高考数学(文数)一轮复习课时练习：6.4《推理与证明》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习课时练习：6.4《推理与证明》(教师版)，共8页。试卷主要包含了已知“整数对”按如下规律排列，观察下列各等式等内容，欢迎下载使用。
课时规范练A组　基础对点练1．用反证法证明命题 “设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A2．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论错误的原因是(　　)A．大前提错误　　　　 B．小前提错误C．推理形式错误  D．大前提和小前提都错误解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0<a<1时，y＝logax在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.答案：A3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)A．f(x)  B．－f(x)C．g(x)  D．－g(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．答案：D4．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：a1·a2＝log23·log34＝·＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；….若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 016时，“企盼数”k为(　　)A．22 016＋2  B．22 016C．22 016－2  D．22 016－4解析：a1·a2·a3·…·ak＝＝2 016，lg(k＋2)＝lg 22 016，故k＝22 016－2.答案：C5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为(　　)A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10)  D．(4,9)解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.答案：D7．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)A.＋＝2B.＋＝2C.＋＝2D.＋＝2解析：各等式可化为：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，可归纳得一般等式：＋＝2，故选A.答案：A8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是(　　)A．a－b>0  B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0  D．(a－b)(a－c)<0解析：由a>b>c，且a＋b＋c＝0得b＝－a－c，a>0，c<0.要证<a，只要证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c) >0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“<a”索的因应是(a－c)(a－b)>0.故选C.答案：C  9．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(　　)①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③  B．②①③C．②③①  D．③②①解析：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y＝cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝cos x(x∈R)是周期函数是“结论”．故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.答案：B10．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝(　　)A.   B.C.   D.解析 ：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝.答案：C11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)A．2 017×22 015  B．2 017×22 014C．2 016×22 015  D．2 016×22 014解析：由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，……，第2 015行数的公差为22 014，第1行的第一个数为2×2－1，第2行的第一个数为3×20，第3行的第一个数为4×21，……第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，第2 016行只有一个数M，则M＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.故选B.答案：B12．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为__________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙13．观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为_______________________________________________．解析：观察所给等式的左右可以归纳出第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.答案：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋B组　能力提升练1．观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，用你所发现的规律得出22 018的末位数字是(　　)A．2  B．4C．6  D．8解析：通过观察可知，末位数字的周期为4,2 018÷4＝504……2，故22 018的末位数字为4.故选B.答案：B 2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)A．28  B．76C．123  D．199解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C3．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a－1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛解析：由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.答案：B  4．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为__________．　　　　　　　　　　……解析：由已知归纳可得，第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数等于上一行该数“肩膀”上两个数字的和．故A(15,2)＝A(14,1)＋A(14,2)＝A(14,1)＋A(13,1)＋A(13,2)＝A(14,1)＋A(13,1)＋A(12,1)＋A(12,2)＝…＝A(14,1)＋A(13,1)＋A(12,1)＋…＋A(2,1)＋A(2,2)＝＋＋＋…＋＋＝.答案：5．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律可知第n个等式为________．解析：观察题中各等式可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝[]26．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)>________.解析：观察f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3可知，等式及不等式右边的数构成首项为，公差为的等差数列，故f(128)>＋6×＝.答案：7．“求方程()x＋()x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝()x＋()x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(x＋2)3＋(x＋2)的解集为________．解析：令f(x)＝x3＋x，则f(x)是奇函数，且为增函数，由方程x6＋x2＝(x＋2)3＋x＋2得f(x2)＝f(x＋2)，故x2＝x＋2，解得x＝－1,2，所以方程的解集为{－1,2}．答案：{－1,2}8．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________.解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．答案：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)9．已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)已知＝，求证：≤＋＋…＋<1.解析：(1)因为3(n＋1)bn＝nbn＋1，所以＝.因此，＝3×，＝3×，＝3×，…，＝3×，上面式子累乘可得＝3n－1×n，因为b1＝3，所以bn＝n·3n.(2)证明：因为＝，所以an＝·3n.因为＝·＝·＝(－)＝·－·，所以＋＋…＋＝(1·－·)＋(·－·)＋…＋(·－·)＝1－·.因为n∈N*，所以0<·≤，所以≤1－·<1，所以≤＋＋…＋<1.10．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1，同理0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾，故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．