2020届广东省茂名高三二模数学（文）试卷及答案

这是一份2020届广东省茂名高三二模数学（文）试卷及答案，共17页。试卷主要包含了 若，则复数的虚部为， 已知，且则， 下列命题错误的是，圆M等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前 试卷类型：A
2020年茂名市高三级第二次综合测试
数学试卷(理科）2020.5
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5．考试结束后，请将答题卡上交.
第一部分 选择题(共60分）
1. 若，则复数的虚部为（ ）
A.2 B.1 C. D.-1
2．已知集合,，，则（ ）
A． B． C． D．
3. 已知，且则（ ）
A.0 B. C.1 D.
4. 下列命题错误的是（ ）
A．“x＝2”是“x2−4x+4＝0”的充要条件
B．命题“若，则方程x2+x−m＝0有实根”的逆命题为真命题
C．在△ABC中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”
D．命题p：“$x0∈R，x02−2x0+4＞0”，则﹁p：“"x∈R，x2−2x+4＜0”
5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）
A. B. C. D.
否
结束
输出m
是
r＞0?
r=1

开始
输入m, n
求m除以n的余数r
m=n
n=r

6. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个
算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出
的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环
结构的“辗转相除法”程序框图. 当输入m=1995，
n=228，输出的m是( )
A. 3 B. 19 C. 57 D. 114




7.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
8.设偶函数满足，则使不等式成立的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.圆M:与双曲线（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
10.某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：
(1)若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；
(2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；
(3)若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠．
某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元
A.540 B.620 C.640 D.800
11. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有( )．
①平面PAB⊥平面PAE；
②PB⊥AD；
③直线CD与PF所成角的余弦值为；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°;
⑤CD∥平面PAE.
A. ①④ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤
12.若关于x的方程在上有唯一实数解，则实数m的取值范围（ ）

第Ⅱ部分非选择题（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.
13．已知向量，，若()，则 .
14．的展开式中，常数项是 .
15.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则 .
16．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，则的a，b的等量关系式为 ，其面积的最大值为 .(本题第一空2分，第二空3分）
三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.设，数列的前项和为，已知，且，正项的等差数列的首项为2，且成等比数列.
(1) 求和的通项公式；
(2) 求证：.


18.如图，已知内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，是的中点，
（1）证明：平面；
（2）若四边形为矩形，且四边形所在的平面与圆所在的平面互相垂直，，AE与圆O所在的平面的线面角为600．求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.









19.已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线:相切.
（1）求椭圆的方程
（2）若直线：与y轴交点为P，A、B是椭圆上两个动点，它们在y轴两侧,,的平分线与y轴重合，则直线AB是否过定点，若过定点，求这个定点坐标，若不过定点说明理由.












20.2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合。参考数据（其中）：







0.41
0.1681
1.492
306
20858.44
173.8
50.39
（1）求关于的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.
（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.








21. 已知函数，.
（1）若,求证：有且只有两个零点
（2）有两个极值点,,且不等式恒成立，试求实数的取值范围.




(二)选考部分：共10分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C: (q为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程，点M().在直线l上，直线l与曲线C交于A，B两点.
（1）求曲线C的普通方程及直线l的参数方程；
（2）求△OAB的面积.




23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|.
（1）若f(x)≤1，求x的取值范围；
（2）若f(x)最大值为M，且a+b+c=M，求证：a2+b2+c2≥3.







2020年茂名市高三级第二次综合测试
数学试题参考答案和评分标准(理科数学）
一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
D
A
C
D
A
A
C
B
A
2．【解析】因为，，所以. 故选D.
3.【解析】法一：由且，得，
法二：由，所以，
所以.故选C.
4.【解析】由 x2−4x+4＝0Û(x−2)2=0Û x−2=0Û x＝2，∴A正确；
命题“若，则方程x2+x−m＝0有实根”的逆命题为命题“若方程x2+x−m＝0有实根，则”， 若方程x2+x−m＝0有实根Þ△=1+4m≥0Þ，∴B正确；
在△ABC中，若A＞BÞa＞bÞsinA＞sinB(根据正弦定理)∴C正确,故选D.
5.【解析】因为阳数为：1，3，5，7，9；阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个,满足差的绝对值为5的有:(1，6)，(3，8)，(5，10)，(7，2)，（9，4)共5个,则p= 故选A
6. 【解析】输入m=2020，n=303，又r=1.
①r=1＞0，2020÷303=6··············202，
r=202，m=303，n=202；
②r=202＞0，303÷202=1············101
r=101，m=202，n=101；
③r=101＞0，202÷101=2··············0.
r=0，m=101，n=0；
④r=0，则r＞0否，输出m=101，故选C.
7. 【解析】细沙在上部容器时的体积为，流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为4，设高为h，则，，下部圆锥形沙锥的母线长，此沙锥的侧面积.故选D.
8. 【解析】易知在上为单调递减，且，由得，，
又因为为偶函数，所以，所以.故选A.
A
B
M
o
x
y
9. 【解析】如图所示，,
所示
故选A
10. 【解析】【解析】依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；第二次付款4850元时，因为，所以其原来的价格为元．所以分两次购买饲料的原价为3200+5500=8700元.
方案二：若一次性付款，则应付款为：元，所以节省元. 故选C
11.【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故①成立；
∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴②不成立；
∵CD//AF, 直线CD与PF所成角为∠PFA，在Rt△PAF中, ,∴,∴③成立
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．
∵CD∥AF∥平面PAF，平面PAF平面PAE=PA，∴直线CD∥平面PAE也不成立，即⑤不成立．故选B
12.【答案】
【解析】设，所以当时，，
此时，由题意得，有唯一实数解，有唯一实数解, 令，由对勾函数的性质可知
时，在单调递减，在上单调递增，
所以在单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，结合的图象可知，
若与的图象有唯一交点，
即方程在上有唯一实数解，此时m的取值范围是.故选A
二．填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.
13．【答案】3
解析：∵ ，∴，即，
由已知得，∴
14．【答案】60
【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以常数项是60.
15.【答案】
【解析】由 ，在点处切线斜率 ，即
所以
16． 【答案】b=2a ; 12
【解析】等式中 6换为c得：由正弦定理有：，移项整理得：，即，所以，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设，则化简得： 如图，顶点C在圆上,记圆心为 显然当时，三角形ABC的面积最大, 这时 .
三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）由得， …………… ……………………………1分
即 ………………………………………………………………………………………………2分
是以首项，公比为的等比数列 ………………………………………………………………3分
……………………………………………………………………………4分
设等差数列的公差为d，由，且成等比数列.
即………………………………………………………………5分
……………………………………………………………………………………6分
……………………………………………………………………… …………… ………7分
（2） 由（1）得 …………………………………………… ……………………8分
=…………………………………………… …………………9分
= ……… …………… ……………………………10分
=……… …………………… ……………………………11分
= ………………………………………………… ………12分
18.证明：（1）连结BE，DBCE平行四边形且F为CD中点
F为BE中点 ……………………………………………… ………………1分
又O为AB的中点AE ……………………… ………………2分
AE平面ADE，OF平面ADE ……………………… ……… ……3分
平面 ……………………………………………… ………4分
（2）矩形平面ABC，平面DBCE平面ABC=BC，ECBC，EC平面DBCE
EC平面ABC ……………………………5分
又AB为圆O的直径 ACBC
以C点为原点建立如图所示的空间直角坐标系

BC=，AC=1
由EC平面ABC得，∠EAC就是AE与平面ABC所成的角
由tan600=得，CE= …………………………………6分
A（1，0，0），E（0，0，），D（0，，），B（0，，0）………………………7分
=（-1，0，），=(-1,,),=(-1,,0) ……………… ……………8分
设平面AED的一个法向量，
由得
即，所以………………9分
同理可得，平面AEB的一个法向量 …………………………………………………10分
……………………………… …………………11分
二面角D-AE-B二面角D-AE-B的平面角的余弦值为 ……………………………………12分
19.解：（1）抛物线的焦点为，所以 c= ………………………………………1分
∵直线:与圆相切，
∴ ………………………………………………………………………………2分
∴ ………………………………………………………………………………3分
∵椭圆的方程是 ……………………………………………… ………………4分
（2）b=1，直线与y轴交点P（0，2），………………………………………………5分
设椭圆上A、B两个动点的坐标为：. AB方程为：
由
………………………………………………………………6分
……………………………8分
又的平分线在y轴上
.........10分
m=, ……………………………………………………………………… ……11分
直线恒过定点 ………………………………………… ……………… …12分
20.【解析】（1）令，则可转化为，
因为， …………………………………………………………………………………1分
所以，……………………………………2分
则，………………………………………………………………3分
所以，因此y关于的回归方程为； ……………… …………………4分
与u的相关系数为：
，………………6分
（2）法一：（i）若产品单价为80元，记企业利润为（元），
订单为9千件时，每件产品的成本为元，
企业的利润为（元），…………………………………………………7分
订单为10千件时，每件产品的成本为元，
企业的利润为（元），…………………………………………………………8分
企业利润（元）的分布列为

260000
300000

0.7
0.3
所以（元）；………………………………………9分
（ii）若产品单价为70元，记企业利润为（元），
订单为10千件时，每件产品的成本为元，
企业的利润为（元），
订单为11千件时，每件产品的成本为元，
企业的利润为（元），……………………………………………10分
企业利润（元）的分布列为

200000
230000

0.3
0.7
所以（元），……………………… …………………11分
故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. …………………………………12分
法二：（i）若产品单价为80元，记企业的产量为（千件），其分布列为

9
10

0.7
0.3
所以 ………………………………………………………………………8分
企业的利润为： ……………………………… …………………9分
（ii）若产品单价为70元，记企业的产量为（千件），其分布列为

10
11

0.3
0.7
所以 ……………………………………………… …………………10分
企业的利润为： …………………………………………………11分
故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. ……………………12分

21. 解:(1)定义域为，
，又 …………………………………………………………1分
所以在是减函数，在是增函数 …………………………………………2分
又，
所以在有唯一零点，且在也有且只有唯一零点，…………………………3分
同理，

所以在有唯一零点，且在也有且只有唯一零点 …………………………4分
所以有且只有两个零点 ……………………………………………………… …………………5分
（2）定义域为，
有两个极值点，，即
，有两不等实根…… 6分
，
且， …………………………………………………………………7分
从而, …………………………………………………………………………8分
由不等式 恒成立，得

恒成立 …………………………………………………10分
令,
当时恒成立，所以函数在上单调递减，， …………………………………………………………………11分
故实数的取值范围是 …………………………………………………………12分
(二)选考部分：
22.解：（Ⅰ）将曲线C: 消去参数得，曲线C的普通方程为：.……………1分
∵点M()在直线上，∴a==. ……… …………………2分
∴，展开得(rcosq+rsinq)=, 又x＝rcosq，y＝rsinq，
∴直线l的直角坐标方程为x+y−2=0, …………………………………………………………………4分
显然l过点(1, 1), 倾斜角为.
∴直线l的参数方程为(t为参数). ………………………………………………………5分
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ），将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：
， …………………………………………………………………6分
整理得，显然△＞0
设A, B对应的参数为t1, t2, 则由韦达定理得，. ………………………7分
由参数t的几何意义得|AB|=| t1−t2|==， …………8分
又原点O到直线l的距离为d=. …………………………………………………9分
因此，△OAB的面积为S=. …………………………………………10分
法二：由（Ⅰ）可知，直线l的直角坐标方程为x+y−2=0,
联立,整理得，显然△＞0 ……………………… …………………6分
设A, B对应的坐标为t1则由韦达定理得，. …………………7分
所以 ………………………………8分
又原点O到直线l的距离为d=. ………………………v…………………………9分
因此，△OAB的面积为S=. …………………………………………10分
法三：由（Ⅰ）可知，直线l的直角坐标方程为x+y−2=0,
联立,整理得，显然△＞0 …………………………………………6分
设A, B对应的坐标为则由韦达定理得，. …………………7分
因为直线l过椭圆右顶点（2,0），所以，…………………8分
把代入直线l的方程得…………………9分
因此，△OAB的面积为S=. ………………………………………………………10分
23．解：(Ⅰ)由已知 …………………………………………………………1分
当x≥2时，f(x)=3，不符合； …………………………………………………………………………2分
当−1≤x＜2时，f(x)=2x−1，由f(x)≤1，即2x−1≤1，解得x≤1；……………… …………………3分
当x＜−1时，f(x)= −3，f(x)≤1恒成立. ………………………………………………………………4分
综上，x的取值范围是. …………………………………………………………………………5分
(Ⅱ) ,
由(Ⅰ)知当且仅当x≥2时，f(x)=3， …………………………………………………………………6分
所以M= f(x)Max=3.即a+b+c=3， …………………………………………………………………………7分
因为a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb， …………………………………………………………8分
所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+cb)
所以3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb=(a+b+c)2=9 …………………………………………9分
因此(a2+b2+c2)≥3 ……………………………………………………………… …………………10分