江苏省苏州市2022届高三数学第二次模拟试题（含答案解析）

江苏省苏州市2022年高三数学第二次模拟试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知，是虚数单位，复数，，若为纯虚数，则复数的虚部为

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，集合，则

A.  B.  C.  D.

3. 已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为

A.  B.  C.  D.

4. 下列有关命题的说法错误的是

A. 命题“若则”的逆否命题为：“若，则”
B. “”是“”的充分不必要条件．
C. 若为假命题，则、均为假命题．
D. 对于命题：使得则：均有

5. 已知等差数列前项和为，若，则

A.  B.  C.  D.

6. 一个盒子里有个大小形状相同的小球，其中个红的，个黄的，个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是

A.  B.
C.  D.

8. 已知直线：为参数与圆：交于、两点，当最小时，的取值为

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有

A.  B.
C.  D.

10. 在中，，，，下列命题为真命题的有

A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为直角三角形
D. 若，则为直角三角形

11. 对于函数，下列说法正确的有

A. 在处取得极大值
B. 只有一个零点
C.
D. 若在上恒成立，则

12. 为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田．这块地的亩产量单位：分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A. ，，，的平均数 B. ，，，的标准差
C. ，，，的方差 D. ，，，的中位数

三、单空题（本大题共3小题，共15分）

13. 设函数，，，取，，，，，，，，，，则，，的大小关系为______用“”连接
14. 方程的实根个数是______ ．
15. 双曲线的焦点坐标是______；渐近线方程是______．

四、多空题（本大题共1小题，共5分）

16. 如图，在矩形中，，为中点，沿直线将翻折成，使平面平面点，分别在线段，上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，则      ，四棱锥的体积为      

五、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在中，，，分别是内角，，的对边，且满足．
    Ⅰ求角大小；
    Ⅱ若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知数列满足：，．
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ求证：
    
    
    
    
    
    
     
19. 某中学有初中学生人，高中学生人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间单位：小时分为组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
    
    写出的值；
    试估计该校所有学生中，阅读时间不小于个小时的学生人数；
    从阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望．
    
    
    
    
    
    
     
20. 正三棱柱底边长为，，分别为，的中点．
    已知为线段上的点，且，求证：面；
    若二面角所成角的余弦值为，求的值．
     

21. 已知椭圆的短轴长为离心率为设点是轴上的定点，直线，设过点的直线与椭圆相交于、两点，，在上的射影分别为，．
    求椭圆的方程；
    判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22.  已知函数
    求函数单调区间；
    若 时，函数 恒成立，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为的形式，通过虚部不为，实部为，即可得到复数的虚部．
本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
【解答】
解：，
因为复数是纯虚数，所以，满足题意．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：集合，集合，
．
故选：．
利用并集定义直接求解．
本题考查并集的求法，考查并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，
，
故选：．
根据扇形公式，代入数据运算即可得出答案．
此题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．
 

4.【答案】
 

【解析】试题分析：根据原命题与逆否命题的关系知A正确；由充要条件的判断知B正确；由复合命题的真值表知不正确；根据含有一个量词的命题的否定知D正确．
考点：本小题主要考查四种命题，充要条件，复合命题，含有一个量词的命题的否定．
点评：对于此类问题，要根据结论仔细判断，此类问题一般难度较低．
 

5.【答案】
 

【解析】解：依题意，
所以，
根据等差数列的性质可得，，
所以．
故选：．
结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的简单应用，属．于基础试题
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
 

本题考查的是古典概型，做题时需考虑基本事件总数，满足事件的基本事件个数，再求比值即可也可以通过条件概率来求．

【解答】
解：从盒子中任取一球，若它不是红球，所有的取法共有种，而它是绿球的取法有种，
故它是绿球的概率，
故选C．

7.【答案】
 

【解析】解：成立设，
则，即时是增函数，
当时，，此时；
时，，此时．
又是奇函数，所以时，；
时．
则不等式等价为或，
可得或，
则不等式的解集是，
故选：．
构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化即可．
本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．构造函数函数解决本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：圆：化为直角坐标方程为：．
把直线：，化为普通方程为：，
由于直线过定点在圆的内部，
因此当时，取得最小值．
，
，
解得．
故选：．
圆：化为直角坐标方程为：把直线：，化为普通方程为：，由于直线过定点在圆的内部，
因此当时，取得最小值．利用，即可得出．
本题考查了直线与圆的相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量数量积的定义与运算法则，考查运算求解能力，属于基础题．
根据空间向量数量积的运算法则逐一检验选项，即可．

【解答】

解：选项A，，即A正确；
选项B，，即B错误；
选项C，，，，即C错误；
选项D，，即D正确．
故答案选：．

10.【答案】
 

【解析】解：：若，由正弦定理得，，A正确，
：若，，，即为钝角，为钝角三角形，B错误，
：若，则，为直角三角形，C正确，
：若，则，，，
由余弦定理得，，，，为直角三角形，D正确．
故选：．
利用正弦定理判断，利用数量积的性质判断，利用数量积的性质和余弦定理判断．
本题考查了向量数量积的运算，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：对于，
函数的定义域为，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得最大值故A正确；
对于，
令，解得，所以只有一个零点，故B正确；
对于，
因为，所以，故C错误；
对于，
，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，故D错误．
故选：．
对于，先利用单数求函数单调性，进而求最值；
对于，直接求方程的解得个数即的零点个数；
对于，结合单调性可判断；
对于，，令，利用导数求函数的最值即可求的取值范围．
本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，考查分离参数法处理恒成立问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：在中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，
故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在中，方差能反映一个数据集的离散程度，故C可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
故选：．
利用平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义直接求解．
本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、方差、中位数的定义和意义的合理运用．
 

13.【答案】
 

【解析】解：对于，因为在区间上单调递增，
所以，
则；
对于，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且关于直线对称，
所以当时，，
当时，，
则
，
又，，，
所以；
对于，因为的周期为，关于直线对称，
且在区间上单调递增，在上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
其中，，，
则


，
所以，
则．
故答案为：．
先分析三个函数在区间上的单调性、对称性以及周期性，然后利用绝对值的定义结合函数的性质分别表示出，，，然后通过中间值进行比较，即可得到答案．
本题考查了数列与函数的综合应用，函数性质的应用，涉及了函数的单调性、周期性以及对称性的判断与应用，裂项相消法的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设，则，
令，得或，
时，单调递增，最大值为；
当时，单调递减，最小值为；
当时，单调递增，最小值为，
由上分析知的图象如图，与轴只有一个公共点，
所以方程只有一个实根．
故答案为：．
应用导数的几何意义易判断函数的增减性，然后根据极值判断实根的个数．
本题考查导数知识的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
 

15.【答案】 
 

【解析】解：双曲线，可得，，，
所以双曲线的焦点坐标是．
渐近线方程是：．
故答案为：；．
直接利用双曲线方程求解焦点坐标以及渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标以及渐近线方程的求法，是基础题．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，以为原点，，，过垂直于底面的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，取的中点，连接，，则，，
，，设，则，，
由，得，解得，
故B，
同理，可得，故E，
四棱锥的体积为，
故答案为：；．
建立空间直角坐标系，求出，，的坐标，求出四棱锥的体积即可．
考查求棱椎的体积，折叠问题中的不变性问题，中档题．
 

17.【答案】解：因为．
由正弦定理可得，，
，
即，
所以，
所以，
，
，
故B，
由题意可得，，解可得，，
由正弦定理可得，，
故，，
所以，，
 

【解析】由已知结合二倍角公式，辅助角公式即可求解；
由已知结合正弦定理及和差角公式，辅助角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求的范围，进而可求．
本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，和差角公式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．
 

18.【答案】证明：Ⅰ由题意，可知：
，
，
数列是单调递增数列．
又，
，
．
．
Ⅱ由题意，可知：
，
．
即：
．
．
，又由Ⅰ，知：，
；
又由，得：
，
．
命题得证．
 

【解析】本题主要考查利用作差法来判断数列的大小以及利用放缩法证明不等式，属于较难题．
Ⅰ可根据递推式的特点选择作差法来判断与的大小关系；
Ⅱ首先对递推式进行整理重新组合，化成与的倒数关系式，这可以根据求证的不等式进行思考，然后可采用相消法使式子变得更简单，再利用放缩法便能证出不等式成立．
 

19.【答案】解：由频率直方图的性质，，
，
由分层抽样可知：抽取的初中生有名，高中有名，
初中生中，阅读时间不小于小时的学生的频率为，
所有的初中生阅读时间不小于小时的学生约有人，
同理，高中生阅读时间不小于小时的学生的频率为，
学生人数约为人，
所有的学生阅读时间不小于小时的学生约有，
初中生中阅读时间不足个小时的学生的频率为，样本人数为人，
同理，高中生中阅读时间不足个小时的学生的频率为，
故的可能取值为：，，，
，，，
的分布列为：

．
 

【解析】根据频率频率直方图的性质，可求得的值；
由分层抽样，求得初中生有名，高中有名，分别求得初高中生阅读时间不小于小时的学生的频率及人数，求和；
分别求得，初高中生中阅读时间不足个小时的学生人数，写出的取值及概率，写出分布列和数学期望．
本题考查频率分布直方图的应用，分布列和期望求法，考查计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：取中点为，连结，
则，又，
则，所以，
因为面，面，
故E面．
解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设．
则，
，
设平面法向量为，
设平面法向量为．
则，取，得，
，取，得；
设二面角的平面角为，
二面角所成角的余弦值为，
，
设，则，得，
即，．
 

【解析】取中点为，连结，推导出，从而，进而，由此能证明面．
以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法能求出结果．
本题考查线面平行的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

21.【答案】解：由题意可知，，
又，，，．
椭圆的标准方程为：．
当直线斜率为时，，分别为椭圆的左右顶点，
则
，
当直线斜率不为时，设直线的方程为，
联立方程组，
消去得：，
设，，
则，，
．
综上，为定值．
 

【解析】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系和定值问题，属于中档题．
根据题意列方程得出，的值即可得出椭圆方程；
讨论直线斜率是否为，当直线斜率不为时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系计算得出结论．
 

22.【答案】，。
，
当时，；当时，。

所以函数在上单调递减，在上单调递增。

由于，恒成立，

恒成立。

构造函数。

则求导可得，

当时，恒成立。

所以在上单调递增，

。

所以。

【解析】利用导数即可求出单调区间；
分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可；