河北省唐山市2021-2022学年高三下学期第一次模拟考试数学试题含答案

唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练

数   学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数z在复平面内对应的点为，则（    ）

A. B. C.  D.

2.已知集合，，则（    ）

A. B. C.  D.

3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（    ）

A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1  D.2∶3

4.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ）

A. B. C.  D.

5.已知向量，，，则与的夹角为（    ）

A.45° B.60° C.120°  D.135°

6.已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（    ）

A. B. C.  D.2

7.已知函数的图象关于点对称，则（    ）

A.-3 B.-1 C.1  D.3

8.在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，，，则（    ）

A. B. C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.有一组互不相等的数组成的样本数据，，…，，其平均数为a（，，2，…，9），若插入一个数a，得到一组新的数据，则（    ）

A.两组样本数据的平均数相同 B.两组样本数据的中位数相同

C.两组样本数据的方差相同  D.两组样本数据的极差相同

10.设函数，则（    ）

A.在上单调递增

B.在内有6个极值点

C.的图象关于直线对称

D.将的图象向右平移个单位，可得的图象

11.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，，则（    ）

A.为定值  B.为定值

C.为定值  D.为定值

12.已知，，，为函数的零点，，下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.若，则 D.a的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数若，则________.

14.记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则________.

15.为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.

附：若随机变量X服从正态分布，则.

16.己知，，是圆上的动点，当最大时，________；的最大值为________.（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列的各项均不为零，为其前n项和，且.

（1）证明：；

（2）若，数列为等比数列，，.求数列的前2022项和.

18.（12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.

（1）若，求b；

（2）若D为的中点，且，求的面积.

19.（12分）

甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.

（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；

（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制?

20.（12分）

如图，直三棱柱中，，D为的中点，E为棱上一点，.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的大小为30°，求直线与平面所成角的正弦值.

21.（12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：.

22.（12分）

已知椭圆经过点，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.

证明：点R在定直线上.

唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练

数学参考答案

一、选择题：1-5：BCADD  6-8：BCC

二、选择题：9.AD 10.BC 11.ABD 12.ACD

三、填空题：13.1 14. 15.19

16.1，（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：（若有其他解法，请参照给分）

17.解：（1）因为①

所以②

②-①得，

因为，所以

（2）由得，于是，

由得的公比.

所以，.

由得

由得，

因此

18.解：（1）因为，所以

在中，由正弦定理得，

即.

（2）在中，由余弦定理得.①

因为D为的中点，所以.

在中，由余弦定理得.

在中，由余弦定理得.

由得.②

联立（1）（2）可得，即.

19.解：（1）因为是五局三胜制，所以的可能取值为3，4，5.

；

；

；

则的分布列为

由上述可知，进行四局比赛的可能性最大.

（2）作为领队希望己方获胜，故需比较两种赛制下甲队获胜概率的大小.

若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为

；

若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为

；

因为，所以作为甲队领队，希望采用五局三胜制.

20.解：（1）证明：

在直三棱柱中，底面，底面，则；

又，，平面，平面，

于是平面，又平面，故.

由直三棱柱知底面，底面，则，

又因为，平面，平面，

故平面.

（2）由（1）知，又D为中点，故.

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，.

设，则.

由（1）知平面的法向量可取.

设平面的法向量，

因为，，

所以取.

由题设得，即，解得.

此时，.

设与平面所成角为，

因为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为.

21.解：（1）的定义域为，.

当时，，单调递减；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

故在和上单调递减，在上单调递增.

（2）令，，则，

所以时，，单调递增；

时，，单调递减，

所以的最大值为，即，

从而，所以.

又，

所以，等号当且仅当时成立

故.

22.解：（1）由题意知，

解得，

故椭圆C的方程为.

（2）设，，则.

直线l的方程为，其中，且，

将代入椭圆，

整理得，

由与韦达定理得，，.

由（1）可知，，设，

由，P，Q三点共线，得，

由，N，Q三点共线，得，

则

于是直线的斜率为，直线的方程为，

联立解得.

即点R在定直线上.