2020年天津市河西区中考数学一模试卷【含答案】

这是一份2020年天津市河西区中考数学一模试卷【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题得分，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年天津市河西区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算9×（﹣5）的结果等于（　　）
A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣14
2．（3分）cos45°的值等于（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（　　）
A．1.7×104 B．1.7×105 C．1.7×106 D．0.17×106
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）估计在（　　）
A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间
7．（3分）计算﹣1的结果为（　　）
A． B．x C．1 D．
8．（3分）直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（　　）
A．（3，6） B．（4，3） C．（4，8） D．（2，3）
9．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
10．（3分）如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（　　）

A．（3，2+m） B．（3+m，2） C．（2，3+m） D．（2+m，3）
11．（3分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（　　）

A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①﹣3＜a＜0；
②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；
③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分
13．（3分）计算：a5÷a3＝　 　．
14．（3分）计算（+1）（﹣1）的结果等于　 　．
15．（3分）九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为　 　．
16．（3分）若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为　 　．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为　 　．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积为　 　；
（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
20．（8分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）图①中a的值为　 　；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．
（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；
（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．

22．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．

23．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；
（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．

25．（10分）已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；
（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．

2020年天津市河西区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算9×（﹣5）的结果等于（　　）
A．45 B．﹣45 C．4 D．﹣14
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：原式＝﹣9×5＝﹣45，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．
2．（3分）cos45°的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：cos45°＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．（3分）下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（3分）据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（　　）
A．1.7×104 B．1.7×105 C．1.7×106 D．0.17×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：将17000用科学记数法可表示为1.7×104．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【解答】解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
6．（3分）估计在（　　）
A．2～3之间 B．3～4之间 C．4～5之间 D．5～6之间
【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．
【解答】解：∵16＜23＜25，
∴4＜＜5，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，实数的整数部分及小数部分，设实数为a，a的整数部分A为不大于a的最大整数，小数部分B为实数a减去其整数部分，即B＝a﹣A；理解概念是解题的关键．
7．（3分）计算﹣1的结果为（　　）
A． B．x C．1 D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝，
故选：A．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
8．（3分）直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（　　）
A．（3，6） B．（4，3） C．（4，8） D．（2，3）
【分析】联立两函数解析式解关于x、y的二元一次方程组即可得解．
【解答】解：解析式联立，
解得，
所以，交点坐标为（3，6）．
故选：A．
【点评】本题考查了两直线相交问题，联立两函数解析式解方程组求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
9．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
10．（3分）如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（　　）

A．（3，2+m） B．（3+m，2） C．（2，3+m） D．（2+m，3）
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．
【解答】解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），
∴OC＝BA＝m，
又∵BA∥CO，
∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，
∴B（2+m，3），
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质．
11．（3分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（　　）

A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H
【分析】由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．
【解答】解：∵将△ABC沿直线BC折叠，
∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，
∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，
∵AH⊥A'B，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，
∴∠A'BC＝∠HAA'，
又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，
∴△BHE≌△AHA'（AAS），
∴BE＝AA'，
∴BE＝2AC，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，证明△BHE≌△AHA'是本题的关键．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①﹣3＜a＜0；
②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；
③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，分a＞0、a＜0分别求解即可；
②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解；
③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，即可求解．
【解答】解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，
当a＞0时，x＝﹣＞0，解得：a＜﹣3，无解；
当a＜0时，x＝﹣＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0；
故①正确，符合题意；

②ax2+bx+3＝2，即ax2+bx+1＝0，
△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，
故方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根，正确，符合题意；

③抛物线y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3，
当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），
当x＝0时，y＝3，
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分
13．（3分）计算：a5÷a3＝　a2　．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．
故填a2．
【点评】本题考查同底数幂的除法法则．
14．（3分）计算（+1）（﹣1）的结果等于　2　．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝3﹣1
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
15．（3分）九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为　　．
【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵九年一班共35名同学，其中女生有17人，
∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
16．（3分）若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为　y＝x+1　．
【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于y＝x，
∴k＝1，
∴这个一次函数的解析式为y＝x+b．
把点（3，4）代入得，4＝3+b，
解得b＝1，
所以这个一次函数的解析式为y＝x+1，
故答案为y＝x+1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据平行直线解析式的k值相等求出k值是解题的关键，也是本题的突破口．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为　　．

【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形EGFH为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得AC、GF的长，从而得出OC、OH的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性质得出比例式，计算即可求得OM的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD为对角线，
∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°，
∴AC⊥BD，
又∵EF⊥GH，
∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠BOF，
在△AOG和△BOF中，
，
∴△AOG≌△BOF（ASA）．
∴BF＝AG＝2，OG＝OF，
同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG．
∴OF＝OH＝OE＝OG，
又∵EF⊥GH，
四边形EGFH为正方形，
∵BF＝AG＝2，FC＝4，
∴BC＝6，即正方形ABCD的边长为6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝6，
∴OC＝3，
∵AG＝2，
∴BG＝6﹣2＝4，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：GF＝＝2，
∴小正方形的边长为2．
∵GH为小正方形的对角线，
∴GH＝×2＝2，
∴OH＝，
在△OHM和△OCH中，
∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°，
∴△OHM∽△OCH，
∴＝，
∴＝，
∴OM＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积为　15　；
（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）　取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求　．

【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可．
（Ⅱ）取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）S△ABC＝×5×6＝15，
故答案为15．
（Ⅱ）如图，正方形ADEF即为所求．

故答案为：取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的面积，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x≤﹣3　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x＜1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　x≤﹣3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；
（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
，
（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）图①中a的值为　25　；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．
【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；
（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；
（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．
【解答】解：（1）根据题意得：
1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；
则a的值是25；
故答案为：25；
（Ⅱ）观察条形统计图，
∵＝1.61，
∴这组数据的平均数是1.61．
∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为1.65，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.60，
有∴这组数据的中位数为1.60，
（Ⅲ）能．
∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，
∴根据中位数可以判断出能否进入前10名；
∵1.65m＞1.60m，
∴能进入复赛．
【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．
（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；
（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．

【分析】（Ⅰ）如图①，连接AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C的度数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB的度数；
（Ⅱ）如图②，连接OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52°，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接AD．

∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．
∵∠ABC＝52°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．
∵＝，
∴∠DFB＝∠DAB＝38°．
（Ⅱ）如图②，连接OD．

在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°，
∴∠BED＝∠B＝52°，
∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．
又在△BOD中，OB＝OD，
∴∠BDO＝∠B＝52°，
∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°．
∵OD＝OF，
∴∠F＝∠ODF＝24°．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
22．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．

【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，
在Rt△ACD中，tanA＝tan45°＝＝1，CD＝AD，
sinA＝sin45°＝＝，AC＝CD．
在Rt△BCD中，tanB＝tan37°＝≈0.75，BD＝；
sinB＝sin37°＝≈0.60，CB＝．
∵AD+BD＝AB＝63，
∴CD+＝63，
解得CD≈27，
AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，
CB＝≈＝45.0，
答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．
23．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；
（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．
【解答】解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，
则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，
解得x1＝1，x2＝5，
当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；
当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），
为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），
答：每辆汽车的售价为20万元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；
（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．

【分析】（Ⅰ）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°． 得出AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝DM＝，进而得出答案；
（Ⅱ）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC＝OB，得出OE＝DC．证出OE∥DC． 即可得出结论；
（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，证△OBE是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出AG＝，得出CG＝+2，进而得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），
∴OA＝，OB＝1，
在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°．
∴AB＝2OB＝2，
由旋转性质得，DA＝OA＝，
过D作DM⊥OA于M，如图①所示：
则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，
∴OM＝AO﹣OM＝﹣，
∴D（﹣，）．
（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：
在Rt△AOB 中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，
∴OE＝BE＝AE．
又∠ABO＝60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴OE＝OB，
∴∠BOE＝60°，
∴∠EOA＝30°，
由旋转性质，DC＝OB，
∴OE＝DC．
∵α＝60°，
∴∠OAD＝60°，
由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，
∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，
∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DCA＝∠OFA，
∴OE∥DC．
∴四边形OECD是平行四边形．
（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：
过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，
当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，
∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，
∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OEB＝60°，
∴∠AEG＝∠OEB＝60°，
在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝，
∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×＝，
∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，
∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．



【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、解直角三角形、圆的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键．
25．（10分）已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；
（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；
（Ⅱ）点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解；
（III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
则y＝（x+1）（x﹣3），
即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），
所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，
且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，
于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；
由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，
由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，
解得：m＝；

（III）①当a+1＜1时，即a＜0，
则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，
解得a＝1﹣（正值舍去）；
②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，
则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，
解得：a＝﹣2（舍去）；
③当a≥1时，
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；
综上，a的值为1﹣或2+．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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日期：2020/6/19 15:54:06；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080