随机变量及其分布练习题

随机变量及其分布

副标题

1. 已知离散型随机变量的分布列如下：
   
   则数学期望       

A.  B.  C.  D.

2. 设随机变量∽，∽，若，则的值为   

A.  B.  C.  D.

3. 设随机变量，满足为非零常数，若，，则和分别等于

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 已知，随机变量的分布列如下，当增大时，则      

A. 增大，增大 B. 减小，增大
C. 增大，减小 D. 减小，减小

5. 年月日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟某市有关部门为了宣传“节约型社会”，面向该市市民开展了一次网络问卷调查，目的是了解人们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的人的得分数据据统计此次问卷调查的得分满分：分服从正态分布，则
   附：若随机变量服从正态分布，则，

A.  B.  C.  D.

6. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为　　

A.  B.  C.  D.

7. 甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以获胜的概率是   

A.  B.  C.  D.

8. 已知随机变量，且，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

9. 一个不透明的口袋中有个大小相同的球，其中红球个，白球个，黑球个，则下列选项正确的有

A. 从该口袋中任取个球，设取出的红球个数为，则数学期望．
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了次，设取出的黑球次数为，则数学期望．
C. 从该口袋中任取个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望．
D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望．

10. 某班级的全体学生平均分成个小组，且每个小组均有名男生和多名女生现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动，若抽取的名学生中至少有一名男生的概率为，则   

A. 该班级共有名学生
B. 第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为
C. 抽取的名学生中男女生数量相同的概率是
D. 设抽取的名学生中女生数量为，则

11. 某企业加工了一批新零件，其综合质量指标值服从正态分布，且，现从中随机抽取该零件个，估计综合质量指标值位于的零件个数为          ．
12. 若随机变量服从正态分布，，，设，且，则          ．
13. 设随机变量，则服从的总体分布可记为          
14.  全国高中数学联赛试题设置如下：联赛分为一试、加试即俗称的“二试”一试包括道填空题每题分和道解答题分别为分、分、分，满分分．二试包括道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面，前两道题每题分，后两道题每题分，满分分．已知某一数学竞赛选手在一试中每道填空题能够正确解答的概率均为，每道解答题能够正确解答的概率均为，在二试中前两道每题能够正确解答的概率均为，后两道每题能够正确解答的概率均为，且每道题答对与否均相互没有影响．假设每道题答对得满分，答错得分．

记该选手在二试中的成绩为，求；

根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，若一试成绩在分含分以上的选手，最终获得省一等奖的可能性为，一试成绩低于分，最终获得省一等奖的可能性为问该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到，并说明理由．

参考数据：，，．






 

15. 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为现有例疑似病例，分别对其取样检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验现有以下三种方案：方案一：个样本逐个化验方案二：个样本混合在一起化验方案三：个样本均分为两组，分别混合在一起化验在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
    若，按方案一，求例疑似病例中至少有例呈阳性的概率

若，现将该例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围．






 

16. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生．

若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；

若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差．






 

17. 年月日，引发新冠肺炎疫情的病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程．但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验．已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体．试验设计是：每天接种一次，天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关．
    Ⅰ求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；
    Ⅱ已知每天接种一次花费元，现有以下两种试验方案：
    若在一个接种周期内连续次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；
    若在一个接种周期内出现次或次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元．
    比较随机变量和的数学期望的大小．
    
    
    
    
    
    
     
18. 常见的防护口罩型号有和两种，某口罩厂有两条独立的生产线，分别生产和两种口罩，为保证其质量，对其进行多项检测并评分满分分，规定总分大于或等于分为合格品，小于分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各个进行检测并评分，结果如下：

试分别估计两种口罩的合格率．

假设生产一个口罩，若质量合格，则盈利元，若为次品，则亏损元生产一个口罩，若质量合格，则盈利元，若为次品，则亏损元，用中的频率估计概率．

设为生产一个口罩和生产一个口罩所得利润的和，求随机变量的分布列和数学期望

求生产个口罩所得的利润不少于元的概率．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，属于基础题．
由离散型随机变量的分布列能求出．

【解答】

解：由离散型随机变量的分布列得：
．
故选：．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查二项分布的概率计算，属于中档题.
​​​​​​​首先根据P(1)=​​​​​​​求出p的值，再计算P(2)的值.

【解答】

解：因为随机变量~B(2,p),
所以P(1)=1-P(=0)=1-=,
解得p=,所以~B(4,),
则P(2)=1-P(=0)-P(=1)
​​​​​​​=1--(1-)=.
故选B.

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了离散型随机变量的期望与方差，由期望与方差公式可得答案．

【解答】

解：已知   ， ；
  ， ．
故选B．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
先根据随机变量的分布列求出，从而根据函数性质得出随着增大，增大，增大．

【解答】

解：由分布列可知，，

，
因为，当增大时，增大，方差增大故选A．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的概率计算，属于基础题．
利用正态曲线对称性，即可求解．

【解答】

解：随机变量服从正态分布，
，，
，
，
，
．
故答案选：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查关于直线对称的点的特点，属于基础题．

根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于对称，得到两个概率相等的区间关于对称，得到关于的方程，解方程即可． 

【解答】

解：随机变量服从正态分布，
，
与关于对称，
，
，
解得 ．
故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
甲以：获胜是指前局中甲胜负，第局甲胜，由此能求出结果．

【解答】

解：甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为．
设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，
则甲以：获胜的概率为：
．
故选：．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

由已知结合正态分布曲线的对称性求得，代入，再由导数求最值．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，，即．
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的最小值为．
故选：．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型和离散型随机变量的期望，属于较难题．
对选项A，的可能取值为，，，，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的期望公式求得；对选项C，的可能取值为，，，求出概率，再由公式求得；对选项D，的可能取值为，，，求出概率，再由公式求得．

【解答】

解：对选项A，从该口袋中任取个球，取出的红球个数的可能取值为，，，，
则，，，，则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是黑球的概率为，则取出的黑球次数为，则数学期望，故B正确
对选项C，从该口袋中任取个球，取出的球的颜色有种，的可能取值为，，，则，，则，则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出黑球的个数的可能取值为，，，则，，，则，故D正确；

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查离散型随机变量的方差，二项分布的概率，相互独立事件的概率．
利用二项分布的概率，相互独立事件的概率，对每个选项，进行分析，即可得．

【解答】

解：设每个小组均有名男生和名女生，
所以抽取的名学生中至少有一名男生的概率为，解得，
所以每小组有名学生，
所以该班级共有名学生；故A正确；
第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为，故B错误；
抽取的名学生中男女生数量相同的概率是，故C正确；
设抽取的名学生中女生数量为，则，
所以，故D正确．
故选ACD．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．
先根据正态曲线的对称性性质，算出，然后用该值乘以即可．

【解答】

解：因为综合质量指标值服从正态分布且．
．
．
故综合质量指标值在内的产品件数为．
故答案为：．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了正态分布的特点，属于基础题．
根据正态分布的概率公式可知，故而

【解答】

解：，
，
∽，
，
，即．
故答案为：．

13.【答案】Y~N(2,62)
 

【解析】

【分析】

本题主要考查正态分布，考查学生的计算能力，比较基础.
​​​​​​​利用条件，求出E(Y),D(Y)，即可得出结论.

【解答】

解：因为X～N(1,22)，所以μ=1，σ=2.
又Y=3X-1,
所以E(Y)=3E(X)-1=3μ-1=2,
D(Y)=9D(X)=62.
所以Y~N(2,62).
故答案为​Y~N(2,62).

14.【答案】解：由题意可得，的所有可能取值为，，，，，，，，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

所以．
由题意可知，一试分数达到分及以上，则后三题解答只错一题，前题全对，
或者是前面的题填空题只答错一题或者两题，解答题全部答对，亦或是全部答对，
一试题目全部答对的概率为，
后三题解答只错一题，前题全对的概率为，
前面的题填空题只答错一题或者两题，解答题全部答对的概率为，
故一试获得分以上的概率为，
所以该同学获得省一等奖的概率为，
所以该选手最终获得省一等奖的可能性能达到．
 

【解析】本题主要考查了离散型随机变量概率计算，以及相互独立事件的概率公式，属于中档题．
由题意可得，的所有可能取值为，，，，，，，，，分别求出对应的概率，即可得的分布列，即可求解．
由题意可知，一试分数达到分及以上，则后三题解答只错一题，前题全对，或者是前面的题填空题只答错一题或者两题，解答题全部答对，亦或是全部答对，分别求出三者的概率，并求和，即可求得一试获得分以上的概率，即同学获得省一等奖的概率，即可求解．
 

15.【答案】解：用表示例疑似病例中化验呈阳性的人数，
则随机变量∽，                
由题意可知：．
答：例疑似病例中至少有例呈阳性的概率为                                       
方案二：混合一起检验，记检验次数为，则．
，，
                                                          
方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为，则．
，，，
，                                               
，，
，
，
的取值范围
 

【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，涉及到相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是中档题．
利用二项分布概率计算公式能求出该混合样本呈阳性的概率；
分别求出方案二和方案三的期望，利用方案三的期望小于方案二的期望，得，解之即可．
 

16.【答案】解：根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，
则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，
则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，
则，

故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是．

依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，
故从中抽人，男生人数的所有可能取值分别为，，，

其中：；
；

 
所以男生人数的分布列为：

由已知可得：，
则，．
则佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是．

【解析】本题主要考查古典概型的概率计算，条件概率，离散型随机变量的分布列，期望与方差的计算，属于中档题．
利用古典概型计算出这位小学生佩戴眼镜的概率及这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜的概率，根据条件概率可得；
写出人中选取人，男生人数的所有可能取值，进而计算取每个值时的概率，可得分布列；
由已知可得：，根据二项分布的性质计算期望和方差可得．
 

17.【答案】解：Ⅰ由题意可知，随机变量服从二项分布，故．
则的分布列为

Ⅱ设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为，，
因为，，
所以．
所以三个接种周期的平均花费为．
随机变量可能的取值为，，，
设事件为“在一个接种周期内出现次或次抗体”，由Ⅰ知，．
所以，，，
所以．
所以．
 

【解析】Ⅰ由题意可知，随机变量服从二项分布，求出概率，得到的分布列．
Ⅱ设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为，，然后求解概率与期望，
随机变量可能的取值为，，，求出概率与期望，即可判断．
本题考查二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，是中档题．
 

18.【答案】解：由题意知生产口罩合格率为，
生产口罩合格率为，
随机变量的所有可能取值为，，，，
 ，，
 ， ，
因此，的分布列如下
 

元．
设“生产个口罩所得的利润不少于元”事件为，
事件包括“生产个口罩全合格”和“生产个口罩只三个合格”，
所以，
所以生产个口罩所得的利润不少于元的概率为．
 

【解析】本题主要考查的是概率与频率的关系、随机变量的分布列与期望及概率的求法，考查二项分布，属于中档题．
利用频率估计概率即可；
由题意分析随机变量的所有可能取值为，，，，再求各个取值的概率，得到分布列，再根据期望公式，即可求解；
设“生产个口罩所得的利润不少于元”事件为，事件包括“生产个口罩全合格”和“生产个口罩只三个合格”，所以．