三角恒等变换及其综合应用练习题

三角恒等变换及其综合应用

副标题

1. 若，，且，，则的值是

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 已知终边与单位圆的交点为则的值等于   

A.  B.  C.  D.

3. 已知，且，则等于 

A.  B.  C.  D.

4. 若，，则    

A.  B.  C.  D.

5. 已知，且，则          ．
6. 已知，则          ．
7. 函数的值域为          ．
8. 已知．
   求值；

求的值．






 

9. 已知，，且，，求的值．
   
   
   
   
   
   
    
10. 证明：若，求证：；

已知，均为锐角，且满足，，求证：．






 

11. 在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
    已知，，，______，求注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
    
    
    
    
    
    
     
12. 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形另一种是顶角为的等腰三角形例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得

A.  B.  C.  D.

13. 阿耶波多第一是已知的印度最早的数学家，对三角学的作出了巨大的贡献，公元世纪初，他用勾股定理先算出、、的正弦值之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔的正弦值表。若已知的正弦值近似为，则按照阿耶波多第一的方法，可以算出的正弦值为          ．
14. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，，较小的锐角若，正方形的面积为，则          ，          ．
15. 若，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 已知，，

求的值；

你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？






 

17. 已知函数，若在恰有个最值点，则的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于较难题．
依题意，可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及余弦函数的单调性即可求得答案．

【解答】

解：，，，
，，
又，
，即，
，
又，
，
，


．
又，，
，
，
故选A．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二倍角公式以及三角函数的定义，考查三角函数的化简计算，是基础题．
先根据条件判断角所在的象限并求的值，再对所求式子利用二倍角公式化简即可求得结果．

【解答】

解：终边与单位圆的交点为，
，
，
为第三象限角，
，
，
原式
，
故选A．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题，
先根据两角和的正切公式得到，根据同角三角函数的关系得到，再将所求式子展开，代值计算即可．

【解答】

解：

由题意可得：，
解得：，结合有：

，

．
故答案为．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查半角公式，考查同角三角函数关系以及相关公式定义的化简求值的运用．
根据角的范围确定角所在的象限，求出的值，再根据半角公式求出，最后根据二倍角公式即可求得结果．

【解答】

解：，即，
为第二象限角，

，

，
为第三象限角，

，

．

故选B．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数化简求值，属于中档题．
利用两角和与差的三角函数得到，由同角基本关系即可求解．

【解答】

解：

，

．
．
故答案为：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：倍角公式及和差化积公式，同角三角恒等式的应用，属于较难题．
首先利用提公因式法对关系式进行恒等变换，进一步利用倍角公式及和两角和与差的三角函数公式进行恒等变换，最后求出结果．

【解答】

解：







，
由于，
所以．
故答案为．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数的定义域和值域的求法，两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式的应用，属于较难题．
先根据两角和与差的三角函数公式和二倍角公式化简，再求其值域即可．

【解答】

解：

，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以的值域是．
故答案为．

8.【答案】解：由条件得， 
，即， 
，
， 
， 


．
由得， 
又，
， 

 ．
 

【解析】本题主要考查两角和与差的三角函数，熟练运用公式及角的配凑是关键，考查学生计算能力，属于中档题．
由两角和的正弦函数化简已知的等式求出，由的范围和平方关系求出，由角之间的关系和两角差的正弦函数求出的值 
由和二倍角余弦公式的变形求出，由两角差的余弦函数求出答案．
 

9.【答案】解：，，
．

，，
．

 

．

【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式；由已知求出，，然后凑角，利用两角和与差的三角函数公式求解．
 

10.【答案】证明：，

，

，

故得证；

，

，

，

，

、式两式相除得：，

，即，

又，均为锐角，

，

故得证．

【解析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式和二倍角公式及应用．

由题可得，则原式左边，再由和二倍角公式化简得结果；

由题意可得，，两式相除得，则，即，又，均为锐角，故．

11.【答案】解：方案一：选条件
解法一：因为，所以．
由平方关系，解得或 
因为，所以．
因为，由平方关系，解得．
因为，所以，所以，
所以．
解法二：因为，所以点在角的终边上，
所以，．
以下同解法一．
方案二：选条件
因为，所以，
因为，所以，所以．
由平方关系，解得因为，所以．
以下同方案一的解法一．
方案三：选条件
因为，所以．
由平方关系，得因为，所以．
以下同方案一的解法一．
故．
 

【解析】本题主要考查了和差角公式及同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于较难题．
选条件由，结合同角基本关系可求，，然后结合，利用差角余弦公式展开可求．
选条件由，求出，可得，，然后结合，利用差角余弦公式展开可求．
选条件由，结合同角基本关系可求，，然后结合，利用差角余弦公式展开可求．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形的实际应用，诱导公式及二倍角公式的应用，具有解读信息与应用信息的能力是解题的关键．
由题意，，且，进而利用二倍角公式及诱导公式即可求得结果．

【解答】

解：由图形知，，且，
，
，
．
故选A．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数关系式及半角公式，属于较难题．

根据，求出的值，根据半角公式即可求得结果．

【解答】

解：因为，所以，

根据半角公式，

故答案为．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题重点考查二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．
根据题意求出，，再利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系即可求解．

【解答】

解：由题意得，且
解得
故，
所以，
故，
由题意，知，则，
故
，
故答案为：．

15.【答案】证明：由，得，
即
另一方面，要证，
即证，
即证
化简，得
上式与式相同．所以，命题成立．
 

【解析】本题考查条件恒等式的证明，两角和的正弦函数与同角三角函数的基本关系式的应用，分析法的证明方法的应用，属于较难题．
通过切化弦，化简已知条件得到，利用分析法化简所要证明的恒等式，得到即可．
 

16.【答案】解：由可得，
解得或由，舍去，
所以，于是；

根据所给条件，可求出仅由，，表示的三角函数式的值．
例如，，，，等等．
，，
．

【解析】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出的值，进而求出的值，联立求出与的值，即可确定出的值；
求出的值．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，属中档题．
可得，，则，可得，由此求解即可．

【解答】

解：，
令，，则，
要使在上恰有个最值点，
则由正弦函数的图像可得
．
故选A．