数列求和方法练习题

这是一份数列求和方法练习题，共19页。试卷主要包含了【答案】n2，【答案】解，【答案】C等内容，欢迎下载使用。
 数列求和副标题得分   已知数列中，，前项和为，且点在直线上，则   A.  B.  C.  D. 已知数列的前项和为且，记，若对恒成立，则          ；的最小值为          ．已知数列满足：，
求数列的通项；
若，求数列的前项和；
设，，求证：．






 已知是正数组成的数列，，且点在函数的图象上．数列满足，
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．






 已知数列的前项和为若且．求数列的通项公式；设，求数列的前项的和．






 已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列求数列的通项公式；设，求数列的前项和．






 数列中，且满足．求数列的通项公式；设，求；设，，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立若成立？求出的值；若不存在，请说明理由．






 对于正项数列，定义为数列的“匀称”值．若当数列的“匀称”值，求数列的通项公式若当数列的“匀称”值，设，求数列的前项和及的最小值．






 已知数列，满足：．
证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
设，求实数为何值时恒成立．






 数列满足，若对，都有成立，则最小的整数是A.  B.  C.  D. 已知数列中，，且，，则以下结论正确的是   A.
B. 是单调递增数列
C.
D. 若，则表示不超过的最大整数在，，是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为，为等比数列，其前项和，为常数，，___．
求数列，的通项公式；
令，其中表示不超过的最大整数，求的值．






 已知数列的前项和为，且，，数列满足，．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ若数列满足，且对任意恒成立，求实数的取值范围．






 已知数列，的前项和分别是，，，且求数列，的通项公式；若，且，求证：







答案和解析 1.【答案】
 【解析】【分析】本题考查数列的通项及前项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累．
通过将点代入直线，进而可知数列是首项、公差均为的等差数列，从而裂项可知，进而并项相加即得结论．【解答】解：因为点在直线上，
所以，
又因为，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
所以，
，
所以
．
故选A．  2.【答案】
 【解析】【分析】本题考查数列的递推关系及裂项相消法求和，属于较难题．
由已知得，从而得，，即可表示出，根据对恒成立，分离参数，得，即可求解．【解答】解： 
， 
 即，
数列为首项为 ，公差为 的等差数列，
即 
则， ，
所以 ，
由，得 ，
因为 或 时，有最大值，
 ，即的最小值为，
故答案为； ．  3.【答案】解：因为，
所以当时，
；
又，
故．
由及题设知：，
所以，
所以，
所以．
证明：由及题设知：，
所以，
所以
即，所以．
又是递增数列，
所以的最小值为；即可证得；
 【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
利用已知条件通过累加法求解数列的通项公式．
利用错位相减法求解数列的和．
求出数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，即可证明不等式．
 4.【答案】解：Ⅰ因为点在函数的图象上
所以
根据等差数列的定义：是首项为，公差为的等差数列
所以
则，，，，
，当时也满足，
故
，
当为偶数时，
设，则
得
当为奇数时，
 【解析】Ⅰ由题设条件知，根据等差数列的定义：是首项为，公差为的等差数列，从而，根据，可得累加可求和，从而得的通项公式；
 根据，可得，再分为偶数，奇数分别求和即可．
本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，考查分组求和，解题时要注意公式的灵活运用，属于拔高题．
 5.【答案】解：且，
时，，
，
，
，
 ，
又当时，，
，
所以是首项为，公差为的等差数列．
；
，
当为偶数时
当为奇数时，
，
综上：
 【解析】本题主要考查了数列的递推关系，数列的通项公式和数列的求和，属于较难题．
由与的关系，以及，可得是首项为，公差为的等差数列，求出即可；
当为偶数时，利用分组求和即可，当为奇数时，，计算可得．
 6.【答案】解：函数，
即，
令得，，，
依题意，；
是周期的数列，
，，，，
，，，，
从而，，，
所以是周期为的数列，
 【解析】本题考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查数列的周期性的判断和求和，考查运算能力．
由二倍角公式化简，求得方程的解，可得所求通项公式；
求得的周期，计算一个周期的项，分类讨论，结合周期性即可得到所求和．
 7.【答案】解：由题意，，
为等差数列，设公差为，
由题意得，
．
若，则，
当时，
，
时，
，
故．
，
若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，
，的最大整数值是．
即存在最大整数，使对任意，均有．
 【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．
由条件，可得，从而为等差数列，利用，可求公差，从而可求数列的通项公式；
利用，则，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；
先裂项求和，再根据对任意成立，得对任意成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数．
 8.【答案】解：当时，，
即，
令，
当时，
当时，，即，
检验：时，成立，
综上所述：；
当时，，
即，
令，
当时，，
当时，，即，
检验：时，成立，所以，
则
，
当为奇数时，
当为偶数时，，
故，
令，则，
因为，
所以为递增数列，即为递增数列，
当时，．
 【解析】本题考查数列的新定义、数列的通项公式、裂项求和和数列的单调性，属于较难题．
由新定义得，令，利用和的关系即可求解
先求出，得，然后对进行分类讨论，令，利用数列的单调性即可求解．
 9.【答案】解：证明：，
，．
由，，可得，，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
，
．
，
，
．
由条件可知恒成立即可满足条件，
设，
当时，恒成立，
当时，由二次函数的性质知不可能恒成立．
当时，对称轴，
在为单调递减函数．
，，
即有时，恒成立．
综上知：时，恒成立．
 【解析】本题考查等差数列的定义和通项公式以及数列的裂项相消求和、不等式恒成立问题的解法，考查二次函数的单调性的运用，以及化简运算能力、推理能力，属于拔高题．
由已知条件推得结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
求得，，运用数列的裂项相消求和可得，，设，讨论，，，结合二次函数的图象和性质，可得恒成立情况．
 10.【答案】
 【解析】【分析】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及裂项求和，属于中档题．
对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是如何对求和，根据题目的条件经过变形得到，可利用裂项相消求和，从而求得的取值范围．【解答】解：由，得，
所以，即，
所以，且，
，
，
，
对都有成立，
所以，故最小整数是．
故选．  11.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系，数列的单调性问题，以及运用裂项相消法求数列的前项和问题，对于由取倒数即可得结论，对于根据单调递增数列的定义，由得，结合即可得结论，对于由得，易得结论，对于由，结合的定义即可得结论．【解答】解：：，所以A正确．：，而，
则，即，是单调递增数列，所以B正确．：由可知，，则，累加得：，
又是单调递增数列，，，所以C错误．，又，由，且得，，
又是单调递增数列，则时，，则，
由知，
所以，得．
所以D正确．
故选ABD．  12.【答案】解：选，
设的公差为，不为零，的公比为，
由已知可得，，
所以，
则，
故，
则，解得，
所以；
由，
则，
，
，
所以．
选．
设的公差为，不为零，的公比为，
由已知可得，，
所以，
则，
故，
由，可得，
解得，
所以；
由，
则，，
，
所以．
选是与的等比中项，
设的公差为，不为零，的公比为，
由已知可得，，
所以，
则，
故，
由是与的等比中项，可得，
即，
解得，则；
由，
则，，
，
所以．
 【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，等差数列的求和公式，等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于拔高题．
选择条件，设的公差为，不为零，的公比为，结合等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
由，的通项公式和的定义，发现的特点，计算可得所求和．
 13.【答案】解：Ⅰ 时，，时， ，两式相减，得，即，又符合上式，
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以当时，，
易知满足上式，
所以Ⅱ，所以，则，即，
即对任意恒成立，因为在上单调递增，
所以，
所以．
 【解析】本题考查了数列的函数特征、数列的递推关系，考查了裂项相消法 
Ⅰ根据时， 两式相减得出的递推公式，进而求得，由累加法可得的通项公式
Ⅱ由，由裂项相消法得，分离出参数，结合函数的单调性可求得实数的取值范围．
 14.【答案】解：，则，两式相减得：，，由，得，，可得，依此类推，，，又，，，
，综上，，，，两式相减得，，又，，是等比数列，首项为，公比为，；由得，
由，得，，由
，
得
，，综上，．
 【解析】本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系和裂项相消法，是拔高题．
先得出，相减可得，分奇数和偶数可得；同理可得；
由，由裂项相消求和得，由，由裂项相消得，从而得证．