球的切接问题

球的切接问题

副标题

1. 已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为

A.  B.  C.  D.

2. 九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的内切球为球，则球的体积为   

A.  B.  C.  D.

3. 在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为          ．
4. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的等边三角形，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为   

A.  B.   C.   D.  

5. 已知三棱锥中，，，，，则下列正确的是   

A. 三棱锥的外接球的体积为 B. 三棱锥的外接球的体积为
C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为

6. 如图，在矩形中，，，将沿直线翻折，形成三棱锥．

下列说法正确的是     

A. 在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值
B. 在翻折过程中，存在某个位置，使得
C. 当平面平面时，
D. 当平面平面时，三棱锥的体积为

7. 在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是          ．
8. 在三棱锥中，底面，，底面是边长为的正三角形，为的中点，球是三棱锥的外接球，若是球上一点，则三棱锥的体积的最大值是     

A.  B.  C.  D.

9. 已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为            ，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为           
10. 由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，，，当时，此时、、、四点外接球的体积为          ；异面直线，所成角的余弦为          ．
    
    
     

11. 已知四棱锥的底面为正方形，，，若四棱锥的体积为，则以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为          ，该四棱锥外接球的体积为          参考数据：
12. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上一动点包括端点，则以下结论正确的有   

A. 三棱锥的体积为定值
B. 过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C. 直线与平面所成角的正弦值的范围为
D. 当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为

13. 已知三棱锥的底面是边长为的等边三角形，，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的体积为           ，球的表面积为           ．
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．
画出图形，利用已知条件求出，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．

【解答】

解：由题意可知图形如图：的面积为，可得，则
，，
，
外接球的半径为：，
球的表面积：．
故选：．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥的内切球的体积的求法，考查新定义、球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由题意，利用等体积法求内切球半径，由此能求出球的体积．

【解答】

解：平面，，，，，
如图所示：等体积法求半径，

，解得，
所以则球的体积为．

故选：．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了几何体的外接球，关键是要找到球心，求出半径，属于中档题．
根据四棱锥的体积为，求出底面边长以及外接球的半径，进而求解结论．

【解答】

解：设，的交点为，球心为，
设，

，
则，，
，
四棱锥的体积为，
，
在中，，
则，
该四棱锥外接球的体积为：
故答案为：．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查球的内接体，三棱锥的体积的最大值以及球的面积的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
画出图形，求出球的半径，求出底面三角形的外接圆的半径，分析出与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高取得最大值，然后求解棱锥的体积的最大值即可．

【解答】

解：球的表面积为，
设球的半径为，可得，解得，
底面三角形的外接圆的半径为，，解得，
如图，底面三角形的外心为，是边长为的等边三角形，
得底面三角形的面积为，
与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高取得最大值，
，
所以棱锥的体积的最大值为：．
故答案选：．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥外接球问题，以及棱锥体积最大值的计算，属于中档题．

根据已知条件求得球心的位置，即可求得外接球体积．

【解答】

解：如图，，，，，，

，

的中点为外接球球心，故半径为，体积为，

当面与面相互垂直时，点到面的距离最大，

故此时三棱锥的体积最大，此时高为；

其最大值为：．

故选：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了简单多面体及其结构特征，线面垂直的判定，棱柱，棱锥，棱台的侧面积，表面积和体积，球的表面积和体积的应用，属于较难题．
利用三棱锥的侧面的特征和侧棱的长度，可判断外接球球心的位置，可判断出选项；利用反证法，假设，通过线面垂直的判定和性质可得到，得到，与条件矛盾，可判断出选项；根据条件分别过作的垂线，过作的垂线，再结合条件分别在几个直角三角形依次求出，，，和，最后在直角三角形中，求出的长度，即可判断选项；利用条件结合面面垂直的性质，可得到平面，即为三棱锥在平面上的高，在直角三角形中可求出的长度，结合条件中的，，可得到，故可求得三棱锥的体积为，即可判断选项．

【解答】

解：设为的中点，则，
所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为定值，故A正确；
若在翻折过程中，存在某个位置，使得，又，则平面，
所以，从而斜边的长大于直角边，这与，矛盾，故B错误；
当平面平面时，过作的垂线，垂足为，
则平面，，，
在平面上，过作的垂线，垂足为，
则平面，，，
则，
在直角三角形中，，故C正确；
当平面平面时，平面平面，
又，平面，
所以平面，计算得，
因为，，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为，故D正确．
故答案选：．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

补全截面为截面，可得平面，又平面平面，确定点线段上，从而得到为三棱锥的外接球的直径，求出球的半径，利用球的体积公式求解即可．
本题以正方体为载体考查了棱锥的外接球问题，考查了截面问题，解题的关键是确定棱锥外接球的半径，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．

【解答】

解：补全截面为截面，如图所示，

设，因为直线平面，所以平面，
因为，，分别是棱，，的中点，
所以，，，，
所以平面平面，所以，
故当与重合时，最短，此时的面积最小，
由等面积法可得，即，解得，
因为，，，，平面，
所以平面，又平面，
则，又，
所以为三棱锥的外接球的直径，
故AB，
所以三棱锥的外接球的半径为，
故三棱锥的外接球的体积是．
故答案为：．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查几何体的外接球及锥体体积的最大值问题，属于较难题．
通过题目条件构造和棱锥同外接球的长方体，求到平面的最大距离，从而求得三棱锥的体积的最大值．

【解答】

解：

因为底面是边长为的正三角形，为的中点，
所以，．
以，，为长方体的长，宽，高构造长方体，
所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为为长方体的体对角线，
所以为中点，外接球半径．
因为正三角形边长为，，底面，，
所以，，
所以，
因为是球上一点，要使三棱锥的体积最大，
则点到平面的距离最大为球的半径与球心到平面距离之和，
因为由题可知，球与平面的截面为长方体的一侧面，
设矩形的中心即中点为，
所以，
所以点到平面的距离的最大值为，
故三棱锥的体积的最大值是：
．
故答案为：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

根据球和棱锥的几何性质、面面垂直的性质定理，结合球的表面积公式和圆的面积公式求解即可．
本题考查了棱锥与球位置关系的应用，主要考查了外接球的几何性质的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．

【解答】

解：连结，，由，可知和是等边三角形，

设三棱锥的外接球的球心为，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等边三角形，为的中点，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，
平面，
所以平面，又平面，
所以，所以四边形是矩形，
因为和是边长为的等边三角形，
所以两个三角形的高均为，
在矩形中，，，
连结，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为；
设过点的平面为，
当时，此时所得的截面面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆的半径为，
所以此时截面的面积为；
当平面过大圆圆心时，此时截面的面积最大，
此时面积为，
所以截面的面积的范围为．
故答案为：；．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查球的体积，线面垂直的判定，外接球和异面直线夹角的相关问题求解，考查运算求解能力，属于中档题．
取中点，可得为，，，四点外接球的球心，进而求得球的半径，由此求得体积；根据数量积公式可得，进而求得异面直线，所成角的余弦值．
 

【解答】

解：，，，
，即，
又，，
平面，
，
，，
平面，
，
如图所示，取中点，连接，，则，

为，，，四点外接球的球心，
半径，体积；
，
，
平面，
，
，
，
，
即异面直线，所成角的余弦值为．
故答案为：；．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查棱锥和球的结构特征以及棱锥侧面被球所截的弧长以及棱锥外接球体积的求解，属于中档题．
连结，交与点，连结，取的中点，连结，结合题中条件先证得平面，结合题中四棱锥的体积求得，然后结合该四棱锥的几何特征以及已知条件求得的大小，利用弧长公式即可求得以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度令四棱锥外接球的球心为，半径为，则点必在上，勾股定理容易得到关于的方程并进行求解，解得后利用球体体积公式即可求得结果．

【解答】

解：如图示，连结，交与点，连结，取的中点，连结，．
为正方形，
为，的中点．
又，为的中点
，，
，，平面．
平面．
又，四棱锥的体积为，
．
故．
平面，平面，
，
又，分别为，的中点且，
，．
在等腰三角形中
，为的中点．
，
则．
故以点为球心，以为半径的球的表面与四棱锥侧面交线的长度约为．
令四棱锥外接球的球心为，半径为，则点必在上如图示易得：

，．
在直角三角形中，，
解得．
四棱锥外接球的体积为．
故答案为．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查立体几何相关内容，属于较难题．
由，可判定不正确；根据正方体的结构，得出截面为正，可判定B正确；由正方体的结构特征和性质，以及线面角的定义与求法，可判定C正确；

设的中点为，得到得出三棱锥的外接球的的半径，结合体积公式，可判定D正确．

【解答】

解：对于选项：由，所以选项不正确；

对于选项：过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形平面，

此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，所以选项正确；
对于选项：由选项A利用等体积法，可得点到平面的距离为，

当点在线段上运动时，为端点时，，

设直线与平面所成角为，则，所以选项正确；

对于选项：当点与重合时，此时三棱锥为，

设的中点为，因为，可得

所以三棱锥的外接球的球心为的中点，其半径为，

所以三棱锥的外接球的体积为，所以选项正确．

故选：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了球的理解和应用，主要考查了球的体积和表面积的求解，解题的关键是利用球的几何性质求出球的半径，考查了等体积法的应用，考查了空间想象能力与化简计算能力，属于较难题．
设球的半径为，球的半径为，由等体积法求解内切球的半径，利用截面图，通过分析、以及三棱锥的高之间的关系，求出的半径，然后利用球的体积公式和表面积公式求解即可．

【解答】

解：设为外接圆的圆心，因为是边长为的等边三角形，
所以，
因为，解得，
设球的半径为，球的半径为，
由等体积法可得，


，
所以，
所以球的体积为；
作截面图如图所示，为中点，

可知，
则，，，
因为∽，则，即，解得，
所以球的表面积为．
故答案为：；．