空间角与空间距离练习题

这是一份空间角与空间距离练习题，共24页。
 空间角与空间距离副标题得分   如图，正三棱柱中，，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于    A.
B.
C.
D. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点直线与平面的距离为        A.
B.
C.
D. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是A.  B.  C.  D. 如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是  A. 与平面所成的最大角为
B. 存在某个位置，使得
C. 当二面角的大小为时，
D. 存在某个位置，使得到平面的距离为
 如图，正方体的棱长是，下列结论正确的有    A. 直线与平面所成的角为
B. 到平面的距离为
C. 两条异面直线和所成的角为
D. 三棱锥中三个侧面与底面均为直角三角形
 如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有   
A. 平面平面
B. 三棱锥四个面都是直角三角形
C. 与所成角的余弦值为
D. 过的平面与交于，则面积的最小值为如图，正方体的棱长为，为侧面内部一点包含边缘，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，且，则面积的最大值为          ．
已知四面体的每个顶点都在球为球心的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为          ．在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，．求证：，，，四点共面，且平面平面；若二面角的大小为，求点到平面的距离．






 如图，在四棱柱中，底面是边长为的菱形，．证明：平面平面；若，是等边三角形，求点到平面的距离．






 在正方体中，是侧面上的动点，若与垂直，则直线与平面所成角正弦值的可能取值是   A.  B.  C.  D. 在棱长为的正方体中，下列结论正确的是    A. 异面直线与所成的角大小为
B. 四面体的每个面都是直角三角形
C. 二面角的大小为
D. 正方体的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为
 多选题如图，菱形中，，，是的中点，将沿直线翻折至的位置后，连接，若是的中点，则在翻折过程中，下列说法错误的是
A. 异面直线与所成的角不断变大
B. 二面角的平面角恒为
C. 点到平面的距离恒为
D. 当在平面的投影为点时，直线与平面所成角最大正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是如图，把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．

求新多面体的体积；
求二面角的余弦值；
求新多面体为几面体？并证明．






 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点．求证：平面平面求直线与平面所成角的正弦值以的中点为球心、为直径的球交于点，求点到平面的距离．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查求直线与平面所成角的方法，属于中档题．
利用正三棱柱的性质找出在平面内的射影，进而得到即为与平面所成角，即可求出此角的正弦值．【解答】解：取的中点，连接，
为等边三角形，，
，，
，又，，平面，
所以平面，
连接，交于点，连接，，
则，，
，四边形为平行四边形，
平面，
则即为与平面所成角，

所以，，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为，
故选B．  2.【答案】
 【解析】【分析】本题考查点到平面的距离的求法，面面垂直的性质，线面平行的判定，是中档题．
根据题意取的中点，连接，，得到点到的距离，即为点到平面的距离，即为直线到平面的距离，在中求解斜边上的高即可．【解答】解：如图所示：取的中点，连接，，则，又，
则，点，，，共面，因为底面，所以，因为底面为矩形，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，平面平面，所以点到的距离，即为点到平面的距离，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离，在中，，所以点到的距离为．故直线与平面的距离为，
故选B．  3.【答案】
 【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，然后再求出直线和的公垂线的方向向量，利用异面直线与之间的距离公式求解即可．属于中档题．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及了异面直线之间的距离计算，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究．【解答】解：以为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，
设和的公垂线的方向向量为，
则有，即，
所以，
又，
所以异面直线与之间的距离．
故选：．  4.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了空间直线与直线的位置关系以及空间距离问题，属于中档题．
对各个选项逐一验证即可．【解答】解：对于，取的中点，连接、，则．由题可知，和均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，与平面所成的角为，当时，为等边三角形，此时，即选项A错误；
对于，因为，当满足为正四面体时，在底面的投影为的重心，
此时平面，又平面，
所以，
又为重心，
所以，
又，、平面，
所以平面，又平面，
所以，故B正确；
对于，由图知，当二面角的大小是时，
，，故C正确．
对于，因为到的距离为，只有当平面平面才可以，
若成立，设的中点，则，
平面平面，平面，
则平面，这是不可能的，
因为，在内的射影是的外心，
边的中点不可能是的外心，所以不成立，故D不正确．
故选BC．  5.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
连接，，设，则，证明平面，即可求得直线与平面所成的角及到平面距离，从而判断，；找出两条异面直线和所成的角并求大小判断；由正方体的结构特征判断．【解答】解：如图，在正方体中，
连接，，设，

则平面，
因此为直线与平面所成的角，为，故A正确；
平面，为到平面的距离，而，故B正确；
因为，
所以为异面直线和所成的角，
而为等边三角形，故 ，故C错误；
底面，、底面，
，，可得，为直角三角形，
平面，、平面，
，，可得，为直角三角形，
三棱锥中三个侧面与底面均为直角三角形，故D正确．
故选：．  6.【答案】
 【解析】【分析】本题以命题真假关系为载体，主要考查了垂直关系的相互转化，异面直线所成角的求解，空间点到直线的距离的求解，属于中档题．
结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验，结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验，即可．【解答】解：中，，，，
所以，
故BD，即，
因为平面平面且平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正确；
由平面，平面，故CD
同理可得平面，
因为、平面，所以，，
所以三棱锥四个面都是直角三角形，故B正确
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

因为，，
所以，，
即与所成角的余弦值为，C错误
因为在线段上，设，则，
所以点到的距离

当时，取得最小值，
此时面积取得最小值为，D正确．
故选：．  7.【答案】
 【解析】【分析】本题考查空间几何体，空间直线与平面所成的角，解题的关键是将空间问题转化为平面问题，利用平面直角坐标系进行求解．【解答】解：由题知，，，因为，所以，如图建立平面直角坐标系，

，，，则点的轨迹方程为，当为圆与轴交点时，面积最大，此时，．  8.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了线面垂直的判定，二面角的求法，属于中档题．
设的中心为，过点作直线平面，则球心在上由题意可知平面，则，然后根据即可证明平面，从而可确定与重合．
过作于，连接，则，从而为二面角的平面角，然后可求解．【解答】解：

设的中心为，过点作直线平面，则球心在上
由为的中点，得．
因为，，
所以平面，因为平面，则，
所以，所以，
所以，，所以，
所以，因为，
可得平面，所以球心在直线上，因此与重合．
过作于，连接，
由平面可得，因为
所以平面，又因为平面
则，
从而为二面角的平面角．
因为，，
所以到的距离为，且．  9.【答案】证明：因为，
所以，
所以，，，四点共面；
平面平面，且平面平面，，平面，
平面，
又因为平面，
，
又，
，
，                
又，平面，
平面
面，
平面平面．
因为平面平面，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，

设，则，
由面知，平面的一个法向量
设平面的一个法向量，
，
，取，则，
所以
因为二面角的大小为，
所以，解得，
所以，
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离．
 【解析】本题考查利用空间向量求二面角，以及点到平面的距离，直线与平面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
证明平面，推出，，推出平面，即可求证．
以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用二面角的大小为，求出，设点到平面的距离为，利用公式求解即可．
 10.【答案】证明：如图，设与相交于点连接

因为四边形为菱形，故AC，为的中点．
又，故．
又平面，平面，且，
故AC平面，又平面．
所以平面平面．
解：底面是边长为的菱形，又，
所以，．
又是等边三角形，可得，，．
结合可知平面，且平面，
故，所以．
设交于点．
又，所以平行四边形为菱形．
故．
又，，且，且，平面．
所以平面．
因为在平面内，
所以C.
因为与在平面内，，且，平面，
所以平面．
故H为在平面内的射影．
故点到平面的距离为．
又，平面，
所以平面．
故点到平面的距离与点到平面的距离相等．
所以点到平面的距离为．
 【解析】本题考查面面垂直的判定，考查线面垂直的判定，考查线面平行的判定，考查求空间中点到面的距离，是拔高题．
设与相交于点连接，结合已知条件得到，，由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证．
设交于点，先证明平面，得为在平面内的射影．
再由证得平面，所以点到平面的距离为点到平面的距离即可求解．
 11.【答案】
 【解析】【分析】本题考查利用空间向量求解线面角，属于中档题．
首先建立空间坐标系，然后利用线线垂直可得，然后利用空间向量夹角公式，利用二次函数求出范围即可求出结果．【解答】解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
 
设正方体的棱长为，则，，
设其中，
则，，，
因为与垂直
所以
所以，易知向量为平面的法向量，
所以
因为
所以当时，，取得最大值，
当时，，取得最小值，
也就是直线与平面所成角正弦值的范围为
故选ABC．  12.【答案】
 【解析】【分析】本题考查线面垂直、线面角、二面角等众多立体几何的知识点，属于难题．
对于，由线面垂直的判定定理证明 平面即可；对于，直接分析每个面的三角形即可；对于由二面角定义分析即可；对于分析出正方体的内切球，外接球与的同一侧的两个交点的距离最小，是关键．【解答】解：在棱长为的正方体中，连接，
平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，
 平面，
，即异面直线与所成的角大小为，A正确；
四面体的面中，，三角形是直角三角形，，三角形是直角三角形，
平面，平面，
，三角形是直角三角形，
同理，三角形是直角三角形，故B正确；
二面角即，由二面角定义可知其大小为，故C错误；
正方体的内切球半径为，外接球半径，
正方体的内切球，外接球与的同一侧的两个交点的距离最小，
即，故D错误．
故选AB．  13.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了直线与平面所成的角与空间中距离问题的综合应用，属于较难题．
 对于，可得异面直线与所成角即为或其补角，在翻折过中，异面直线与所成角是先增大后减小；对于，二面角的平面角不是定值；对于，可得点到平面的距离是点到平面的距离的，求得点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可得点到平面的距离为，所以正确；对于，因在平面中，作，垂足为，则平面，直线与平面所成角为，利用边长关系计算即可得解．【解答】解：对于，因为，所以异面直线与所成角即为或其补角，在翻折过中，异面直线与所成角是先增大后减小，所以不正确；对于，二面角的平面角不是定值，所以不正确；对于，因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，又，，，所以平面，易知，所以点到平面的距离为，所以正确；对于，因在平面中，作，垂足为，则平面，直线与平面所成角为，在中，设，则，在中，，则，显然当时，最大，此时直线与平面所成角最大，所以选项不正确．故选：．  14.【答案】解：连接、，交于点，连接，四棱锥的高为，

四棱锥的体积为，
取中点，连接、，由，，
三棱锥的体积为，
所以新多面体的体积为．
取中点连接、、，
设，，
由几何体特征知，，，
二面角的平面角为，
，
因为二面角与二面角相等，
所以二面角的余弦值为．
新多面体为面体，证明如下：
取中点，连接、，，
设，
因为，，
所以二面角的平面角为，
，
取中点，连接，
设，，
因为，，
所以二面角的平面角为，
，
所以与、都互补，于是把正四面体和正八面体拼接起来后，相邻面共面，
所以新多面体为面体．
 【解析】本题考查了正八面体的结构特征，考查了棱锥体积计算问题，考查了二面角的计算问题．
分别求棱锥体积即可；
寻找二面角的平面角，再用三角公式求解；
判断相邻面共面，进而求解．
 15.【答案】证明：因为，是的中点，
所以．
又平面，平面，
所以．
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
解：由知，，又
，则是的中点可得，

则，
设到平面的距离为，
由即，
可求得，
设所求角为，则
．

如图，连接，

由条件，可得．
在中，，
在中，，，
所以，，
则，，
所以所求距离等于点到平面的距离的．
设点到平面的距离为，
又因为是的中点，则、到平面的距离相等，
由可知所求距离为．
 【解析】本题考查了平面与平面垂直的判定，线面垂直的性质，直线与平面所成的角，属于基础题．
要证平面平面，只需证明平面内的直线垂直平面内的两条相交直线、即可；
先根据体积相等求出到平面的距离为，即可求直线与平面所成的角
先根据条件分析出所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为
，再利用第二问的结论即可得到答案．