2019年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷【含答案】

这是一份2019年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中比﹣1小的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣D．1
2．（3分）如图是一空心圆柱，其主视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图AB∥CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC＝42°，则∠AFE的度数为（ ）
A．42°B．65°C．69°D．71°
4．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（ ）
A．y＝3xB．y＝﹣3xC．D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6
C．2x•2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A．B．2C．D．
7．（3分）直线y＝2x+1向右平移得到y＝2x﹣1，平移了（ ）个单位长度．
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
8．（3分）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（ ）
A．25：24B．16：15C．5：4D．4：3
9．（3分）如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD＝4，连接AC，OD，若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（ ）
A．2B．4C．D．2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，则（ ）
A．a＞0且4a+b＝0B．a＜0且4a+b＝0
C．a＞0且2a+b＝0D．a＜0且2a+b＝0
二、填空题（共4小题）
11．（3分）分解因式：x3﹣xy2＝ ．
12．（3分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ．
13．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为 ．
14．（3分）如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为 ．
三、解答题（共11小题）
15．计算：﹣22+（﹣π）0+|1﹣2sin60°|．
16．解分式方程：．
17．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．
18．已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．
19．西安市2016年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．
试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的学生有 分，并补全条形统计图．
（2）样本中，测试成绩的中位数是 分，众数是 分．
（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．
20．小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ，他很想知道电线杆PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测角器和皮尺来到山下进行测量，测量方案如下：如图，首先，小明站在地面上的点A处，测得电线杆顶端点P的仰角是45°；然后小明向前走6米到达点B处，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分则是60°和30°，设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上测量的数据，计算电线杆PQ的高度（结果精确到1米，参考数据＝1.7，＝1.4）．
21．“低碳生活，绿色出行”共享单车已经成了很多人出行的主要选择．
（1）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围；
（2）已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（1）的条件下，求公司每月的最大利润．
22．车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为 ；
（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，求tanC．
24．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）请你写出y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数；
（2）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2）它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值．
25．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为 ；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．
2019年陕西省西安市高新一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（3分）下列各数中比﹣1小的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣D．1
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
【解答】解：A、﹣2＜﹣1，故A正确；
B、﹣1＝﹣1，故B错误；
C、﹣＞﹣1，故C错误；
D、1＞﹣1，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．
2．（3分）如图是一空心圆柱，其主视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3．（3分）如图AB∥CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC＝42°，则∠AFE的度数为（ ）
A．42°B．65°C．69°D．71°
【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．
【解答】解：∵∠AEC＝42°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝138°，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝∠AED＝69°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝69°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．
4．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（ ）
A．y＝3xB．y＝﹣3xC．D．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，﹣3），
∴﹣3＝k即k＝﹣3，
∴该正比例函数的解析式为：y＝﹣3x．
故选：B．
【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6
C．2x•2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
【分析】结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故本选项错误；
B、（﹣b2）3＝﹣b6，故本选项正确；
C、2x•2x2＝4x3，故本选项错误；
D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】在直角三角形ADE中，csA＝，求得AD，再求得DE，即可得到tan∠DBE＝．
【解答】解：设菱形ABCD边长为t．
∵BE＝2，
∴AE＝t﹣2．
∵csA＝，
∴．
∴＝．
∴t＝5．
∴BE＝5﹣3＝2，
∴DE＝＝4，
∴tan∠DBE＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质和解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
7．（3分）直线y＝2x+1向右平移得到y＝2x﹣1，平移了（ ）个单位长度．
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解答】解：∵将直线y＝2x+1平移后，得到直线y＝2x﹣1，
∴2（x+a）+1＝2x﹣1，
解得：a＝﹣1，
故向右平移1个单位长度．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
8．（3分）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（ ）
A．25：24B．16：15C．5：4D．4：3
【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，再根据全等三角形的判定定理得出Rt△AHE≌Rt△CFG，再由勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠HEF＝90°，
同理四边形EFGH的其它内角都是90°，
∴四边形EFGH是矩形．
∴EH＝FG（矩形的对边相等）；
又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠5（等量代换），
同理∠5＝∠7＝∠8，
∴∠1＝∠8，
∴Rt△AHE≌Rt△CFG，
∴AH＝CF＝FN，
又∵HD＝HN，
∴AD＝HF，
在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根据勾股定理得HF＝＝5．
又∵HE•EF＝HF•EM，
∴EM＝，
又∵AE＝EM＝EB（折叠后A、B都落在M点上），
∴AB＝2EM＝，
∴AD：AB＝5：＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等．
9．（3分）如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD＝4，连接AC，OD，若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（ ）
A．2B．4C．D．2
【分析】先根据垂径定理得出AB⊥CD，再由∠A与∠DOB计算∠DOB＝60°，根据直角三角形30度角的性质可得OD和OE的长，从而得结论．
【解答】解：∵直径AB平分弦CD，CD不是直径，
∴AB⊥CD，
∴∠DOB＝2∠A，
∵∠A与∠DOB互余，
∴∠DOB＝60°，
∵CD＝4，
∴ED＝CD＝2，
∴OE＝2，OD＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝4﹣2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，m）、（4，m）和（1，n），若n＜m，则（ ）
A．a＞0且4a+b＝0B．a＜0且4a+b＝0
C．a＞0且2a+b＝0D．a＜0且2a+b＝0
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，则b+4a＝0，然后利用x＝1，y＝n，且n＜m可确定抛物线的开口向上，从而得到a＞0．
【解答】解：∵点（0，m）、（4，m）为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，
∴b+4a＝0，
∵x＝1，y＝n，且n＜m，
∴抛物线的开口向上，
即a＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（共4小题）
11．（3分）分解因式：x3﹣xy2＝ x（x+y）（x﹣y） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．（3分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
13．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为 3 ．
【分析】根据△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC＝AC、AD＝BD，设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a2﹣b2＝6，再根据三角形的面积即可得出△OAC与△BAD的面积之差．
【解答】解：∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OC＝AC，AD＝BD．
设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），
∵反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝6，
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a2﹣b2的值是解题的关键．
14．（3分）如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为 +1 ．
【分析】作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，连接OD，则OD≤OC+CD，依据当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD＝+1，即可得到△AOB的面积最大值．
【解答】解：如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，
由题可得∠AOB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1，AC＝BC＝＝CO，
连接OD，则OD≤OC+CD，
∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD＝+1，
此时OD⊥AB，
∴△AOB的面积最大值为AB×OD＝×2（+1）＝+1，
当点A在第二象限内，点B在x轴正半轴上时，同理可得，△AOB面积的最大值为﹣1（舍去）．
故答案为：+1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及圆周角定理的运用，熟记性质并判断出△AOB面积最大时圆心的位置是解题的关键．
三、解答题（共11小题）
15．计算：﹣22+（﹣π）0+|1﹣2sin60°|．
【分析】根据乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣4+1+|1﹣2×|
＝﹣3+﹣1
＝﹣4．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．解分式方程：．
【分析】分式方程变形后去分母得到整式方程，解之，经检验即可得到答案．
【解答】解：原方程可整理得：﹣1＝，
去分母得：3﹣（x﹣3）＝﹣1，
去括号得：3﹣x+3＝﹣1，
移项得：﹣x＝﹣1﹣3﹣3，
合并同类项得：﹣x＝﹣7，
系数化为1得：x＝7，
经检验x＝7是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作出AB的垂直平分线，可得BP＝AP，则∠PBA＝∠BAP，进而得出△BPA∽△BAC．
【解答】解：如图所示：点P即为所求，
此时△BPA∽△BAC．
【点评】此题主要考查了相似变换以及复杂作图，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
18．已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB＝∠ADE，
∵在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴BC＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
19．西安市2016年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．
试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的学生有 14 分，并补全条形统计图．
（2）样本中，测试成绩的中位数是 98 分，众数是 100 分．
（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．
【分析】（1）先根据96分人数及其百分比求得总人数，再根据各组人数之和等于总数可得98分的人数；
（2）根据中位数和众数的定义可得；
（3）利用样本中100分人数所占比例乘以总人数可得．
【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%＝50人，
则成绩为98分的人数为50﹣（20+10+4+2）＝14（人），
补全统计图如下：
故答案为：14；
（2）本次测试成绩的中位数为＝98分，众数100分，
故答案为：98，100；
（3）∵2000×＝800，
∴估计该校九年级中考综合速度测试将有800名学生可以获得满分．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图的知识，解答本题的关键是利用差生的人数及所占的比例求出调查的总人数，要学会读图获取信息的能力．
20．小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ，他很想知道电线杆PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测角器和皮尺来到山下进行测量，测量方案如下：如图，首先，小明站在地面上的点A处，测得电线杆顶端点P的仰角是45°；然后小明向前走6米到达点B处，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分则是60°和30°，设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上测量的数据，计算电线杆PQ的高度（结果精确到1米，参考数据＝1.7，＝1.4）．
【分析】设QH＝x米，根据正切的定义分别用x表示出DH、PH，根据题意列式求出x，求出电线杆PQ的高度．
【解答】解：设QH＝x米，
由题意得，∠PDH＝60°，∠QDH＝30°，
∴∠DPH＝30°，
在Rt△QDH中，tan∠QDH＝，
则DH＝＝＝x，
在Rt△PDH中，tan∠PDH＝，
则PH＝＝3x，
∵∠PCH＝45°，
∴CH＝PH，即6+x＝3x，
解得，x＝3+，
则PQ＝3x﹣x＝2x＝6+2≈9，
答：电线杆PQ的高度约为9米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．“低碳生活，绿色出行”共享单车已经成了很多人出行的主要选择．
（1）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围；
（2）已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（1）的条件下，求公司每月的最大利润．
【分析】（1）设购进A型车m辆，则购买B型车（100﹣m）辆，根据A型车不超过60辆且购买资金不超过60000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）设公司每月的利润为w元，根据总利润＝每辆的月利润×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进A型车m辆，则购买B型车（100﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：50≤m≤60．
答：m的取值范围为50≤m≤60．
（2）设公司每月的利润为w元，
依题意，得：w＝100m+90（100﹣m）＝10m+9000．
∵10＞0，
∴w值随m值的增大而增大，
∴当m＝60时，w取得最大值，最大值为9600．
答：公司每月的最大利润为9600元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22．车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为 ；
（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率．
【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，
故答案为：，
（2）设两辆车为甲，乙，画树状图得：
由树状图可知：两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，求tanC．
【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；
（2）由AC＝3AE可得AB＝AC＝3AE，EC＝4AE；连结BE，由AB是直径可知∠AEB＝90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，点D在⊙O上，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，AC＝3AE，
∴AB＝3AE，CE＝4AE，
∴BE＝＝2AE，
在Rt△BEC中，tanC＝＝＝．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质等，是一道综合题，难度中等．
24．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）请你写出y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数；
（2）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2）它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值．
【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数即可；
（2）根据二次函数L1的解析式找出其友好同轴二次函数L2的函数解析式，代入a＝3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B′、C′的坐标，进而可得出BC、BB′的值，由正方形的性质可得出BC＝BB′，即关于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵1﹣＝，1×（÷）＝2，
∴函数y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．
（2）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．
∵a＝3，
∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，
∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），
∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），
∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．
∵四边形BB′C′C为正方形，
∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，
解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），
∴m的值为．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、解一元二次方程以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）仔细读题，掌握友好同轴二次函数的应用；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，找出关于m的一元二次方程；②利用二次函数图象上点的坐标特征结合四边形相邻两边的关系，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
25．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为 3 ；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可证△ABD≌△CBD，可得∠ADB＝∠CDB＝30°，可求AB＝BC＝，即可求四边形ABCD的面积；
（2）由轴对称的性质可得BE＝EM，AB＝AM＝2，BF＝FN，BC＝CN＝3，可得△BEF的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，由勾股定理可求MN的长，即可得△BEF的最小周长；
（3）由圆的内接四边形性质可得∠AEC＝30°，由矩形的性质可得BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，由勾股定理可得CE＝4+2＝AE，由当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大，即可求四边形ABCE的最大面积．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°
∴△ABD≌△CBD（SAS）
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ADC＝60°
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，且∠BAD＝∠BCD＝90°
∴AB＝BC＝
∴四边形ABCD的面积＝2××3×＝3
故答案为：3
（2）如图，作点B关于AD的对称点M，作点B关于CD的对称点N，连接MN，交AD于点E，交CD于点F，过点M作MG⊥BC，交CB的延长线于点G，
∵点B，点M关于AD对称
∴BE＝EM，AB＝AM＝2，
∴BM＝4
∵点B，点N关于CD对称
∴BF＝FN，BC＝CN＝3
∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN
∵∠ABC＝135°，
∴∠GBM＝45°，且GM⊥BG，
∴∠GBM＝∠GMB＝45°
∴BG＝GM，且BG2+GM2＝BM2，
∴BG＝4＝GM，
∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，
∴在Rt△GMN中，MN＝＝＝2
∴△BEF的最小周长为2
（3）作△ABC的外接圆，交CD于点E，连接AC，AE，过点A作AM⊥CD于点M，作BN⊥AM于点N，
∵四边形ABCE是圆内接四边形
∴∠ABC+∠AEC＝180°
∴∠AEC＝30°，
∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形BCMN是矩形
∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ABN＝60°，且BN⊥AM
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝1，AN＝BN＝
∴AM＝+2，CM＝1
∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，
∴AE＝2AM＝2+4，ME＝AM＝3+2
∴CE＝CM+ME＝4+2＝AE
∴点E在AC垂直平分线上，
∵S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE，且S△ABC是定值，AC长度是定值，点E在△ABC的外接圆上，
∴当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大
∴S四边形ABCE＝S四边形ABCM+S△AME＝××1+＝8+4
【点评】本题四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质等知识，添加恰当的辅助线是本题的关键．
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日期：2020/6/19 16:04:25；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.cm；学号：24602080