数列中的奇偶项问题

数列中的奇偶项问题

副标题

1. 若数列，的通项公式分别为，，且对任意恒成立，则实数的值不可能是

A.  B.  C.  D.

2. 已知数列中，，，记为的前项和，则          ．
3. 已知数列满足：，，且，等比数列公比，令，则数列的前项和          
4. 若数列对于，都有为常数，则称数列是公差为的准等差数列．例如，则数列是公差为的准等差数列．设数列满足：，对于，都有．

求证：数列为准等差数列；

求数列的通项公式．






 

5. 已知数列满足：，，且

求，，，的值及数列的通项公式；

设，求数列的前项和．






 

6. 设数列前项和为，，．
   Ⅰ求出通项公式；
   Ⅱ若，求数列的前项和．
   
   
   
   
   
   
    
7. 在数列中，，．
   证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式
   已知数列的前项和为，且数列满足，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
   
   
   
   
   
   
    
8. 已知数列满足，，记数列的前项和为．
   求的值；
   求的最大值．
   
   
   
   
   
   
    
9. 已知数列的前项和为，，，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为          ．
10. 已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，且，则的通项公式为          ，的通项公式为          
11. 设正项数列的前项和，则          ；若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是          ．
12. 已知数列满足，，，且是递减数列，是递增数列，则          ．
13. 已知数列前项和为，且

求数列的通项公式；

令，求数列的前项和为；

记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了数列的通项公式，不等式恒成立问题，属于中档题．
由题意分是偶数和是奇数，分别求出的取值范围，即可得出选项．

【解答】

解：由，可得，
若是偶数，不等式等价于恒成立，
可得，
若是奇数，不等式等价于，即，，
所以，
综上可知实数的值不可能为，，
故选AD．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的求和公式．
由题意得出数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，由等比数列的求和公式易得答案．

【解答】

解：因为，，所以，
又，
所以数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，
偶数项是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
故答案为．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的求和、等差数列的判定与证明、等比数列的通项公式，等比数列的求和以及分组转化求和法，属于较难题 
由题意，可知，，在式子且中，取，进一步分析可求得，，进而可证得数列是首项为，公差为的等差数列，得出，，于是根据题设条件可求数列的前项和．

【解答】

解：由题意，因为数列为等比数列，其公比，
所以，，
且，
令得，即得，
所以，，
于是式可化为，
所以，
，得，
所以，且，
又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，
所以
所以


．
故答案为：．

4.【答案】证明：因为， 

所以， 

得，

所以数列是公差为的准等差数列；

解：因为，，
所以，即，

由知，，，是以为首项，为公差的等差数列，
，，，是以为首项，为公差的等差数列，

所以当为偶数时，，

当为奇数时，．

所以．

【解析】本题考查了数列的递推关系，创新问题专题，等差数列的判定与通项公式，属于中档题．
利用题目所给定义，结合数列的递推关系计算得结论
，，，是以为首项，为公差的等差数列，，，，是以为首项，为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式得结论．
 

5.【答案】解：因为，
当为偶数时，可得，即，
当为奇数时，，即，
可知数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项是公比为的等比数列，
又，，
当，时，；
当，时，，
故当为奇数时，；当为偶数时，，
即有；
由可得，，
因此，，
，
，
两式相减得，
，
则．
 

【解析】本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于较难题．
讨论为奇数和偶数，由等差数列和等比数列的通项即可得到数列的通项公式；
求出，运用错位相减法，即可得到数列的前项和．
 

6.【答案】解：Ⅰ数列前项和为，，，因为
整理得：，
转换为，即
所以常数，又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以，
整理得，
所以，经验证首项符合通项，
故
Ⅱ由Ⅰ得：，
故，
当为奇数时，，
设数列的前项中奇数项的和为，
所以，
设数列的前项中偶数项的和为，
所以，
，
得：，
整理得，
故．
 

【解析】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
Ⅰ直接利用数列的递推关系式以及得到是等比数列，即可求出通项公式；
Ⅱ设数列的前项中奇数项的和为、偶数项的和为，利用裂项相消法、乘公比错位相减法求出数列的和．
 

7.【答案】解：因为，
所以数列是公差为，
首项为的等差数列， 
所以  
所以数列的通项公式为  
由题干知：，
令 
则      
得     ，
所以，
，
若为偶数，则，；
若为奇数，则，，．
综上，．
 

【解析】本题考查了等差数列的判断，利用递推公式求解数列通项，错位相减求和以及数列与不等式的综合应用，属于拔高题．
将数列的递推公式化简，可得，即可证明数列是等差数列，然后结合等差数列通项公式即可求解．
利用错位相减求解，可得，根据的奇偶与最值求解的取值范围．
 

8.【答案】解：由可得，
当时，
所以，，，，
因此．
当时，，
式减去式得，
又由，可知，得，
进而可得，，；当时，；
又，，
则时，；
又，，，，，
时，；
因此时，取得最大值，且．
 

【解析】本题考查数列的递推式的运用，以及数列求和，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
求得当时，，再由累加法和等差数列的求和公式，计算可得所求值；
当时，，结合可得，，分别讨论各项的符号，进而得到的变化规律，可得所求最大值．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式恒成立问题以及数列的递推关系，数列的单调性，等比数列的判断，是中档题．
由，得，得，故，，构成以为首项，为公比的等比数列，，，构成以为首项，为公比的等比数列，分析数列，求的最大值，进一步求的取值范围．

【解答】

解：，，
又，
，
得，
故，，构成以为首项，为公比的等比数列，，，构成以为首项，为公比的等比数列，
故数列为，，，，，，，，，
，
随的增大而减小，
当时取得最大值，
对恒成立，得，
即，
故答案为．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查根据数列的递推关系，求数列的通项公式，属于中档题．
运用相邻项作差法得到，进一步确定是以为首项，为公差的等差数列，进而求得的通项公式；运用作商法得到，进而得到隔项成等比数列，由此可得的通项公式．

【解答】

解：，

，

由得，

．

，，，
．

又由得，即，

或舍去．

，是以为首项，为公差的等差数列，

．

，

，

由得，又，，

，，，是首项为，公比为的等比数列，，，，是首项为，公比为的等比数列．

，，，
 

故答案为；．

11.【答案】；

【解析】

【分析】

本题主要考查数列和的递推关系，考查数列不等式的参数取值范围等基础知识，属于较难题．
由条件可得，可知数列是等差数列，进而可得，于是不等式可化为讨论为奇数或偶数，即可得到结果．

【解答】

解：由，
得， 
两式相减，得，
即
又是正项数列，故，
又由，解得，
所以数列是首项，公差的等差数列，
则；
所以．
不等式对任意 恒成立，即，
则对任意 恒成立．
当为奇数，，
因为，为奇数时，的最大值为，此时，故；
当为偶数，，
因为，为偶数时，的最小值为，此时，故．
综上，的取值范围是．
故答案为：；．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列前项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
由，，，可得：，，根据：数列是递减数列，且是递增数列，可得，可得：，同理可得：，再利用“累加求和”即可得出．

【解答】

解：由，，，
则，，
数列是递减数列，且是递增数列，
，
又，
，即，
同理可得：，
又，
则，
当数列的项数为偶数时，令，
，，，，，
，，，．

．
．
故答案为：．

13.【答案】解：令，，解得，
，
，两式相减得：，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
由得：，
则，
，
由得，
．
，
当为奇数时，，
由，
即 ，
所以
当为偶数时，，
由，
即 ，
所以，
综上所述，当时，对任意恒有．
 

【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式，利用错位相减法求和，不等式的恒成立问题，考查学生的计算能力和推理能力，难度较大．
根据即可解出数列的通项公式；
将代入可得，利用错位相减法求和即可得到数列的前项和为；
根据题意，对分情况讨论即可求得的取值范围．