高考数学(文数)一轮复习课时练习:9.1《随机事件的概率》(教师版)
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A组 基础对点练
1.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:从A、B中各取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的有(2,2),(3,1),共2种情况,所以所求概率P==,选C.
答案:C
2.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
分组 | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) |
频数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 |
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A.0.35 B.0.45
C.0.55 D.0.65
解析:数据落在[10,40)的频率为==0.45,故选B.
答案:B
3.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数,上述事件中,是对立事件的是 ( )
A.① B.②④
C.③ D.①③
解析:从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,有三种情况:一奇一偶,两个奇数,两个偶数.其中至少有一个是奇数包含一奇一偶,两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件,而①中的事件可能同时发生,不是对立事件,故选C.
答案:C
4.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )
A.0.20 B.0.60
C.0.80 D.0.12
解析:“能乘上所需要的车”记为事件A,则3路或6路车有一辆路过即事件发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.
答案:C
5.若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)=________.
解析:∵A,B为互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B),∴P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.
答案:0.3
6.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.
解析:记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A,B,C.则A,B,C彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.
答案:0.96
7.在一次满分为160分的数学考试中,某班40名学生的考试成绩分布如下:
成绩(分) | 80分以下 | [80,100) | [100,120) | [120,140) | [140,160] |
人数 | 8 | 8 | 12 | 10 | 2 |
在该班随机抽取一名学生,则该生在这次考试中成绩在120分及以上的概率为________.
解析:由成绩分布表知120分及以上的人数为12,所以所求概率为=0.3.
答案:0.3
8.某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:
获奖人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
概率 | 0.1 | 0.16 | x | y | 0.2 | z |
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值;
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y、z的值.
解析:记事件“在竞赛中,有k人获奖”为Ak(k∈N,k≤5),则事件Ak彼此互斥.
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56.
∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.
解得x=0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44,得
P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,
即y+0.2+0.04=0.44.解得y=0.2.
9.某校在高三抽取了500名学生,记录了他们选修A、B、C三门课的情况,如下表:
科目 学生人数 | A | B | C |
120 | 是 | 否 | 是 |
60 | 否 | 否 | 是 |
70 | 是 | 是 | 否 |
50 | 是 | 是 | 是 |
150 | 否 | 是 | 是 |
50 | 是 | 否 | 否 |
(1)试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修两门课的概率;
(2)若某高三学生已选修A门课,则该学生同时选修B、C中哪门课的可能性大?
解析:(1)由频率估计概率得所求概率P==0.68.
(2)若某学生已选修A门课,则该学生同时选修B门课的概率为
P(B)==,选修C门课的概率为P(C)==,
因为<,所以该学生同时选修C门课的可能性大.
B组 能力提升练
1.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9
[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计,数据落在[27.5,43.5)的概率约是( )
A. B.
C. D.
解析:[27.5,43.5)的频数为11+12+7+3=33,概率=.
答案:C
2.下列各组事件中,不是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
解析:平均分不低于90分,含有90分;平均分不高于90分,也含有90分,两者不互斥.
答案:B
3.现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子,将这枚骰子先后抛掷两次,这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6=36(个),
这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),共11个,
∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为P=.故选D.
答案:D
4.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过2”,则P(A+B)=________.
解析:将事件A+B分为:事件C“朝上一面的数为1、2”与事件D“朝上一面的数为3、5”.则C、D互斥,则P(C)=,P(D)=,∴P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=.
答案:
5.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意知⇒⇒⇒<a≤.
答案:(,]
6.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
解析:(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
7.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解析:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得
P(A)==0.15,P(B)==0.12.
由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
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