与三角形周长、面积有关的问题

与三角形周长、面积有关的问题

副标题

1. 是锐角三角形，且，，分别是角，，所对的边，，，则的周长的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

2. 若圆的半径为，、、为圆的内接三角形的三边，若，则三角形的面积为   

A.  B.  C.  D.

3. 在中，，，，则该三角形的面积为

A.  B.  C.  D.

4. 在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，，，则面积的取值范围为     

A.  B.  C.  D.

5. 已知的三个内角所对的边分别为，且面积，，则角等于   

A.  B.  C.  D.

6. 阿波罗尼斯是古希腊数学家，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为   

A.  B.  C.  D.

7. 设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为     

A.  B.
C.  D.

8. 中角，，所对的边分别为，，，．
   求的面积；
   求的周长．
   
   
   
   
   
   
    
9. 设的内角，，的对边分别为，，，其中，已知．

Ⅰ求角的大小；

Ⅱ在，，这三个条件中任选一个______，若这样的三角形存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由．






 

10. 在 ，的面积为这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题：

在中，角、、所对的边分别为、、，

已知，_______，且．

求的周长；

已知数列为公差不为的等差数列，数列为等比数列，，且，，若数列的前项和为，且，，证明：．

注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．






 

11. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”类比赵爽弦图，由个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为且，则的面积为          ．
12. 在中，若，，，，则的面积为          ．
13. 在中，角、、所对的边分别为、、，，当角取最大值时，的周长为，则           ．
14. 现给出两个条件：，，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．

在中，，，分别为内角，，所对的边，          ．

求；

若，求周长的最大值．






 

15. 中，．

求；

若，求周长的最大值．






 

16. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
     
    求；
    设为边上一点，且，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图为一块边长为的等边三角形地块，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从的中点出发引出两条成角的线段和，与和围成四边形区域，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设．

当时，求绿化面积；

试求地块的绿化面积的取值范围．






 

18. 在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

已知的内角，，所对的边分别是，，，若___________．

求角；

若，求周长的最小值，并求出此时的面积．

注：在第问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．






 

19. 在，
    ，
    ．
    这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．
    在中，内角的对边分别为，且___________．求；
    若，求周长的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图所示的是一江边，，为岸边，它们的交角为，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：
    

方案：如图，在岸边上取两点，，用长度为的围网依托岸边线围成两边为围网；

方案：如图，在岸边，上分别取点，，用长度为的围网依托岸边围成．

请分别计算，面积的最大值，并比较哪个方案好．






 

21. 如图，某农场有一块斜边长度为米的等腰直角三角形空地，为迎接“五一”观光游，欲在斜边界上选择一点，修建与边界的夹角都为的观赏小径、，其中点、分别是边界、上与端点不重合的两个动点．若区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花．

探究：观赏小径与的长度之和是否为定值？请说明理由；

为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径形成的的周长最小？






 

22. 如图，已知在平面四边形中，，，，且
     

证明：；

若，，求四边形的面积的取值范围．






 

23. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中百米，百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．
    若百米，判断是否符合要求，并说明理由；
    设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理的运用，考查学生的运算能力，属于基础题型．
利用正弦定理把边化成角，然后由是锐角三角形可得，进一步求出答案．

【解答】

解：，



，
由锐角三角形知
解得，
，
则周长的取值范围为
故选D．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理的应用．考查了考生运用正弦定理及其变形公式解决问题的能力．

先根据正弦定理求得，代入三角形面积公式根据的值求得答案．

【解答】

解：，
，
．
故选C．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．
由已知利用三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：，，，
．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理与三角恒等变换求三角形面积的取值范围，属于中档题．
利用面积公式表示出三角形的面积，再通过三角函数公式化简即可求解．

【解答】

解：由正弦定理可得，
，，





，
又为锐角三角形，，
即，，，．
故选A．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题．
由三角形面积公式得，又由可得化简得即可．

【解答】

解：，，
又，，
即，
，所以，
，，
，，则，
故选C．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理、三角形面积公式的应用，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
由正弦定理和条件得，由余弦定理得到，由平方关系求出，根据面积公式化简的面积的表达式，利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值．

【解答】解：，
由正弦定理可得，
，
，
，
由余弦定理
，
，
，
，
当时，的面积有最大值．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值，易错点是限制角的取值范围．

【解答】

解：因为为锐角三角形，

所以，

即，，

所以，；

又因为，

所以，

又因为，所以；

由，

即，

所以，

令，则，

又因为函数在上单调递增，

所以函数值域为．

故选C．

8.【答案】解：由，即得，
所以的面积．

由余弦定理及可得
，
，即，
所以的周长为．

【解析】本题主要考查平面向量的数量积，三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基础题．
由得，进而根据三角形面积公式可得；
结合的结论及余弦定理可得，即，即可求周长．
 

9.【答案】Ⅰ因为，由正弦定理得，
又因为，所以，则
即，
又因为，所以                             
Ⅱ由余弦定理得，即，  
若选：因为，所以，
所以，与矛盾，
所以满足条件的三角形不存在．                         
若选：因为，所以，由，得，
所以的周长为                 
若选：因为，又，所以，
所以，，所以的周长．
 

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属基础题．
由正弦定理化简可得，结合两角和与差的三角函数公式可得，即可求得角；
若选择条件由三角形面积公式得到，可得，与矛盾，满足条件的三角形不存在；
若选：因为，所以，联立，求出，可得三角形周长．
若选：因为，又，求出，可得三角形周长．
 

10.【答案】解：若选，因为，
所以，所以，
所以，

又，可得，因为，
所以，即，
将代入与，

可得和，
解得，，

所以的周长为．

若选，因为，
所以，

所以，
所以，

又，可得，

因为的面积为，
所以，

所以，将，代入，

可得，
所以的周长为．

因为，所以，，

设数列的公差为，数列的公比为，
因为，，

所以，，

消去，可得，
解得或，

因为，所以，
所以，，
即有，，

当时，，

又因为适合上式，
所以，，

故，

令，

，

作差可得，

所以，

设，

所以．

因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以．

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、等差数列与等比数列的通项公式及数列求和，属于综合题．
选择条件：由正余弦定理可得，即可得角的值，再结合条件利用余弦定理可得，，进而可得周长；
选择条件：由正余弦定理可得，即可得角的值，由三角形面积公式，可得，进而利用余弦定理可得，于是可得周长；
结合中结论：，可得，，进而可得数列，的通项公式，于是可得数列的通项公式，进一步利用错位相减法和裂项相消法求和可证．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．
根据，设，利用余弦定理求得，再利用面积公式求解即可．

【解答】

解：因为，
所以．
设，则，
在中，
由余弦定理可得，
解得，
所以．
故答案为 ．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算及三角形面积公式，属于中档题目．
利用平面向量的数量积运算得出，求出，再由三角形面积公式得出即可．

【解答】

解：因为
，
所以

，
所以，即，
所以的面积．
故答案为．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了正、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数关系式，基本不等式在解三角形中的应用问题，是较难题．
根据题意由正弦定理得出，为钝角，得，由两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得出，且，由已知及基本不等式求出取得最大值时，，可求，利用余弦定理可求，结合已知求得的值，进而可求的值．

【解答】

解：中，，
，即，
为钝角，

，
由，得，
即，
由
，
可得，且，

，
当且仅当时取等号，
取得最大值时，，
，由，可得：，
三角形的周长为
，
解得：，
可得：．
故答案为．

14.【答案】解：选，
由正弦定理可得：，

即，
，

，，
，即，

又，；

选，

由正弦定理可得：，

，

，，
，又，；

由余弦定理，得，
即，
即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
解得，当且仅当时取等号．
所以，
即周长的最大值为．

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数、基本不等式的应用，属中档题．
选由正弦定理可得：，利用两角和与差的三角函数可得，即可求；

选，由正弦定理可得：，同理可求；

由余弦定理得：，利用基本不等式可得，即可求出周长最大值．

15.【答案】解：在中，设内角，，的对边分别为，，，
因为，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
因为，所以．
由知，，因为，即，
由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式可得，
所以
所以当且仅当时取得等号，
所以周长的最大值为．
 

【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．
直接利用正余弦定理即可求解；
利用余弦定理与基本不等式即可求解．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
由余弦定理可得，
即，
即，
解得舍去或，
故．
，
，
，
，
，，
又
，
．
 

【解析】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
根据余弦定理即可求出；
先求出，求出的长，得到，即可得解．
 

17.【答案】解：当时，，，
所以四边形是平行四边形，和均为边长为的等边三角形，面积都是，
所以绿化面积为；
由题意知，，
在中，，
由正弦定理得，所以，
在中，，
由正弦定理得，所以，




，

，
当时，
，
，
，
，
，
故绿化面积的取值范围为．
 

【解析】本题考查解三角形的实际应用，三角形面积公式，正弦定理的应用，两角和差的三角函数公式，三角函数的定义域和值域，属于中档题．
根据时，，，可知四边形是平行四边形，和均为边长为的等边三角形，面积都是，所以绿化面积为的面积减去和的面积；
由题意知，在中和中，根据正弦定理得，，即可得到，再根据，利用两角和差的三角函数公式，三角函数的定义域和值域即可得到绿化面积的取值范围．
 

18.【答案】解：选，
由正弦定理得，
，
，

即，
，
，

，．
选，
，，

由正弦定理可得，
，，，
，．

选，
，

由已知结合正弦定理可得，
，

，
，，

，
即，

，解得，
当且仅当时取等号，

，周长的最小值为，
此时的面积．

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的应用，考查了学生的分析以及计算能力．
根据题意均可运用正余弦定理得角；
由题意得的最小值，从而得周长的最小值，再根据面积公式即可得．
 

19.【答案】解：若选，由已知及正弦定理得，，
所以，所以，
又，所以，
所以，即，
所以；

若选，由已知及倍角公式得，

所以，

所以，

由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，
所以；

若选，依题意，

将，代入整理得，
，所以，
因为，所以．

由正弦定理
 

，
，
 

故，即

所以周长为．

【解析】本题考查解三角形、三角恒等变换、向量的数量积和三角函数的性质，属于较难题．
若选，由正弦定理和两角和与差的三角函数公式化简得，即可求解；
若选，由二倍角公式和正弦定理化简得，再根据余弦定理即可求解；
若选，由向量数量积得，，结合二倍角公式即可求解；
由正弦定理和三角恒等变换公式得，再利用三角函数的性质求出的范围，进一步可得周长的范围．
 

20.【答案】解：方案：设，，
由已知“用长度为的围网，，两边为围网”，
得，，且，
，
当且仅当，且时，等号成立，
的面积的最大值为．
方案：设，，则在中，由余弦定理得：
，
即，
当且仅当时，等号成立，
面积的最大值为，
方案好．
 

【解析】本题考查了三角函数的实际应用以及利用基本不等式求最值，难度稍大．
方案：设，，则，，且，从而，进而得到的面积的最大值为．
方案：设，，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，从而面积的最大值为，由此得到方案好．
 

21.【答案】证明：在三角形中，由正弦定理可得：，
化简得，同理可得，
为定值．
在三角形中，由余弦定理得



，
，当且仅当，即为的中点时，
取得最小值，
为的中点时，三条小径、、的长度和最小，
且最小值为

 

【解析】本题考查解三角形的实际应用，涉及正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，属中档题．
分别在三角形和中由正弦定理求得，，然后相加可得定值；
三条小径、、的长度和最小最小，在三角形中由余弦定理可得，平方后用基本不等式可得．
 

22.【答案】解：由得

．

整理得，

即得．

因为在中，，

所以，，

所以，

由正弦定理得．

因为，，

所以，为等边三角形．

设，，

则

．

在中，由余弦定理得

．

所以

．

因为，所以，

所以，得．

所以．

因此，四边形面积的取值范围为．

【解析】本题考查两角和差三角函数以及正余弦定理的应用，考查推理论证能力和运算求解能力等，属于较难题．
根据两角和差三角函数即得，在中，，
可得所以，由正弦定理得．
由知为等边三角形，设，，

，根据三角函数的范围即可求解．

23.【答案】解：百米，可得，，
所以，，，
所以，
所以，不符合要求．
，，
所以，，
，
，
所以，的最小值为．
 

【解析】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可．
，，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．