2020年广东省广州市天河区中考数学一模试卷【含答案】

这是一份2020年广东省广州市天河区中考数学一模试卷【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年广东省广州市天河区中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3分）南、北为两个相反方向，如果+4m表示一个物体向北运动4m，那么﹣3m表示的是（　　）
A．向东运动3m B．向南运动3m C．向西运动3m D．向北运动3m
2．（3分）下列四个几何体中，从正面看得到的平面图形是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）2019年3月11日互联网生活服务平台美团点评发布2018年全年美团点评实现总营收为652亿元，同比增长92.3%，数据“652亿”用科学记数法表示为（　　）
A．0.652×1011 B．6.52×109 C．6.52×1010 D．65.2×1010
4．（3分）某班级开展一种游戏互动，规则是：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，每人有三次翻牌机会．小明同学前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么他第三次翻牌获奖的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（4a）2＝4a2 B．2a+2b＝4ab C．＝＝2 D．3﹣2＝1
6．（3分）甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系用图象表示大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，将△ABC沿过边上两点D，E的直线折叠后，使得点B与点A重合．若已知BE＝4cm，DE＝3cm，则△ABC的周长与△ADC的周长的差为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
8．（3分）对于抛物线y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减少
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．抛物线与x轴有两个交点
9．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（　　）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
10．（3分）定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）分解因式：2a﹣a2b＝　 　．
12．（3分）当代数式有意义时，实数x的取值范围是　 　．
13．（3分）方程＝的解是　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，点D在AC上，DC＝4，将线段DC沿CB方向平移7个单位长度得到线段EF，此时点E，F分别落在边AB，BC上，则△ADE的周长是　 　．

15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝60°，则的长为　 　．

16．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在AB，BD上，且△ADE≌△FDE，DE交AC于点G，连接GF．得到下列四个结论：①∠ADG＝22.5°；②S△AGD＝S△OGD；③BE＝2OG；④四边形AEFG是菱形，其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题有9小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（9分）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
18．（9分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，若AB＝AO，求∠ABO的度数．

19．（10分）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标为4，求关于x的方程2x＝的解．
20．（10分）若a，b互为倒数，请求出式子×（﹣）的值．
21．（12分）如图，已知△ABC的面积为4，D为AB的中点．
（1）尺规作图：作边AC的中点E，并连接DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求△ADE的面积．

22．（12分）如图，为测量某条河的宽度BC，工程队用无人机在距地面高度为200米的A处测得B，C两点的俯角分别为30°和45°，且点B，C，D在同一水平直线上，求A，C之间的距离和这条河的宽度BC．（结果保留根号）

23．（12分）如图，直线AD与x轴交于点C，与双曲线y＝交于点A，AB⊥x轴于点B（4，0），点D的坐标为（0，﹣2）．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若x轴上存在点M（不与点C重合），使得△AOC和△AOM相似，求点M的坐标．

24．（14分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+ax+3的顶点为P，它分别与x轴的负半轴、正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，连接AC，BC，若tan∠OCB﹣tan∠OCA＝．
（1）求a的值；
（2）若过点P的直线l把四边形ABPC分为两部分，它们的面积比为1：2，求该直线的解析式．

25．（14分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．


2020年广东省广州市天河区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3分）南、北为两个相反方向，如果+4m表示一个物体向北运动4m，那么﹣3m表示的是（　　）
A．向东运动3m B．向南运动3m C．向西运动3m D．向北运动3m
【分析】根据正数和负数的意义解答．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对．
【解答】解：南、北为两个相反方向，如果+4m表示一个物体向北运动4m，那么﹣3m表示的是向南运动3m．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数．明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键．
2．（3分）下列四个几何体中，从正面看得到的平面图形是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别找出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、三棱柱从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意；
B、圆锥从正面看得到的平面图形是三角形，故此选项符合题意；
C、圆柱从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意；
D、长方体从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握简单几何体的三视图．
3．（3分）2019年3月11日互联网生活服务平台美团点评发布2018年全年美团点评实现总营收为652亿元，同比增长92.3%，数据“652亿”用科学记数法表示为（　　）
A．0.652×1011 B．6.52×109 C．6.52×1010 D．65.2×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：652亿＝6.52×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）某班级开展一种游戏互动，规则是：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，每人有三次翻牌机会．小明同学前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么他第三次翻牌获奖的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意知在余下的18个商标牌中，还有3个商标牌的背面注明了一定的奖金额，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：在余下的18个商标牌中，还有3个商标牌的背面注明了一定的奖金额，
∴他第三次翻牌获奖的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（4a）2＝4a2 B．2a+2b＝4ab C．＝＝2 D．3﹣2＝1
【分析】根据积的乘方对A进行判断；根据合并同类项对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝16a2，所以A选项错误；
B、2a与2b不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝＝＝2，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了整式的运算．
6．（3分）甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系用图象表示大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用速度＝，进而得出函数关系式，即可得出其函数图形．
【解答】解：∵甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，
∴它的速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系为：v＝（t＞0），
则此函数关系用图象表示大致为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
7．（3分）如图，将△ABC沿过边上两点D，E的直线折叠后，使得点B与点A重合．若已知BE＝4cm，DE＝3cm，则△ABC的周长与△ADC的周长的差为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【分析】由折叠的性质得AD＝BD，BE＝AE＝4，△ABC的周长﹣△ADC的周长＝AB+BC+AC﹣AC﹣CD﹣AD＝AB，即可得出结果．
【解答】解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
∴AD＝BD，BE＝AE＝4，
∴AB＝BE+AE＝4+4＝8，
∴△ABC的周长﹣△ADC的周长＝AB+BC+AC﹣AC﹣CD﹣AD＝AB+BD﹣AD＝AB＝8（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形周长的计算等知识；熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8．（3分）对于抛物线y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减少
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．抛物线与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，y有最大值﹣3，故选项B正确；
顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；
当y＝0时，0＝﹣x2+x﹣4，此时△＝12﹣4×（﹣）×（﹣4）＝﹣3＜0，则该抛物线与x轴没有交点，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（　　）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【分析】根据一次函数的图象和性质得出a＜0，b＞0，再逐个判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．

【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，能熟记一次函数的性质的内容是解此题的关键．
10．（3分）定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，再利用方程有两个相等的正实数解，所以m＝4，则a*b＝a（4﹣b）．利用新定义得到b（4﹣b）＝a（4﹣a），然后整理后利用因式分解得到（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，从而得到a+b的值．
【解答】解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，
∴m＝4，
∴a*b＝a（4﹣b），
∵b*b＝a*a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）分解因式：2a﹣a2b＝　a（2﹣ab）　．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：2a﹣a2b＝a（2﹣ab）．
故答案为：a（2﹣ab）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）当代数式有意义时，实数x的取值范围是　x≥﹣8　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出8+x≥0，求出即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴8+x≥0，
解得：x≥﹣8，
故答案为：x≥﹣8．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中a≥0是解此题的关键．
13．（3分）方程＝的解是　x＝﹣3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x+6＝x，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，点D在AC上，DC＝4，将线段DC沿CB方向平移7个单位长度得到线段EF，此时点E，F分别落在边AB，BC上，则△ADE的周长是　23　．

【分析】根据等腰三角形性质以及平行四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD∥EF，CD＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴ED＝CF＝7，∠EFB＝∠C
∴∠B＝∠EFB，
∴BE＝EF＝CD＝4，
∴AE＝AD＝12﹣4＝8，
∴△ADE的周长为：8+8+7＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝60°，则的长为　4π　．

【分析】连接OB，OC，根据∠A＝60°，可得∠BOC＝120°，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝120°，
则＝＝＝4π．
故答案为：4π．

【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是求出圆心角的度数，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在AB，BD上，且△ADE≌△FDE，DE交AC于点G，连接GF．得到下列四个结论：①∠ADG＝22.5°；②S△AGD＝S△OGD；③BE＝2OG；④四边形AEFG是菱形，其中正确的结论是　①③④　．（填写所有正确结论的序号）

【分析】由正方形的性质及△ADE≌△FDE，可判断①；证明△ADG≌△FDG（SAS），可判断②；通过全等三角形的性质及等腰三角形的判定可证得EF＝GF＝EA＝GA，从而判定四边形AEFG是菱形，故④可判断；由△OGF为等腰直角三角形及△BFE为等腰直角三角形，可判断③．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝∠ADO＝45°，
∴由△ADE≌△FDE，可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，
故①正确；
∵△ADE≌△FDE，
∴AD＝FD，∠ADG＝∠FDG，
又∵GD＝GD，
∴△ADG≌△FDG（SAS），
∴S△AGD＞S△OGD，
故②错误；
∵△ADE≌△FDE，
∴EA＝EF，
∵△ADG≌△FDG，
∴GA＝GF，∠AGD＝∠FGD，
∴∠AGE＝∠FGE．
∵∠EFD＝∠AOF＝90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG＝∠AGE，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴EF＝GF＝EA＝GA，
∴四边形AEFG是菱形，故④正确；
∵四边形AEFG是菱形，
∴AE∥FG，
∴∠OGF＝∠OAB＝45°，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴FG＝OG，
∴EF＝OG，
∵△BFE为等腰直角三角形，
∴BE＝EF＝×OG＝2OG，
∴③正确．
综上，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（9分）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再在数轴上将解集表示出来即可．
【解答】解：解不等式2x＜4，得：x＜2，
解不等式3（x+1）＞x+1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（9分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，若AB＝AO，求∠ABO的度数．

【分析】根据直角三角形的性质得到OB＝AC＝OA，得到△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，
∴OB＝AC＝OA，
∵AB＝AO，
∴OB＝AB＝AO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABO＝60°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
19．（10分）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标为4，求关于x的方程2x＝的解．
【分析】先利用正比例函数解析式确定交点坐标为（2，4），再把（2，4）代入y＝中求出m得到反比例函数解析式为y＝，然后解方程2x＝即可．
【解答】解：当y＝4时，2x＝4，解得x＝2，
∴正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交点坐标为（2，4），
把（2，4）代入y＝得m＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y＝
解方程2x＝得x＝2或x＝﹣2，
经检验关于x的方程2x＝的解为x＝2或x＝﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
20．（10分）若a，b互为倒数，请求出式子×（﹣）的值．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a，b互为倒数，可以得到ab＝1，再将ab的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：×（﹣）
＝
＝，
∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∴当ab＝1时，原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（12分）如图，已知△ABC的面积为4，D为AB的中点．
（1）尺规作图：作边AC的中点E，并连接DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求△ADE的面积．

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，则点E即为边AC的中点；
（2）依据DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△ADE∽△ABC，即可得到△ADE的面积．
【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，则点E即为所求；
（2）∵AD＝DB，AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即，
∴△ADE的面积为1．

【点评】本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．
22．（12分）如图，为测量某条河的宽度BC，工程队用无人机在距地面高度为200米的A处测得B，C两点的俯角分别为30°和45°，且点B，C，D在同一水平直线上，求A，C之间的距离和这条河的宽度BC．（结果保留根号）

【分析】可求出AC＝＝200，求出BD和CD，则BC可求出．
【解答】解：∵AE∥DB，
∴∠ACD＝∠EAC＝45°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，AD＝200米，
∴AC＝＝＝200（米），
∵AE∥DB，
∴∠ABD＝∠EAB＝30°，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝200（米），
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝200，
∴BC＝BD﹣CD＝（200﹣200）（米）．
答：AC为200米．这条河的宽度BC为（200﹣200）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
23．（12分）如图，直线AD与x轴交于点C，与双曲线y＝交于点A，AB⊥x轴于点B（4，0），点D的坐标为（0，﹣2）．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若x轴上存在点M（不与点C重合），使得△AOC和△AOM相似，求点M的坐标．

【分析】（1）利用的待定系数法求出点A的坐标，设直线AD的解析式为y＝kx+b，转化为方程组求出k，b即可解决问题．
（2）由题意点M只能在x轴的正半轴上，设OM＝m，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）把x＝4代入y＝得到y＝2，
∴A（4，2），
设直线ADA的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得．
∴直线AD的解析式为y＝x﹣2．

（2）对于直线y＝x﹣2，令y＝0，得到x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∵A（4，2），
∴OA＝＝2，
在△AOC中，∠ACO是钝角，
若M在x轴的负半轴上时，∠AOM＞∠ACO，
因此两三角形不可能相似，所以点M只能在x轴的正半轴上，设OM＝m，
∵M与C不重合，
∴△AOC∽△AOM不合题意舍弃，
∴当＝，即＝时，△AOC∽△MOA，
解得m＝10，
∴点M的坐标为（10，0）．

【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（14分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+ax+3的顶点为P，它分别与x轴的负半轴、正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，连接AC，BC，若tan∠OCB﹣tan∠OCA＝．
（1）求a的值；
（2）若过点P的直线l把四边形ABPC分为两部分，它们的面积比为1：2，求该直线的解析式．

【分析】（1）根据抛物线与坐标轴的交点可得一元二次方程，根据韦达定理可得x1+x2＝a；由函数解析式可知当x＝0时y的值，则可得OC的长；结合tan∠OCB﹣tan∠OCA＝得出OB﹣OA＝2，再用x1、x2表示出来，可得a的值；
（2）由（1）可得抛物线的解析式，则可求得点P和点A、点B的坐标，延长PC交x轴于点D，作PF⊥x轴于点F，根据S四边形ABPC＝S△PDB﹣S△CDA，可求得四边形ABPC的面积；设直线l与x轴交于点M（m，0），则BM＝3﹣m，根据直线l把四边形ABPC分为面积比为1：2的两部分，分情况列出关于m的方程，解得m的值，则根据待定系数法可得直线l的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+ax+3与x轴交于点A，B，
∴方程﹣x2+ax+3＝0有两个不同的实数根．
设这两个根分别为x1、x2，且x1＜0，x2＞0，
由韦达定理得：x1+x2＝a，
∵当x＝0时，y＝﹣x2+ax+3＝3，
∴OC＝3．
∵tan∠OCB﹣tan∠OCA＝．
∴﹣＝，
∴OB﹣OA＝2，
∴x2﹣（﹣x1）＝2，即x2+x1＝2，
∴a＝2．
（2）由（1）得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴其顶点坐标为P（1，4）．
解方程﹣x2+2x+3＝0，得x1＝﹣1、x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
延长PC交x轴于点D，作PF⊥x轴于点F，

∴S四边形ABPC＝S△PDB﹣S△CDA
＝DB•PF﹣DA•OC
＝（3+3）×4﹣（3﹣1）×3
＝9．
设直线l与x轴交于点M（m，0），则BM＝3﹣m，
∴S△PMB＝×（3﹣m）×4＝6﹣2m，
当6﹣2m＝×9＝3时，m＝，此时M（，0），
即直线l过点P（1，4），M（，0），
∭由待定系数法可得l的解析式为y＝﹣8x+12；
同理，当6﹣2m＝×9＝6时，m＝0，此时M（0，0），即直线l过点P（1，4），M（0，0），
由待定系数法可得l的解析式为y＝4x；
综上所述，直线l的解析式为y＝﹣8x+12或y＝4x．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系、直线与四边形的面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
25．（14分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．

【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，先证明α+β＝45°，再过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，变形推得S△ABC＝S矩形BGKH，S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，设BG＝9k，BH＝8k，则CH＝3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2＝EF2，解得k的值，则可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，

∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，

由（2）知EA2+CF2＝EF2，
∴EA2+CF2＝EF2，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，
即S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，
∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3，
∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2，
∴+＝，
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．
∴AB＝12，
∴AO＝AB＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．
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日期：2020/6/19 15:54:14；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080