2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷【含答案】

这是一份2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）下列计算，结果等于x5的是（　　）
A．x2+x3 B．x2•x3 C．x10÷x2 D．（x2）3
2．（2分）如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（　　）

A． B． C． D．
3．（2分）值等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2分）点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n﹣1）对应的点可能是（　　）

A．A B．B C．C D．D
5．（2分）完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（　　）

A．4m B．4n C．2m+n D．m+2n
6．（2分）如图，▱OABC的周长为14，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．12
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）已知某种纸一张的厚度为0.0087cm，用科学记数法表示0.0087是　 　．
8．（2分）把多项式2x2﹣4xy+2y2因式分解的结果为　 　．
9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（2分）计算（﹣）×+2的结果是　 　．
11．（2分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
12．（2分）如图，点I为△ABC的重心，过点作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则PQ的长为　 　．

13．（2分）已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差　 　乙的方差（填“＞”“＝”、“＜”）．

14．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，弧AC的长为π，则∠ADC的大小是　 　．

15．（2分）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为　 　．

16．（2分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是　 　．
三、解答题（共88分）
17．（7分）先化简，再求值：，其中﹣2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．
18．（7分）解方程：．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．

20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：
销售量
200
170
130
80
50
40
人 数
1
1
2
5
3
2
（1）求这14位营销员该月销售该品牌电脑的平均数、中位数和众数．
（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？
21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）
（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22．（7分）如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．

23．（8分）某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C，A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）联络员骑车的速度a＝　 　；
（2）求线段AD对应的函数表达式；
（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．

24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB＝12，CE＝3时，求AC的长．

25．（8分）如图，A、B、C三个城市位置如图所示，A城在B城正南方向180km处，C城在B城南偏东37°方向．已知一列货车从A城出发匀速驶往B城，同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城，出发1小时后，货车到达P地，客车到达M地，此时测得∠BPM＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q地，客车到达N地，此时测得∠BNQ＝45°，求两车的速度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin26°≈．cos26°≈，tan26°≈）

26．（8分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．
（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是　 　
A．a＜1 B．a＞3 C．a＜1或a＞3 D.1＜a＜3
（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．
（3）若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则n的范围是　 　．
27．（11分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．
（1）若P是BD上一点，且PA＝CD，求∠PAB的度数．
（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE．如图2，求证：DE2＝DO•DB；
②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD′（A与A'，D与D′时对应点），若DD′＝CD，则cosα的值为　 　．


2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）下列计算，结果等于x5的是（　　）
A．x2+x3 B．x2•x3 C．x10÷x2 D．（x2）3
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
【解答】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、x2•x3＝x5，故此选项正确；
C、x10÷x2＝x8，故此选项错误；
D、（x2）3＝x6，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．
2．（2分）如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据圆柱体的截面图形可得．
【解答】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，
将水杯正着放可得到B选项的形状，
将水杯倒着放可得到C选项的形状，
不能得到三角形的形状，
故选：D．
【点评】本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．
3．（2分）值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
4．（2分）点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n﹣1）对应的点可能是（　　）

A．A B．B C．C D．D
【分析】直接利用P点坐标结合横纵坐标的变化得出答案．
【解答】解：∵点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，
∴坐标（m+1，n﹣1）应该在P点右侧以及P点下方，
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出坐标变化是解题关键．
5．（2分）完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（　　）

A．4m B．4n C．2m+n D．m+2n
【分析】设小矩形的长为a，宽为b，可得a+2b＝m，表示出左右两个阴影部分矩形的长与宽，进而表示出周长，化简即可得到结果．
【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b，可得a+2b＝m，
可得左边阴影部分的长为2b，宽为n﹣a，右边阴影部分的长为m﹣2b，宽为n﹣2b，
图中阴影部分的周长为2（2b+n﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）
＝4b+2n﹣2a+2m+2n﹣8b
＝2m+4n﹣2a﹣4b
＝2m+4n﹣2（a+2b）
＝2m+4n﹣2m
＝4n，
故选：B．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2分）如图，▱OABC的周长为14，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．12
【分析】设OA＝a，OC＝b，根据题意得到b＝7﹣a，作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，解直角三角形表示出A、M的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a•a＝（7﹣a+a）•（a），解得a＝4，求得A的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：设OA＝a，OC＝b，
∵▱OABC的周长为14，
∴a+b＝7，
∴b＝7﹣a，
作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，
∵∠AOC＝60°，
∴OD＝a，AD＝a，
∴A（a，a），
∵M是BC的中点，
∴CN＝a，MN＝a，
∴M（7﹣a+a，a），
∴a•a＝（7﹣a+a）•（a）
解得a＝4，
∴A（2，2），
∴k＝2×＝4，
故选：B．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a，b的值．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）已知某种纸一张的厚度为0.0087cm，用科学记数法表示0.0087是　8.7×10﹣3　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0087＝8.7×10﹣3．
故答案为：8.7×10﹣3．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2分）把多项式2x2﹣4xy+2y2因式分解的结果为　2（x﹣y）2　．
【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：2x2﹣4xy+2y2
＝2（x2﹣2xy+y2）
＝2（x﹣y）2．
故答案为：2（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，1﹣2x≥0，
解得x≤．
故答案为：x≤．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2分）计算（﹣）×+2的结果是　　．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+2
＝﹣+2
＝+．
故答案为+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．（2分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝　6　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，
∴原式＝2﹣（﹣4）＝6，
故答案为：6
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12．（2分）如图，点I为△ABC的重心，过点作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则PQ的长为　　．

【分析】连接AI并延长交BC于D，如图，利用重心的性质得＝，再证明△APQ∽△ABC，然后利用相似比可计算出PQ的长．
【解答】解：连接AI并延长交BC于D，如图，
∵点I为△ABC的重心，
∴AI＝2ID，
∴＝，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝＝，
∴PQ＝5×＝．
故答案为．

【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．
13．（2分）已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差　＞　乙的方差（填“＞”“＝”、“＜”）．

【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．
【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即甲的方差＞乙的方差．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了折线统计图．
14．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，弧AC的长为π，则∠ADC的大小是　135°　．

【分析】连接OC、OA，根据弧长公式求出∠AOC，根据圆周角定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：连接OC、OA，
设∠AOC＝n°，
则＝π，
解得，n＝90，
∴∠AOC＝90°，
由圆周角定理得，∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝135°，
故答案为：135°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．（2分）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为　　．

【分析】由勾股定理可求ME＝5，BE＝3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG＝，GM＝，即可求解．
【解答】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．
∴ME＝CE，MB＝AB＝4＝AM，∠D'ME＝∠C＝90°，
在Rt△MBE中，ME2＝MB2+BE2，
∴ME2＝16+（8﹣ME）2，
∴ME＝5
∴BE＝3，
∵∠D'ME＝∠DAB＝90°＝∠B
∴∠EMB+∠BEM＝90°，∠EMB+∠AMD'＝90°
∴∠AMD'＝∠BEM，且∠GAM＝∠B＝90°
∴△AMG∽△BEM
∴
∴
∴AG＝，GM＝
∴△AMG的内切圆半径的长＝＝
故答案为：

【点评】本题考查了三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG，GM的长度是本题的关键．
16．（2分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是　﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为﹣7，知不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，据此求解可得．
【解答】解：解不等式+3＞﹣1，得：x＞﹣4.5，
∵不等式组的整数解的和为﹣7，
∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，
则﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3，
故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三、解答题（共88分）
17．（7分）先化简，再求值：，其中﹣2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．
【分析】先把括号内的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由于x不能取±2，1，所以把可把x＝0代入计算．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
当x＝0时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特别要注意x的值必须使所求的代数式有意义．
18．（7分）解方程：．
【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x的值，代入公分母进行检验即可．
【解答】解：方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）＝3，
化简，﹣6x＝﹣3，解得x＝．
检验：x＝时，2（3x﹣1）＝2×（3×﹣1）≠0
所以，x＝是原方程的解．
【点评】本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．

【分析】（1）由菱形的性质和等边三角形的性质可得AB＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF，由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得CE＝AF；
（2）利用三角形的内角和定理可求∠CBE的度数．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，∠ABC＝60°
∵△BEF是等边三角形
∴BE＝BF，∠FBE＝60°
∴∠ABC＝∠EBF，
∴∠ABF＝∠CBE，且AB＝BC，BE＝BF
∴△ABF≌△CBE（SAS）
∴CE＝AF
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴∠C+∠D＝180°，
∵∠BEF＝60°
∴∠DEP+∠BEC＝120°
∵∠DPE+∠D+∠DEP＝180°，∠C+∠CBE+∠BEC＝180°
∴∠DPE+∠D+∠DEP+∠C+∠CBE+∠BEC＝360°
∴∠CBE＝60°﹣∠DPE＝60°﹣48°＝12°

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：
销售量
200
170
130
80
50
40
人 数
1
1
2
5
3
2
（1）求这14位营销员该月销售该品牌电脑的平均数、中位数和众数．
（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？
【分析】（1）用加权平均数的求法求得其平均数，出现最多的数据为众数，排序后位于中间位置的数即为中位数；
（2）众数和中位数，是大部分人能够完成的台数．
【解答】解：（1）平均数：＝90台；
∵共14人，
∴中位数：80台；
有5人销售80台，最多，故众数：80台；

（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务．
【点评】本题考查了中位数、众数的确定及加权平均数的计算方法，解决本题的关键是正确的从表中整理出所有数据，并进行正确的计算和分析．
21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）
（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，
∴P（恰好选中乙同学）＝；
（2）画树状图得：

∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．
∴P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率
22．（7分）如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】根据轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图可得．
【解答】解：如图所示，直线l1、l2即为所求．

【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图．
23．（8分）某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C，A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）联络员骑车的速度a＝　12　；
（2）求线段AD对应的函数表达式；
（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a的值；
（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD对应的函数表达式；
（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．
【解答】解：（1）由图可得，
a＝（4+4×）÷＝12，
故答案为：12；
（2）设线段AD对应的函数表达式为y＝kx+b，
，得，
即线段AD对应的函数表达式为y＝﹣8x+4（0≤x≤）；
（3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th时，
（12+6）（t﹣）＝4﹣（6﹣4）×，
解得，t＝，
答：联络员出发h时第一次与后队相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB＝12，CE＝3时，求AC的长．

【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝12，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
连接BD，∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CB＝AB＝12，AF＝CF＝AC，
∵∠CDE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠CDE＝∠CBD，
∵∠DCE＝∠BCD＝90°，
∴△BCD∽△DCE，
∴＝
∴＝，
∴CD＝6，
在Rt△BCD中，BD＝＝6
同理：△CFD∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝，
∴AC＝2AF＝．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝8是解本题的关键．
25．（8分）如图，A、B、C三个城市位置如图所示，A城在B城正南方向180km处，C城在B城南偏东37°方向．已知一列货车从A城出发匀速驶往B城，同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城，出发1小时后，货车到达P地，客车到达M地，此时测得∠BPM＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q地，客车到达N地，此时测得∠BNQ＝45°，求两车的速度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin26°≈．cos26°≈，tan26°≈）

【分析】作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为xkm/h，货车速度为ykm/h，根据锐角三角函数的定义列出关于x与y的方程后，利用二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，
设客车的速度为xkm/h，货车速度为ykm/h，
由题意可知：BM＝x，BN＝2x，AP＝y，AQ＝2y，BQ＝180﹣2y，
在Rt△BDM中，
∴sinB＝，cosB＝，
∴DM＝xsin37°，BD＝xcos37°，
在Rt△DMP中，
∴tan∠DPM＝＝，
∴tan26°＝，
∴≈，
即2x+y＝180①，
在RtBEQ中，
∴sinB＝，cosB＝，
∴QE＝sin37°•（180﹣2y），BD＝cos37°（180﹣2y），
在△EQN中，
∠BNQ＝45°，∠QEN＝90°，
∴△EQN为等腰直角三角形，
∴QE＝NE，
则sin37°（180﹣2y）＝2x﹣cos37°（180﹣2y），
上式化简可得：630﹣7y＝5x②，
联立①②可得：，
解得：，
∴客车速度约为70km/h，货车速度约为40km/h．

【点评】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，二元一次方程组的解法等知识，综合程度较高，属于中等题型．
26．（8分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．
（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是　C　
A．a＜1 B．a＞3 C．a＜1或a＞3 D.1＜a＜3
（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．
（3）若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则n的范围是　n≥5　．
【分析】（1）由已知可知函数的对称轴x＝2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，则a＜1；
（2）由对称轴可求m＝4，抛物线与x轴只有一个交点，则△＝0，进而可求n的值；
（3）当x＝2时，函数有最小值n﹣4，则有2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，即可求n的范围．
【解答】解：（1）∵当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．
∴函数的对称轴x＝2，
若P在对称轴右侧，则a＞3；
若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，
∴a＜1；
综上所述，a＜1或a＞3；
故答案为C．
（2）∵对称轴x＝2，
∴m＝﹣4，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴m2﹣4n＝0，
∴n＝4，
∴y＝x2﹣4x+4；
（3）y＝x2﹣4x+n，
∵开口向上，
∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4，
∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，
∴n≥5．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，利用函数对称轴的性质解题是关键．
27．（11分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．
（1）若P是BD上一点，且PA＝CD，求∠PAB的度数．
（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE．如图2，求证：DE2＝DO•DB；
②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD′（A与A'，D与D′时对应点），若DD′＝CD，则cosα的值为　　．

【分析】（1）根据勾股定理求出BC、BD，分点P在点线段DH上、点P在点线段BH上两种情况，根据余弦的定义解答；
（2）①证明△BDE∽△EDO，根据相似三角形的性质证明结论；
②作BH⊥DD′，DG⊥BD′，根据三角形的面积公式求出DG，根据勾股定理求出BG，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠DCB＝60°，CD＝8，
∴BC＝16，BD＝8，
在Rt△BAD中，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD＝BD•＝4，
作AH⊥BD于H，
则AH＝BD＝4，∠BAH＝45°，
当点P在点线段DH上时，cos∠PAH＝＝，
∴∠PAH＝30°，
∴∠PAB＝30°+45°＝75°，
当点P′在点线段BH上时，∠PAB＝45°﹣30°＝15°，
综上所述，∠PAB的度数为75°或15°；
（2）①证明：由题意得，BD＝BE，∠DBE＝30°，∠AEB＝45°，
∴∠BDE＝∠BED＝75°，又∠BDE＝∠EDO，
∴△BDE∽△EDO，
∴＝，即DE2＝DO•DB；
②解：如图3，符合条件的点有两个D′和D′′，
由题意得，∠DBD′＝∠DBD′′，它们的余弦值相等，
作BH⊥DD′，DG⊥BD′，
则DH＝HD′＝4，
在Rt△BDH中，BH＝＝4，
△BDD′的面积＝×DD′×BH＝×BD′×DG，即×8×4＝×8×DG，
解得，DG＝，
由勾股定理得，BG＝＝，
∴cosα＝cos∠DBD′＝＝，
故答案为：．


【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
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日期：2020/6/19 16:05:46；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080