2021年广东省东莞市东城实验中学中考数学二模试卷(含答案解析)

2021年广东省东莞市东城实验中学中考数学二模试卷

1. 2021的相反数是

A. 2021 B.  C.  D.

2. 已知一组数据为1，5，3，9，7，则这组数据的中位数是

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

3. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，这个多边形的边数是

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

6. 在中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则与的面积之比为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为
   
    

A.  B.  C.  D.

8. 关于x的不等式组的整数解有

A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个

9. 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分，，，则矩形ABCD的面积为
    

A.  B. 24 C.  D. 12

10. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④正确的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 分解因式：______.
12. 计算：______.
13. 若，则的值为______.
14. 已知，则代数式的值是______。
15. 如图，菱形ABCD的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为______.

16. 如图，将半径为2，圆心角为的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在上，点C的对应点为E，则图中阴影部分的面积为______ .
17. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长托板AB固定在支撑板顶端点C处，且，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若，，为了观看舒适，把AB绕点C逆时针旋转后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，则CD旋转的角度为______结果保留小数点后一位参考数据：，，，，，，
     

18. 先化简，再求值：，其中
    
    
    
    
    
    
     
19. 2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    这次被调查的同学共有______人；
    扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
    现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，已知锐角
    过点A作BC边的垂线MN，交BC于点用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法；
    在的条件下，若，，，求DC的长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知关于x的一元二次方程

求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；

若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．






 

22. 在我市“青出绿水”行动中，某村计划对面积为的山坡进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
    求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化．
    若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，该村要使这次绿化的总费用不超过40万元．则至少应安排乙工程队绿化多少天？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画，与边AB相切于点D，，连接OA交于点E，连接CE，并延长交线段AB于点
    求证：AC是的切线；
    若，，求的半径；
    若F是AB的中点，试探究与AF的数量关系并说明理由．

24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点．过A点分别作x轴、y轴的垂线，E、F为垂足．
    请直接写出矩形AEOF的面积；
    设一次函数与x轴、y轴的交点分别为C、D，当时．
    ①试求的面积；
    ②当时，以BD为直径作，与x轴相交于P点，请求出P点的坐标．

25. 如图1，抛物线与x轴的交点和，与y轴交于点C，顶点为
    求该抛物线的解析式；
    连接AD，DC，CB，将沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点、、，设平移时间为t秒，当点与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
    如图2，过该抛物线上任意一点向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：2021的相反数是，
故选：
只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”．
本题考查了相反数的定义，牢记相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：将这组数据重新排列为1、3、5、7、9、11，
这组数据的中位数，
故选：
将所得数据重新排列，再根据中位数的概念求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：点与点关于y轴对称，
，
故选：
直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
，
解得，
即这个多边形为五边形，
故选：
根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．
本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：因为的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，所以A选项不符合题意；
B.因为的被开方数中含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以B选项不符合题意；
C.，它的被开方数中含有可以开方的因数9，所以它不是最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D.符合最简二次根式的定义，它是最简二次根式，所以D选项符合题意；
故选：
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：①被开方数不含有分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中线的性质以及等底同高的三角形面积相等的知识，连接BE构建等底同高的三角形是解题的关键．先证明和是等底同高的三角形，其面积相等，再说明和是等底同高的三角形，它们面积相等，从而得出的面积是面积的4倍.
【解答】

解：连接BE，作，

点D是AB的中点，
，
，，
，
同理：和也是等底同高的三角形，
，
，

故选

7.【答案】B
 

【解析】解：正方形ABCD的面积为1，
，，
、F分别是BC、CD的中点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
正方形EFGH的周长；
故选：
由正方形的性质和已知条件得出，，，得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：，
解①得，
解②得
故不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解有、0、1、2、3、4、5共7个．
故选：
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
平分，，
，
，
，
，，
，
矩形ABCD面积；
故选：
由矩形的性质得出，得出，由角平分线和等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，得出，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
①根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断；
②根据抛物线对称轴是直线，即，可得，进而可以判断；
③根据抛物线与x轴有2个交点，可得，即，进而可以判断；
④当时，，即，根据，可得，即可判断．
【解答】
解：①根据抛物线开口向下可知：
，
因为对称轴在y轴右侧，
所以，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以，
所以，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线，
即，
所以，
所以，
所以②正确；
③因为，
所以
如果，
那么
因为，
所以，
有题知，
所以③错误；
④当时，，
即，
因为，
所以，
所以④正确．
所以正确的个数是②④2个．
故选：  

11.【答案】
 

【解析】解：原式
故答案是：
首先确定公因式是2x，然后提公因式即可．
本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键．
 

12.【答案】3
 

【解析】解：原式，
故答案为：
根据绝对值，零指数幂和负整数指数幂计算即可．
本题考查了绝对值，零指数幂和负整数指数幂，掌握是解题的关键．
 

13.【答案】1
 

【解析】解：，
，，
，；
因此
则
故答案为：
首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．
此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
 

14.【答案】21
 

【解析】解：因为，
所以，
则代数式。
故答案为：21。
直接将已知代数式变形进而代入原式求出答案。
此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键。
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接

由作图可知，MN垂直平分线段AB，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
故答案为
如图，连接证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EB，EC即可．
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接BD，过A作于F，则，如图，

将半径为2，圆心角为的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在上，点C的对应点为E，
扇形ABC和扇形ADE的面积相等，，
是等边三角形，
，
，
，由勾股定理得：，
阴影部分的面积

，
故答案为：
连接BD，过A作于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形ADE的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积求出答案即可．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图所示：

由题意可知：
，
在中，，，
，
，
旋转的角度约为：，
故答案为：
根据题目的已知可得，，然后在中，利用锐角三角函数的正切值求出的度数即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式
 

【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】解：；
；
列表如下：

共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
选中甲、乙，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为
 

【解析】

【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：根据题意得：
人，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
根据题意得：
，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
见答案．  

20.【答案】解：如图，
，
，
在中，
，
，

 

【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形．
利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；
先在中利用的正切计算出BD，然后利用求CD的长．
 

21.【答案】解：
，
，，
，
无论k取任何实数，方程总有实数根；

解方程得，，
①当腰长为5时，则，
周长；
②当底边为5时，
，
，
周长
 

【解析】先计算，整理得到，根据非负数的性质得到，然后根据的意义即可得到结论；
先解出原方程的解为，，然后分类讨论：腰长为5时，则；当底边为5时，则，得到，然后分别计算三角形的周长．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的2性质．
 

22.【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是、；
设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
解得：，
至少应安排乙工程队绿化32天，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
 

【解析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意列出方程即可；
设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得，再根据题意得出不等式，即可得出结论．
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
 

23.【答案】解：如图，连接OD，

与边AB相切于点D，
，即，
，，，
≌，
，
又是半径，
是的切线；
，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故的半径为；
连接OD，DE，

由可知：≌，
，，
又，，
≌，
，
，
，
，
点F是AB中点，，
，
，
，
，
，

 

【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
连接OD，由切线的性质可得，由“SSS”可证≌，可得，可得结论；
由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解；
连接OD，DE，由“SAS”可知≌，可得，由三角形内角和定理可得，，可得，可证，可得结论．
 

24.【答案】解：如图1，
点A在反比例函数的图象上，
且轴，轴，

矩形AEOF的面积为
①如图1，
设，则
，
，，
轴、轴，

又，
∽




的面积为
②过点N作轴，垂足为G，过点B作轴，垂足为H，过点N作轴，垂足为M，连接NP，如图2所示．
，

，
点A、点C在直线上，

解得：

当时，

、B是直线与反比例函数图象的交点，

解得：，
当时，；
当时，
点B的坐标为
，

，


轴，轴

∽

，
，
点N在直线上，
点

，
，
，，



点的坐标为或
 

【解析】由反比例函数系数k的几何意义即可得到矩形AEOF的面积．
①设，即可用m表示出点A、C的坐标，再由∽即可求出OD的长度用m表示，进而可以求出的面积．
②由得，从而得到点A、C的坐标，进而求出直线AC的解析式，就可求出点D、B的坐标，以及BD的长度即的直径，然后借助于三角形相似就可求出点N的坐标，再借助于勾股定理即可求出点P的坐标．
本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，有一定的综合性．
 

25.【答案】解：抛物线过点，，
，解得，
抛物线的解析式为；
①时，如图1，

，，
，
，
②时，；
③时，如图2，

，，
，，
，
，，
，
，
，
综合以上可得：
令，则，，
，
，
，

，

当时，上式对于任意m恒成立，
存在
 

【解析】将点、代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组即可；
分三种情况：①时，②时，③时，可由面积公式得出答案；
令，则，，得出，可求出则得出答案．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，两点间的距离公式，平移的性质，三角形的面积等知识．熟练运用方程的思想方法，正确进行分类是解题的关键．