2020届广东省惠州高三一模数学文试卷及答案

这是一份2020届广东省惠州高三一模数学文试卷及答案，共17页。
 惠州市2020届高三第一次调研考试
文科数学
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设（为虚数单位），其中，是实数，
则等于（ ）
A．5 B． C． D．2
3．平面向量与的夹角为，，，则 （ ）
A． B． C．0 D． 2
4．不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球。现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若抛物线上的点到焦点的距离为，则点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象在和处的切线相互垂直，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．在长方体中，，，，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线与圆的公共点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．0
11．关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对的个数，最后根据统计个数估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，设，，，
则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则函数的最小值为________．
14．设函数，则＝_______.
15．等差数列的前项和为，若，，则的公差为 ．
16．已知球的直径，、是该球面上的两点，，
则三棱锥的体积最大值是________.

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．


18．（本小题满分12分）
A
B
C
D
P
M
N
在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，，点是中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.


19．（本小题满分12分）
某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：
车型
A型
B型
C型
频数
20
40
40
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．
（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；
（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：

优秀
合格
合计
男司机
10
38
48
女司机
25
27
52
合计
35
65
100



问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．
（参考公式：）
附表：

0．100
0．050
0．010
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828


20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的最大值；
（2）设实数，求函数在上的最小值．


21．（本小题满分12分）
已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点．当变化时，在轴上是否存在点，使得为直角。若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．


（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，求的面积．



23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围．


惠州市2020届高三第一次调研考试
文科数学参考答案与评分细则
一、选择题(每小题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
C
C
A
B
A
A
B
B
D
1.【解析】由中不等式得，解得，即，，故选B．
2.【解析】由，得，
∴，解得，∴．故选A．
3.【解析】,
∴,故选D．
4.【解析】设2只白球分别为,3只红球分别为，从5只球中随机摸两只球，其可能结果组成的基本事件有：,,,,,,,,,共个。两只球颜色不同包含的基本事件有,,,,,共个，所以所求概率为：,故选C.
5.【解析】抛物线的焦点,准线为,由到焦点的距离为,可知到准线的距离也为, 故到到的距离是9, 故选C.
6.【解析】由题意得，故，∴，
∴，∵，∴,故选A．
7. 【解析】由题意得．由得，
∴，∴．又，∴．故选B．
8.【解析】∵,∴, 依题意得, ,即,解得,故选A．
9.【解析1】连接,则与平行,所以为异面直线与所成的角,
∵，，,∴,
∴,所以, 异面直线与所成角的余弦值为. 故选A．
【解析2】连接，在中，，在中，，∵，∴；在长方体中，平面，分别为的中点，∴，∴平面，∵平面，∴。又∵平面，平面，，∴平面，又∵平面，∴, ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选A．
10.【解析】由得，∴，渐近线方程为.联立方程组整理得，有唯一解，∴这两条双曲线的渐近线均与圆相切，公共点个数为2个，故选B.
11.【解析】 由题意，名同学随机写下的实数对落在由的正方形内，其面积为。两个数能与构成钝角三角形应满足且，此为一弓形区域，其面积为。由题意，解得，故选B。
12. 【解析1】∵，
∴，
∴，∴函数是偶函数，∴当时，易得为增函数，
∴，，∵，，，
∴，∴，故选D．
【解析2】∵，
∴，
∴，∴函数是偶函数。当时，易得为增函数，
∴只需比较的大小。∵，∴；
∵，∴；∵，∴。∴，故选D。
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16. 2
13.【解析1】∵，∴，.
当且仅当，即时等号成立。
【解析2】∵，令得或，当时函数单调递减，当时函数单调递增。所以当时函数取得最大值为：。
14.【解析】.
15.【解析】∵①，，∴②。
①-②得，∴，。
16.【解析】因为球的直径，且，所以，，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大且满足，即，此时.


三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）
解：（1）由 化简得， ……………1分
由余弦定理……………2分
得， ……………3分
又因为， ……………4分（注1：无此步骤，本得分点不能给分）
所以． ……………………6分
（2）解法一：由正弦定理得， ………8分
所以，当且仅当时取等号， ……10分
故（时取等号）．………………11分
即面积的最大值为 ……12分（注2：无此步骤，本得分点不能给分）
（注3：最大值正确但无取等号的说明，扣1分）
解法二：由正弦定理：，∴
， ………………7分
∵,∴ ………8分
∴ ………………………9分
…………………10分
∵，∴当，即时，…………………………………11分
的面积的最大值为 …………………………………………12分
（注：本题解题过程的缺少“”（4分点）和“”（11分点）不重复扣分）

18．（本小题满分12分）
（1）证法1：∵是正三角形，所以，又∵，
∴所在直线为线段的垂直平分线， …………………………1分
所以为的中点， …………………………………………… 2分
又点是中点，所以， ………………………………… 3分
又，，…… 5分（注：本步骤，缺1个扣1分）
所以平面； …………………………………………6分
A
B
C
D
P
M
N
E
证法2：在正三角形中，，又，，
所以≌， …………………………………1分
∴为的中点．…………………………………………2分
取的中点为，连接．
∵为中点，为中点，∴，……………………3分
又平面，平面，（注：缺少本步骤，扣1分）
∴平面；…………………………………………………………4分
同理可得平面．
又∵平面，平面，，（注：缺少本步骤，扣1分）
∴平面平面．……………………………………………………5分
又∵平面，∴平面．………………………………6分
（2）解：设到的距离为，在中，
所以 ……………………7分
在中，，所以， ……………………………8分
在中，，，，所以，…………9分
由，即，……………………………10分
解得， …………………………………………………………………11分
所以点到平面的距离为……………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分）

19．（本小题满分12分）
解：（1）A、B、C型汽车抽取数目分别为……3分
（注：此步骤，算对1个给1分）
（2）根据题意，…………5分
…………………………8分
，………………………………………………………………10分
所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系. ……12分
（注：K2计算错误的前提下，K2＞6.635且结论判断正确，5分点后仍可再给4分，
即整个解答过程如果只是K2计算错误且结果大于6.635，则整道题可得9分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）， ……………………………………………………1分
令得 ……………………………………………2分
当时，，在上为增函数 ……………3分
当时，，在上为减函数 …………4分
，即的最大值为． ………………6分
（2），由（1）知：在上单调递增，在上单调递减。………7分
在上的最小值 ………………8分
…………9分
当时， …………10分
当时，， ……11分
综上所述：当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为. …………12分



21．（本小题满分12分）
解：（1）依题意，，
∵点在上，∴， …………………………1分
又∵，∴， ……………………………3分
∴椭圆方程为；………………………………………………4分
（2）假设且，则，
联立，……………………………………5分
解得，………………………………………………6分
，∴所在直线方程为，…………7分
∴，同理可得，………………………8分，……………………9分
，………………………………………………………10分
∴或， 点坐标为或．…………………………11分
∴存在点坐标为或，使得为直角。……………………12分

22．（本小题满分10分）
解：（1）消去参数可得的普通方程为，…………1分
由，得，………………………………2分
又因为，…………3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分）
所以的直角坐标方程为．……………………4分
（2）解法1：标准方程为，表示圆心为，半径的圆．………5分
到直线的距离，………………………………………………6分
故．……………………………………………………………7分
原点到直线的距离，…………………………………………8分
所以． …………………………………9分
综上，的面积为 ……………………………………10分
解法2：联立方程组得，…………………5分
∴，……………………………………………………………6分
∴ ……………7分
原点到直线的距离，……………………………………8分
所以．…………………………………9分
综上，的面积为 ……………………………………10分

23．（本小题满分10分）
解：（1）解法1：当时，不等式可化简为．………1分
当时，，解得，所以；………………………2分
当时，，无解；………………………………………3分
当时，，解得，所以．………………………………4分
综上，不等式的解集为．………5分（注：解集必须是集合或区间形式）
解法2：当时，………1分
当时，，解得，所以； ………………2分
当时，，无解； …………………………………………3分
当时，，解得，所以． ……………………4分
综上，不等式的解集为． ………………5分
（2）解法1：当时，不等式可化简为．……………6分
令，则的图像为过定点斜率为的一族直线， ………7分
数形结合可知，当时，在上恒成立………………………9分
所以，所求的取值范围为．………10分（注：最终结果可以是集合、区间或不等式）
解法2：当时，不等式可化简为．……………6分
由不等式的性质得或，
即或．……………………………………………………7分
当时，，不等式不恒成立；…………………………8分
为使不等式恒成立，则．………………………9分
综上，所求的取值范围为．……………………………………………10分