2022年中考数学复习：锐角三角函数专题练习（Word版，附答案解析）

这是一份2022年中考数学复习：锐角三角函数专题练习（Word版，附答案解析），共44页。
2022年中考数学复习（选择题）：锐角三角函数（10题）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（　　）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）

A．188m B．269m C．286m D．312m
2．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（　　）

A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
3．（2021•甘肃模拟）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，则tanB的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（2021•南岗区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝，tanC＝2，则AB的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．（2021•泗水县二模）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB′＝2m，则cosβ＝（　　）

A． B． C． D．
6．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
7．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）

A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
8．（2021•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
9．（2021•温州校级模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）m．

A．+2sinα B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
10．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（　　）

A． B． C． D．
2022年中考数学复习（填空题）：锐角三角函数（10题）
二．填空题（共10小题）
1．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　 　米．
2．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 　 　．

3．（2021•黔东南州模拟）在△ABC中，（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，则△ABC为 　 　三角形．
4．（2021•张家川县模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝　 　．
5．（2021•商河县校级模拟）若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是　 　；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是　 　．
6．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　 　．

7．（2021•荆州模拟）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为 　 　cm． （结果精确到0.1 cm；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）

8．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 　 　米．

9．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　 　海里（结果保留根号）．

10．（2021•荆州模拟）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BE＝0.7米，BE平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长是 　 　米．（结果保留根号）

2022年中考数学复习（解答题）：锐角三角函数（10题）
三．解答题（共10小题）
1．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

2．（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）
（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）

3．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．

4．（2021•青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）

5．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

6．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

7．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

8．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）

9．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62

10．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）


2022年中考数学复习（选择题）：锐角三角函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（　　）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）

A．188m B．269m C．286m D．312m
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：解直角三角形及其应用；推理能力．
分析：首先分析：图形：根据题意得两个直角三角形△AON、△BOM，通过解这两个直角三角形求得OB、ON的长度，进而可解即可求出答案．
解答：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7m，
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．
故选：C．
点评：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
2．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（　　）

A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
考点：计算器—数的开方；计算器—三角函数．
专题：实数；运算能力．
分析：分别计算出m，n，k的值即可得出答案．
解答：m＝23﹣＝8﹣4＝4；
n＝﹣22＝4﹣4＝0；
k＝﹣cos60°＝﹣＝4；
∴m＝k，
故选：C．
点评：本题考查了计算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．
3．（2021•甘肃模拟）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，则tanB的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
考点：解直角三角形．
专题：解直角三角形及其应用；应用意识．
分析：设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．
解答：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，
∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴tanB＝＝＝2．
故选：A．

点评：本题主要考查了解直角三角形，根据题意，运用勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形是解题的关键．
4．（2021•南岗区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝，tanC＝2，则AB的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
考点：解直角三角形．
专题：解直角三角形及其应用；应用意识．
分析：由tanC＝＝2，可设BC＝x，则AB＝2x，根据勾股定理列出方程x2+（2x）2＝（）2，求出x即可．
解答：在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴tanC＝＝2，
∴可设BC＝x，则AB＝2x，
∵BC2+AB2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝（）2，
∴x＝1，
∴AB＝2．
故选：B．
点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，设BC＝x，根据正切函数定义表示出AB＝2x，并且根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
5．（2021•泗水县二模）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB′＝2m，则cosβ＝（　　）

A． B． C． D．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：解直角三角形及其应用；应用意识．
分析：在Rt△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，根据勾股定理求出AB＝5xm，那么A′B′＝AB＝5xm．在Rt△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣2）2+（3x+2）2＝（5x）2，求出x＝2，然后利用余弦函数的定义即可求解．
解答：如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，
∴可设AC＝4xm，那么BC＝3xm，
∴AB＝＝5xm，
∴A′B′＝AB＝5x（m）．
在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣2）m，B′C＝（3x+2）m，
∴（4x﹣2）2+（3x+2）2＝（5x）2，
解得：x＝2，
∴A′C＝6m，B′C＝8m，A′B′＝10m，
∴cosβ＝＝．
故选：A．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，锐角三角函数定义，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．
6．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．

A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：解直角三角形及其应用；应用意识．
分析：根据正弦的定义求出BD，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
解答：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，
则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），
在Rt△BCD中，∠C＝30°，
∴BC＝2BD＝6（米），
则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），
故选：D．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）

A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
分析：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，得到DH＝BF，BH＝DF，设DF＝xm，CF＝xm，根据勾股定理得到CD＝＝2x＝20（m），求得BH＝DF＝10m，CF＝10m，AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），于是得到结论．
解答：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20m，
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
故选：A．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．（2021•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
分析：作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD∥EF，根据水平线与地面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
解答：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．
∵EF⊥平面镜，
∴CD∥EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，

根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
点评：本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
9．（2021•温州校级模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）m．

A．+2sinα B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
分析：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，由锐角三角函数定义分别求出BG、EH，即可求解．
解答：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示：
则四边形BHNG是矩形，
∴HN＝BG，
在Rt△ABG中，∠BAG＝α，sin∠BAG＝，
∴BG＝AB•sin∠BAG＝2sinα（m），
∴HN＝2sinα（m），
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠MAN＝α，
在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1m，
∵oos∠BEM＝，
∴EH＝BE•cos∠BEM＝1×cosα＝cosα（m），
∴EN＝EH+HN＝（cosα+2sinα）m，
即木箱端点E距地面AC的高度为（cosα+2sinα）m，
故选：C．

点评：本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（　　）

A． B． C． D．
考点：三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形．
专题：图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
分析：根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BE＝AB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
解答：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．

点评：本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
2022年中考数学复习（填空题）：锐角三角函数（10题）
参考答案与试题解析
二．填空题（共10小题）
1．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　10　米．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：解直角三角形及其应用；应用意识．
分析：设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解答：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故答案为：10．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
2．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 　　．

考点：锐角三角函数的定义．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力．
分析：根据在直角三角形中sinB＝，代值计算即可得出答案．
解答：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，
∴sinB＝＝．
故答案为：．
点评：此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，正弦＝是解题的关键．
3．（2021•黔东南州模拟）在△ABC中，（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，则△ABC为 　直角　三角形．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；特殊角的三角函数值．
专题：实数；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
分析：根据非负数的性质和特殊锐角三角函数值可求出∠A、∠B的度数，进而判断三角形的形状．
解答：∵（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，
∴tanA﹣3＝0，2cosB﹣＝0，
即tanA＝，cosB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：直角．
点评：本题考查非负数的性质、特殊锐角三角函数值以及三角形的内角和，求出∠A、∠B的大小是正确判断的关键．
4．（2021•张家川县模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝　　．
考点：互余两角三角函数的关系．
分析：先根据题意设出直角三角形的两直角边，再根据勾股定理求出其斜边，运用三角函数的定义求解．
解答：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设BC＝x，则AC＝2x，
∴AB＝＝x．
∴sinB＝＝．
点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．（2021•商河县校级模拟）若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是　0＜m＜　；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是　sin41°、cos46°、cos37°、cos21°　．
考点：锐角三角函数的增减性．
分析：根据锐角的正弦函数的取值范围，易得0＜1﹣3m＜1，求解；
由一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，可得sin41°＝cos49°，进而由余弦函数随角增大而减小，比较角的大小，可得答案．
解答：α是锐角，且sinα＝1﹣3m，
则有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜；
∵sin41°＝cos49°，
根据余弦函数随角增大而减小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
点评：解决此类问题，关键是熟记并灵活运用特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性．
6．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　（4，）　．

考点：解直角三角形；坐标与图形性质．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力．
分析：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．
解答：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．

∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC＝，OB＝1，
∴BC＝＝2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝＝2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，
∴AG＝，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
点评：此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG的长是解决此题关键．
7．（2021•荆州模拟）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为 　131.6　cm． （结果精确到0.1 cm；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）

考点：解直角三角形的应用．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力．
分析：利用等腰三角形的两个底角相等先求出∠B的度数，进而求出∠BDE＝20°，然后在Rt△BDE中，利用20°的余弦值进行计算即可解答：．
解答：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣∠B＝＝20°，
在Rt△BDE中，BD＝140cm，
∴DE＝BDcos20°≈140×0.94＝131.6（cm），
∴点D离地面的高度DE为：131.6cm，
故答案为：131.6．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．
8．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 　20　米．

考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：解直角三角形及其应用；推理能力．
分析：由三角函数的定义求出OA和OB的长，即可得出答案．
解答：在Rt△APO中，OP＝15米，∠APO＝30°，
∴OA＝OP•tan30°＝（米），
在Rt△POB中，OP＝15米，∠OPB＝60°，
∴OB＝（米），
∴AB＝OA+OB＝20（米），
故答案为：20．
点评：本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
9．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　25　海里（结果保留根号）．

考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
分析：过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt△BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．
解答：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出PC的长是解题的关键．
10．（2021•荆州模拟）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BE＝0.7米，BE平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长是 　（5.6﹣3.7）　米．（结果保留根号）

考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：解直角三角形及其应用；应用意识．
分析：把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AG＝EH即为AC长度．
解答：过点B作BG⊥AC于点G，延长DE交CA于点H，得Rt△ABG和矩形BGHG．
∵i＝＝，AB＝5米，
∴BG＝4米，AG＝3米．
∵DE＝1.6米，BE＝0.7米，
∴DH＝DE+EH＝1.6+4＝5.6（米），
AH＝AG+GH＝3+0.7＝3.7（米）．
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝5.6米，tan30°＝＝，
∴CH＝5.6米．
又∵CH＝CA+3.7，
即5.6＝CA+3.7，
∴CA＝（5.6﹣3.7）（米）．
答：CA的长约是（5.6﹣3.7）米，
故答案为：（5.6﹣3.7）．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2022年中考数学复习（解答题）：锐角三角函数（10题）
参考答案与试题解析
三．解答题（共10小题）
1．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

考点：解直角三角形的应用．
专题：解直角三角形及其应用；推理能力．
分析：解直角三角形求出BC，BD，根据CD＝BC﹣BD求解即可．
解答：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴1.60＝，
∴BD＝32（米），
在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，
∴1.33＝，
∴BC＝26.6（米），
∴CD＝BD﹣BC＝5.4（米）．
答：避雷针DC的长度为5.4米．
点评：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）
（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）

考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力．
分析：根据斜坡AC的坡度i＝，可设AB＝5x米，BC＝6x米，继而表示出BD的长度，再由tan30.96°≈0.60，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
解答：∵斜坡AC的坡度i＝，
∴AB：BC＝5：6，
故可设AB＝5x米，BC＝6x米，
在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，
∴tan30.96°＝＝0.60，
解得：x＝60（米），
经检验，x＝60是方程的解，
∴5x＝300（米），
答：该岛礁的高AB为300米．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答：本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义，表示相关线段的长度．
3．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．

考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：解直角三角形及其应用；应用意识．
分析：（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
解答：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
4．（2021•青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）

考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
分析：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC＝AM，AN＝MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
解答：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，如图所示：
则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大楼BC的高度约为96米．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答：此题的关键．
5．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
分析：过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．
解答：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝，
即＝，
解得：AH＝（8+4）m，
∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，
即这棵古树的高AB为（9+4）m．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
6．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
分析：过A作AC⊥MN于C，zm△EFN∽△ABN，得AB＝3EF＝18（m），则CN＝18m，再由锐角三角函数定义求出AC≈30（m），然后在Rt△ACM中，由锐角三角函数定义求出AM的长即可．
解答：过A作AC⊥MN于C，如图所示：
则CN＝AB，AC＝BN，
∵＝，
∴＝，
由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，
∴AB∥EF，
∴△EFN∽△ABN，
∴＝＝，
∴AB＝3EF＝18（m），
∴CN＝18m，
在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，
∴AC≈CN＝×18＝30（m），
在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，
∴AM＝AC＝×30≈38（m），
即无人机飞行的距离AM约是38m．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFN∽△ABN是解题的关键．
7．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
分析：先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
解答：∵山坡BM的坡度i＝1：3，
∴i＝1：3＝tanM，
∵BC∥MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和坡度坡角定义，求出BC的长是解题的关键．
8．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）

考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力．
分析：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD＝≈xm，根据题意得到2（x+150）＝+150，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
解答：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵BC⊥AB，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，
设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴AD＝2DE＝2（x+150）m，
在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，
∴CD＝≈＝xm，
∵AD＝CD+BC，
∴2（x+150）＝+150，
解得x＝250（m），
∴DF＝250 m，
∴DE＝250+150＝400 m，
∴AD＝2DE＝800 m，
∴CD＝800﹣150＝650 m，
由勾股定理得AE＝＝＝400 m，
BE＝CF＝＝＝600 m，
∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），
答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．
9．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62

考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
专题：等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
分析：（1）在Rt△ADF中，由锐角三角函数定义求出AF的长，再在Rt△AEF中，由锐角三角函数定义求出AE的长即可；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，由锐角三角函数定义求出DF、FG的长，得出AG的长，再由锐角三角函数定义求出AN的长，然后证△AMN为等腰直角三角形，得AM＝AN≈123.1（cm），由EM＝AM﹣AE，即可得出答案．
解答：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，
∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），
在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，
∴AE＝＝＝≈91（cm）；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：
∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，
在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），
在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，
∴tan32°＝，
∴FG＝＝≈75.8（cm），
∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），
在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），
∵∠AMN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），
∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31.4（cm），
当M、H重合时，EH的值最小，
∴EH的最小值约为32cm．

点评：本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，求出AE、AM的长是解题的关键．
10．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
专题：解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
分析：（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；
（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．
解答：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．

点评：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．