高考数学(文数)一轮复习课时练习：5.3《等比数列及其前n项和》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习课时练习：5.3《等比数列及其前n项和》(教师版)，共6页。
课时规范练A组　基础对点练1．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)A．21　　　　　　　　　 B．42C．63  D．84解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.答案：B2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)A.  B．－C.  D．－解析：由题知公比q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.答案：C3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)A．－3  B．5C．－31  D．33解析：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.∵S3＝2，S6＝18，∴＝，得q3＝8，∴q＝2.∴＝＝1＋q5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)A．1  B．±1C．2  D．±2解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1，故选A.答案：A5．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)A．Sn＝2an－1  B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3an  D．Sn＝3－2an解析：因为a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，Sn＝＝3＝3－2n－1＝3－2an，故选D.答案：D6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a＝2a3a6，S5＝－62，则a1的值是________．解析：设{an}的公比为q.由a＝2a3a6得(a1q4)2＝2a1q2·a1q5，∴q＝2，∴S5＝＝－62，a1＝－2.答案：－27．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝______.解析：因为等比数列{an}为递增数列且a1＝－2<0，所以0<q<1，将3(an＋an＋2)＝10an＋1两边同除以an可得3(1＋q2)＝10q，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝，而0<q<1，所以q＝.答案：8．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝__________.解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，∵a1＝1，∴an＝.答案：9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜.所以＋＋…＋＜.10．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an，n∈N*.(1)求证：数列{}为等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)证明：由an＋1＝an知＝·，∴{}是以为首项、为公比的等比数列．(2)由(1)知{}是首项为，公比为的等比数列，∴＝()n，∴an＝，∴Sn＝＋＋…＋，①则Sn＝＋＋…＋，②①－②得：Sn＝＋＋＋…＋－＝1－，∴Sn＝2－.       B组　能力提升练1．等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝27，则公比q的值为(　　)A．1  B．－C．1或－  D．－1或－解析：当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝9，∴S3＝3×9＝27.当q≠1时，S3＝，∴27＝，∴a1＝27－18q，∴a3＝a1q2，∴(27－18q)·q2＝9，∴(q－1)2(2q＋1)＝0，∴q＝－.综上q＝1或q＝－.选C.答案：C2．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　)A．1  B．－1C.  D．2解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.答案：D3．已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)A.  B.C.  D．不存在解析：∵正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，∴a1q2＝a1q＋2a1，即q2＝q＋2，解得q＝－1(舍)或q＝2，∵存在两项am，an，使得＝4a1，∴aman＝16a，∴(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a，∴a·2m＋n－2＝16a，∴m＋n＝6，∴＋＝＝≥＝(当且仅当n＝2m时取等号)，∴＋的最小值是.答案：A4．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)A．2  B．1C.  D.解析：设等比数列{an}的公比为q，a1＝，a3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4(×q3－1)，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝.故选C.答案：C5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析：由S3＋3S2＝0，得a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，即4a1＋4a2＋a3＝0，即4a1＋4a1q＋a1q2＝0，即q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2.答案：－26．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝________.解析：由已知Sn＋a1＝2an，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1), 解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，则a1＋a5＝2＋25＝34.答案：347．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log3＋1，求＋＋…＋.解析：(1)当n＝1时，a1＝a1－1，∴a1＝2，当n≥2时，∵Sn＝an－1，①∴Sn－1＝an－1－1(n≥2)，②①－②得an＝(an－1)－(an－1－1)，即an＝3an－1，∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2×3n－1.(2)由(1)得bn＝2log3＋1＝2n－1，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝.8．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)．(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.解析：(1)由题设得＝·，又＝2，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝.(2)证明：bn＝＝＝，因为对任意n∈N*,2n－1≥2n－1，所以bn≤.所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.