函数》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)

A．(1，)　　　　　　　 B．(，1)

C．(，)  D．(1,1)

解析：设点P的坐标为(x，y)，

则由三角函数的定义得即故点P的坐标为(1,1)．

答案：D

2．已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)

A.  B.

C.  D．2

解析：设等边三角形边长为a，圆的半径为R，

由正弦定理得2R＝，a＝R，故α＝＝＝.故选C.

答案：C

3．若cos α>0且tan α<0，则α是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，

又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．

答案：D

4．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：根据题意，α终边上设点P(－12,5)，∴cos α＝－，故选 A.

答案：A

5．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(　　)

A.  B.

C．－  D．－

解析：由三角函数的定义知cos α＝＝－.故选D.

答案：D

6．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于(　　)

A．2  B．－2

C．4  D．－4

解析：∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．

又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝，

∴解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.

答案：A

7．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则实数m的值为(　　)

A.  B．±

C．－  D.

解析：点P(－8m，－6sin 30°)即P(－8m，－3)，

所以cos α＝，即＝－，解得m2＝.

又cos α＝－＜0，所以m＞0，所以m＝，故选A.

答案：A

8．若点A(m，n)是240°角的终边上的一点(与原点不重合)，那么的值等于(　　)

A.  B．－

C．2  D．－2

解析：由三角函数的定义知tan 240°＝，即＝，

于是＝＝＝－.

答案：B

9．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：∵＝，∴角α为第四象限角，且sin α＝－，cos α＝.

∴角α的最小正值为.

答案：D

10．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：sin ＝，cos ＝－，P在第四象限角平分线上．

答案：D

11．已知锐角α的终边过点P(1＋sin 50°，cos 50°)，则锐角α＝(　　)

A．80°  B．70°

C．10°  D．20°

解析：由三角函数的定义得tan α＝＝＝

＝＝＝tan 20°，所以锐角α＝20°，故选D.

答案：D

12．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为(　　)

A.  B.

C.  D．6π

解析：设此扇形的半径为r，

由题意得r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.

答案：D

13．已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________．

解析：根据三角函数定义可知tan α＝－＝，解得x＝10.

答案：10

14．满足cos α≤－的角α的集合为________．

解析：作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为

答案：

15．已知某扇形所在圆的半径为R，且该扇形的面积为R2，那么这个扇形的圆心角的弧度数α(0<α<2π)是__________．

解析：由题意得，αR2＝R2，所以α＝2.

答案：2

B组　能力提升练

1．若sin α·tan α<0，且<0，则角α是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；

由<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．

答案：C

2．设集合M＝，N＝，那么(　　)

A．M＝N  B．M⊆N

C．N⊆M  D．M∩N＝∅

解析：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.

答案：B

3．下列各选项中正确的是(　　)

A．sin 300°>0  B．cos(－305°)<0

C．tan>0  D．sin 10<0

解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；

－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；

因为－π＝－8π＋π，所以－π是第二象限角；因为3π<10<π，

所以10是第三象限角．故sin 300°<0，cos(－305°)>0，tan<0，sin 10<0.

答案：D

4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝(　　)

A.  B．±

C．－  D．－

解析：依题意得cos α＝＝x，x＜0，由此解得x＝－，选D.

答案：D

5．若点P(－sin α，cos α)在角β的终边上，则β＝(　　)

A．α＋＋2kπ，k∈Z          B．α＋2kπ，k∈Z

C．－α＋＋2kπ，k∈Z        D．－α＋2kπ，k∈Z

答案：A

6．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：设α＝∠POQ，由三角函数定义，x＝cos α＝cos π＝－，y＝sin α＝sin π＝.

答案：A

7．已知角α的终边经过点A(－，a)，若点A在抛物线y＝－x2的准线上，则sin α＝(　　)

A.  B.

C．－  D.

解析：抛物线方程y＝－x2可化为x2＝－4y，∴抛物线的准线方程为y＝1，

∵点A在抛物线y＝－x2的准线上，∴A(－，1)，∴由三角函数的定义得sin α＝.

答案：D

8．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan 2α＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：由三角函数的定义可得cos α＝，∵cos α＝x，∴＝x，

又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x＝－3，

∴cos α＝－，sin α＝＝，∴tan α＝＝－，

∴tan 2α＝＝.故选A.

答案：A

9．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.

又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．

答案：B

10．已知角α的终边经过一点P(x，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为(　　)

A．1  B．2

C.  D.

解析：tan α＝＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，

即tan α的最小值为2.故选B.

答案：B

11．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|＝1且∠POQ＝，则Q点的横坐标为(　　)

A．－  B．－

C．－  D．－

解析：设∠xOP＝α，则cos α＝，sin α＝，则xQ＝cos＝×－×＝－.

答案：A

12．如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)

解析：∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝－.

∵角速度为1，∴按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，∴∠POx＝t－.

由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d＝2.

令t＝0，则d＝2＝，当t＝时，d＝0，故选C.

答案：C

13．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为__________．

解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r<R)，

则＝，所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.

答案：1∶2

14．若θ角的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是__________．

解析：由已知θ＝2kπ＋(k∈Z)．所以＝＋(k∈Z)．

由0≤＋≤2π，得－≤k≤.

因为k∈Z，所以k＝0,1,2,3.所以依次为π，π，π，π.

答案：π，π，π，π

15．若角α是第三象限角，则在第__________象限．

解析：因为2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，所以kπ＋<<kπ＋π(k∈Z)．

当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋π，是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，

2nπ＋<<2nπ＋π，是第四象限角，

综上知，当α是第三象限角时，是第二或第四象限角．

答案：二或第四

16．顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB的长为__________．

解析：由三角函数的定义得A(cos 30°，sin 30°)，

B(cos 60°，sin 60°)，即A，B.

所以|AB|＝＝×＝.

答案：