高考数学(文数)一轮复习课时练习：8.3《圆的方程》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是(　　)

A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆

B．以(1,2)为圆心，为半径的圆

C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆

D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆

解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为.

答案：D

2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为(　　)

A．x2＋y2＝1　　　　 B．(x－3)2＋y2＝1

C．(x－1)2＋y2＝1  D．x2＋(y－3)2＝1

解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称， 故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.

答案：A

3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　　)

A．x2＋(y－2)2＝5  B．(x－2)2＋y2＝5

C．x2＋(y＋2)2＝5  D．(x－1)2＋y2＝5

解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.

答案：B

4．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

解析：设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

答案：(x－2)2＋y2＝9

5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．

解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.

答案：4

6．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．

解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，

则，即，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，

化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1

7．已知圆C经过点(0,1)，且圆心为C(1,2)．

(1)写出圆C的标准方程；

(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．

解析：(1)由题意知，圆C的半径r＝＝，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.

(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0，则＝，

所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，

故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.

由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.

8．在平面直角坐标系xOy中，经过函数f(x)＝x2－x－6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.

(1)求圆C的方程；

(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程．

解析：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，函数f(x)＝x2－x－6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，

由，解得，

所以圆的方程为x2＋y2－x＋5y－6＝0.

(2)由(1)知圆心坐标为(，－)，若直线经过原点，则直线l的方程为5x＋y＝0；若直线不过原点，设直线l的方程为x＋y＝a，则a＝－＝－2，即直线l的方程为x＋y＋2＝0.综上可得，直线l的方程为5x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

B组　能力提升练

1．已知圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，则ab的最大值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，

可得圆心(2a，－b)在直线x－y－1＝0上，故有2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1≥2 ，

解得ab≤，故ab的最大值为，故选B.

答案：B

2．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－)2＝3

C．x2＋(y＋1)2＝1  D．x2＋(y＋)2＝3

解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1，选A.

答案：A

3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

解析：由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

答案：D

4．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为(　　)

A．x2＋y2＝1

B．x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝3

D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37

解析：如图，易知AC所在直线的方程为x＋2y－4＝0.

点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝>1，OA＝＝，

OB＝＝，OC＝＝，

∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，

∴圆的半径为1或，则该圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.故选D.

答案：D

5．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．

解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b>0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以2＝2，b>0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

6．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

(1)求圆C的方程；

(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．

解析：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，

则解得

则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.

(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，

·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.

令x＝cos θ，y＝sin θ，

所以·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2＝2sin－2，又min＝－1，

所以·的最小值为－4.