2022年中考数学复习：三角形专题练习（Word版，附答案解析）

这是一份2022年中考数学复习：三角形专题练习（Word版，附答案解析），共57页。试卷主要包含了去最省事等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习（选择题）：三角形（10题）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
2．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
4．（2021•烟台）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（　　）

A． B． C． D．
5．（2021•下城区校级四模）若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（　　）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
6．（2021•滨州）在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4
8．（2021•西乡塘区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　）

A．8° B．10° C．15° D．20°
9．（2021•东胜区一模）如图，已知钝角△ABC中，∠B＝30°且AB＞AC．（1）以C为圆心，CA长为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交BC的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（　　）

A．△ABE是等边三角形 B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AD D．BD垂直平分AE
10．（2021•黄石模拟）如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC得中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF，下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确结论的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
2022年中考数学复习（填空题）：三角形（10题）
二．填空题（共10小题）
1．（2021•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　 　．

2．（2021•安徽模拟）如图，AD，BE，CF是△ABC三边的中线，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是 　 　．

3．（2021•海陵区校级二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是 　 　．

4．（2021•康巴什校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是 　 　．

5．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 　 　．

6．（2021•德州）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　 　．

7．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　 　．

8．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 　 　．

9．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 　 　．
10．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　 　．
2022年中考数学复习（解答题）：三角形（10题）
三．解答题（共10小题）
1．（2021•云南模拟）如图，已知点B是线段AD上的一点，EB⊥AD于点B，AF⊥DE于点F，AF交EB于点C，且BC＝BD．
（1）求证：△ABC≌△EBD；
（2）若BC＝3，BE＝5，求线段AD的长．

2．（2021•新昌县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点G为BD上一点．连接CG并延长与AB相交于点F，连接EG．已知∠1＝∠2．
（1）若BD平分∠ABC，求证：△DBC≌△DBE．
（2）若BD＝4，求CG的长．
（3）若∠EGF＝80°，求∠A的度数．

3．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

4．（2021•五华区二模）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．

5．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．

6．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

7．（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　 　；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．

8．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

9．（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　 　．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
10．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？


2022年中考数学复习（选择题）：三角形（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
考点：全等三角形的应用．
专题：图形的全等；推理能力．
分析：根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
解答：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
点评：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
考点：线段垂直平分线的性质．
专题：三角形；推理能力．
分析：根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
解答：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
点评：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
3．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
考点：平行线的性质；等边三角形的性质．
专题：等腰三角形与直角三角形；推理能力．
分析：根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由△ACE为等边三角形得∠ECA＝∠EAC＝60°，即可得出∠EAB的度数．
解答：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
点评：本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出∠ECA＝∠EAC＝60°是解题的关键．
4．（2021•烟台）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（　　）

A． B． C． D．
考点：规律型：图形的变化类；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：三角形；运算能力．
分析：由∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OG的长．
解答：由图可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，
∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCD＝…＝∠OLM＝60°，
∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，
同理可得，OC＝OB＝（）2OA，
OD＝OC＝（）3OA，
…
OG＝OF＝（）6OA＝（）6×16＝．
故选：A．
点评：本题主要考查含30°角的直角三角形的三边关系，属于基础题，掌握含30°角的直角三角形的三边关系是解题基础．
5．（2021•下城区校级四模）若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（　　）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．
专题：三角形；推理能力．
分析：根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算即可．
解答：∵三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，
∴△ABC的一个外角等于其中一个内角时，这个外角等于它的邻补角，
∴这个三角形必有一个内角等于90°，
故选：D．
点评：本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
6．（2021•滨州）在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
分析：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接DF，EN，通过SAS定理证明△MDF≌△FEN判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④．
解答：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM＝，EF＝，EF∥AB，∠MDB＝90°，
∴DM＝EF，∠FEC＝∠BAC，故结论①正确；
连接DF，EN，

∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN＝，DF＝，DF∥AC，∠NEC＝90°，
∴EN＝DF，∠BDF＝∠BAC，∠BDF＝∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB＝∠FEC+∠NEC，
∴∠MDF＝∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
∴△MDF≌△FEN（SAS），
∴∠DMF＝∠EFN，故结论②正确；
∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠DFE＝∠BAC，
又∵△MDF≌△FEN，
∴∠DFM＝∠ENF，
∴∠EFN+∠DFM＝∠EFN+∠ENF＝180°﹣∠FEN＝180°﹣（∠FEC+∠NEC）＝180°﹣（∠BAC+90°）＝90°﹣∠BAC，
∴∠MFN＝∠DFE+∠EFN+∠DFM＝∠BAC+90°﹣∠BAC＝90°，
∴MF⊥FN，故结论③正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴S△CEF＝S四边形ABFE，故结论④错误，
∴正确的结论为①②③，共3个，
故选：B．
点评：本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
7．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4
考点：等腰三角形的性质；作图—基本作图．
专题：等腰三角形与直角三角形；尺规作图；推理能力．
分析：由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．
解答：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BC＝BF＝CF，
∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，
故选：C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF＝BC＝BF＝CF是解题的关键．
8．（2021•西乡塘区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　）

A．8° B．10° C．15° D．20°
考点：线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
专题：线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
分析：根据线段垂直平分线的性质得到∠BDE＝90°，AD＝BD，根据三角形的内角和定理得到∠DEB＝50°，根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AB，求得∠DCE＝∠B＝40°，于是得到∠CDE＝∠DEB﹣∠DCE＝10°．
解答：由题意可知：MN为AB的垂直平分线，
∴∠BDE＝90°，AD＝BD，
∵∠B＝40°，
∴∠DEB＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AB，
∴∠DCE＝∠B＝40°，
∴∠CDE＝∠DEB﹣∠DCE＝10°，
故选：B．
点评：此题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．（2021•东胜区一模）如图，已知钝角△ABC中，∠B＝30°且AB＞AC．（1）以C为圆心，CA长为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交BC的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（　　）

A．△ABE是等边三角形 B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AD D．BD垂直平分AE
考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
专题：三角形；图形的全等；推理能力．
分析：根据全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形的面积、线段垂直平分线、等边三角形的判定解决此题．
解答：A．由题意得：AC＝CE，AB＝BE．
在△ABC和△BEC中，
，
∴△ABC≌△BEC（SSS）．
∴∠ABC＝∠EBC＝30°．
∴∠AEB＝∠ABC+∠EBC＝60°．
∵AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
故A正确．
B．由A中得∠ABC＝∠EBC，那么AC平分∠BAD，无法证得AC平分∠BAD，故B不一定正确．
C．在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS）．
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB．
∵∠ADB+∠EDB＝180°，
∴∠ADB＝∠EDB＝90°．
∴．
故C正确．
D．以上得AD＝ED，∠ADB＝∠EDB＝90°．
∴BD垂直平分AE．
故D正确．
故选：B．
点评：本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形的面积、线段垂直平分线、等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形的面积、线段垂直平分线、等边三角形的判定是解决本题的关键．
10．（2021•黄石模拟）如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC得中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF，下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确结论的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
考点：三角形综合题．
专题：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
分析：由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可得EM＝DN＝AB，故①正确；通过证明△CDN∽△CBA，可得S△ABC＝4S△CDN，可求S△CND＝S四边形ABDN，故②正确；由“SAS”可证△EDM≌△DFN，可得DE＝DF，故③正确；由平行线的性质和三角形内角和定理可得∠EDF＝∠ANF＝90°，可证ED⊥FD，故④正确；即可求解．
解答：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴AM＝BM＝EM＝AB，EM⊥AB，
∵点D是BC的中点，点N是AC的中点，
∴ND∥AB，DN＝AB，
∴EM＝DN，故①正确；
∵DN∥AB，
∴△CDN∽△CBA，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△CDN，
∴S四边形ABDN＝3S△CDN，
∴S△CND＝S四边形ABDN，故②正确；
如图，连接DN，DM，

∵△AEC是等腰直角三角形，点N是AC的中点，
∴AN＝FN＝AB，FN⊥AC，
∵点D是BC的中点，AM＝BM，
∴DM∥AC，
∴四边形ANDM是平行四边形，
∴AM＝DN＝EM，AN＝DM＝FN，∠AMD＝∠AND，
∴∠EMD＝∠FND，
∴△EDM≌△DFN（SAS），
∴DE＝DF，∠EDM＝∠DFN，故③正确；
∵DM∥AC，
∴∠EDM+∠EDF+∠NDF+∠AND＝180°，
∵∠DFN+∠FDN+∠DNA+∠ANF＝180°，
∴∠EDF＝∠ANF＝90°，
∴ED⊥FD，故④正确；
故选：D．
点评：本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2022年中考数学复习（填空题）：三角形（10题）
参考答案与试题解析
二．填空题（共10小题）
1．（2021•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　6　．

考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题：等腰三角形与直角三角形；推理能力．
分析：当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
解答：如图，

当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周长为2×3＝6．
故答案为：6．
点评：本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．
2．（2021•安徽模拟）如图，AD，BE，CF是△ABC三边的中线，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是 　4　．

考点：三角形的面积．
专题：三角形；运算能力；推理能力．
分析：根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
解答：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴AE＝CE，AG：GD＝2：1，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为：4．
点评：本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2021•海陵区校级二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是 　（，）　．

考点：坐标与图形性质；三角形的重心．
专题：三角形；推理能力．
分析：取OA的中点D，AB的中点C，BD与OC的交点为P，则P点为△ABO的重心，如图，利用待定系数法求出直线OC的解析式为y＝x，直线BD的解析式为y＝﹣x+，然后解方程组得P点坐标即可．
解答：取OA的中点D，AB的中点C，BD与OC的交点为P，则P点为△ABO的重心，如图，
D（2，3），C（5，4），
设直线OC的解析式为y＝mx，
把C（5，4）代入得5m＝4，解得m＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把B（6，2），D（2，3）代入得，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
解方程组得，
即P点坐标为（，）．
∴△ABO的重心的坐标为（，）．
故答案为：（，）．

点评：本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
4．（2021•康巴什校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是 　6　．

考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题：等腰三角形与直角三角形；推理能力．
分析：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，先判定AG为线段DE的垂直平分线，再判定△BAC≌△BAG'（AAS），然后由全等三角形的性质可得答案．
解答：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，

∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC＝6，
∴线段BG长的最小值是6，
故答案为：6．
点评：本题考查含30度角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出CG的最小值是解本题的关键．
5．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 　2　．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
分析：由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．
解答：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，

∴点P在上运动，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，
∴CO＝4，
∴AO＝2，
在△CPO中，CP≥CO﹣OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值＝4﹣2＝2，
故答案为2．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
6．（2021•德州）如图，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延长线于点J，EK⊥AC交AB延长线于点K，FL⊥AB交BC延长线于点L；直线DJ，EK，FL两两相交得到△GHI，若S△GHI＝3，则AD＝　2　．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题：推理填空题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
分析：首先利用等边三角形和直角三角形的性质分析：得到三个全等的等腰三角形，△JHF≌△GEL≌△IDK，然后设等边△ABC的边长为a，AD＝x，利用含30°的直角三角形的性质分别求得△ABC和△JHF的面积，从而可得3S△JDA＝S△GHI，从而列方程求解．
解答：延长JD交BC于点N，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，
同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，
∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，
∴DK＝EL＝JF，
∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LGE≌△DIK（ASA），
过点A作AT⊥BC，交BC于点T，
设AB＝BC＝AC＝a，

在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，
∴BT＝，AT＝，
∴S△ABC＝，
∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LGE≌△DIK，
∴JF＝EL＝DK＝a，
过点H作HM⊥AC，交AC于点M，

∵∠J＝∠JFH＝30°，
∴JH＝FH，
∴JM＝，
在Rt△JHM中，HM＝，
∴S△JHF＝，
∴S△JHF+S△LJE+S△DIK＝3S△JHF＝3×＝S△ABC，
∴S△JDA+S△FCL+S△BEK＝3S△JDA＝S△GHI，
过点A作AP⊥DJ，交DJ于点P，

设AD＝x，
在Rt△APD中，∠ADP＝30°，
∴AP＝，DP＝，
∴JD＝2DP＝，
∴3S△JDA＝3×，
∴，
解得：x＝±2（负值舍去），
即AD的值为2，
故答案为：2．
点评：本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质，正确添加辅助线，以证明△JDA≌△LFC≌△KEB，△JHF≌△LGE≌△DIK为突破口，从而利用等积变换的思想得到3S△JDA＝S△GHI是解题关键．
7．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　8　．

考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．
专题：等腰三角形与直角三角形；推理能力．
分析：根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出△CEF的周长．
解答：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，
∴∠BEA＝90°，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝7，
∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，
又∵AC＝5，
在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，
解得：CE＝3，
又∵点F是AC的中点，
∴，
∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．
故答案为：8．
点评：此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
8．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为 　　．

考点：线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．
专题：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
分析：根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答：本题．
解答：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，如图所示，
则∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP＝PP′，
∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，
∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB•cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝，
∴CB′＝＝＝，
故答案为：．

点评：本题考查全等三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答：本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
9．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 　2或或2　．
考点：含30度角的直角三角形．
专题：几何综合题；数形结合；解直角三角形及其应用；几何直观．
分析：分∠ABC＝60、∠ABC＝30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
解答：（1）当∠ABC＝60°时，则BC＝AB＝2，
当点P在线段AB上时，

∵∠PCB＝30°，
∴CP⊥AB，
则PC＝BCcos30°＝2×＝；
当点P（P′）在AB的延长线上时，
∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，
∴P'C＝2PC＝2．
（2）当∠ABC＝30°时，如图，

∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△PAC为等边三角形．
∴PC＝AC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2．
∴PC＝2．
综上，PC的长为：2或或2．
故答案为2或或2．
点评：本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．
10．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　2±2或4或2　．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：作图题；推理能力．
分析：分C，D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．
解答：如图，当C，D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝2，
∵AD＝AC＝2，
∴DE＝＝2，EC＝＝2，
∴DE＝EC＝AE，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD＝4，
当C，D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，
∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，
∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，
在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，
∵△DBD′是等边三角形，
∴DD′＝2+2，
∴CD的长为2±2或4或2．
故答案为：2±2或4或2．
点评：本题考查直角三角形30°角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
2022年中考数学复习（解答题）：三角形（10题）
参考答案与试题解析
三．解答题（共10小题）
1．（2021•云南模拟）如图，已知点B是线段AD上的一点，EB⊥AD于点B，AF⊥DE于点F，AF交EB于点C，且BC＝BD．
（1）求证：△ABC≌△EBD；
（2）若BC＝3，BE＝5，求线段AD的长．

考点：全等三角形的判定与性质．
专题：图形的全等；推理能力．
分析：（1）证出∠A＝∠E，根据AAS可证明△ABC≌△EBD；
（2）由全等三角形的性质可得出AB＝BE，可求出AB，BD的长，则可得出答案．
解答：（1）证明：∵EB⊥AD，
∴∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠D+∠E＝90°，
∵FA⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（AAS）；
（2）∵△ABC≌△EBD，
∴AB＝BE，
∵BE＝5，
∴AB＝5，
∵BC＝BD，BC＝3，
∴BD＝3，
∴AD＝AB+BD＝8．
点评：本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△ABC≌△EBD．
2．（2021•新昌县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点G为BD上一点．连接CG并延长与AB相交于点F，连接EG．已知∠1＝∠2．
（1）若BD平分∠ABC，求证：△DBC≌△DBE．
（2）若BD＝4，求CG的长．
（3）若∠EGF＝80°，求∠A的度数．

考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
分析：（1）利用角平分线的定义及AAS定理证明三角形全等；
（2）根据等腰三角形的判定与性质及直角三角形的性质求解即可；
（3）利用圆周角定理求解即可．
解答：（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEB＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△DBC和△DBE中，
，
∴△DBC≌△DBE（AAS）；
（2）∵∠DEB＝90°，
∴∠DBE+∠1＝90°，∠2+∠BEG＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠DBE＝∠BEG，
∴EG＝BG，
∵∠1＝∠2，
∴DG＝EG，
∴DG＝BG，
在Rt△DBC中，∠DCB＝90°，BD＝4，
∴CG＝BD＝2；
（3）∵DG＝EG＝BG＝CG，
∴点C，D，E，B在以G为圆心，DG为半径的圆上，
∵∠EGF＝80°，
∴∠ABC＝∠EGC＝（180°﹣∠EGF）＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝40°．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理是解题的关键．
3．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为点D，E，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）设BD，CE相交于点O，∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

考点：全等三角形的判定与性质．
专题：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
分析：（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．
解答：（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝140°，
∴∠OBC＝20°．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2021•五华区二模）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均为点C，且AC＝BC，EC＝DC．求证：AE＝BD．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题：图形的全等；推理能力．
分析：证明△ACE≌△BCD即可得出AE＝BD．
解答：证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的条件是解决问题的关键．
5．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．
专题：三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
分析：（1）连接EC，根据题意易推出∠BAD＝∠CAE，从而证明△BAD≌△CAE，得到AF∥CE，再利用平行线分线段成比例的性质求解即可．
（2）作相关辅助线构造直角三角形△DGM和△CGN，先由角之间的互余关系推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据等角的正弦值相等得出边之间的关系DM＝CN，从而证明△DGM≌△CGN，利用全等三角形的性质求解即可．
解答：（1）证明：如图，

连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，
∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，则CE⊥BD，
∵AF⊥BD，
∴AF∥CE，BF＝FC，
∴＝＝1，
∴BG＝EG．
（2）如图，

过点D作DM⊥AG，垂足为点M，过点C作CN⊥AG，交AG的延长线于点N，
在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，
设AE＝a，AB＝b，则AD＝a，AC＝b，
∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴sin∠1＝sin∠2，
∴＝，即＝＝＝，
同理可证∠3＝∠4，＝＝，
∴＝，
∴DM＝CN，
在△DGM和△CGN中，有：
，
∴△DGM≌△CGN（AAS），
∴DG＝CG，
∴＝1．
点评：本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及含30度角的直角三角形，可以从目标线段出发去作辅助线，通过辅助线构造直角三角形或全等三角形，利用其性质进行求解．
6．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

考点：全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力；应用意识．
分析：（1）作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，然后即可得得到四边形DEBG的形状，再根据题目中的条件，可以证明△ADE和△CDG全等，然后即可得到结论成立；
（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到EF的长，然后根据DE的长，即可得到DF的长．
解答：（1）证明：作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，如右图所示，
∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，
∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，
∴四边形DEBG是矩形，
又∵DE＝BE，
∴四边形DEBG是正方形，
∴DG＝BE，∠EDG＝90°，
∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DA＝DC；
（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，
∴AE＝3，DE＝＝＝3，
由（1）知，△ADE≌△CDG，四边形DEBG是正方形，
∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，
∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AB＝AE+BE＝3+3，
∵FE⊥AB，BC⊥AB，
∴FE∥CB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得EF＝6﹣3，
∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，
即DF的长是6﹣6．

点评：本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答：本题的关键是证明△ADE和△CDG全等和求出EF的长，利用数形结合的思想解答：．
7．（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　BE＝AD　；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．

考点：三角形综合题．
专题：三角形；运算能力；推理能力．
分析：（1）①根据题意当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出BE＝AD；
②通过SAS求证△ACD≌△BCE，即可找到线段BE与AD的数量关系；
（2）①根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证△DCA∽△ECB即可找到线段BE与AD的数量关系；
②分两种情形：当点D在△ABC外部，根据已知条件，利用两角对应相等求证△EFB∽△CFA，再利用相似比结合勾股定理即可算出EF的长，进而表示出EC的长即可求出DC的长．当点D在△ABC内部时，当点D在△ABC内部时，过点DH⊥AC于点H，根据已知条件得出DH和CH，在△CDH中，根据勾股定理求出CD的值，综上可得结论．
解答：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝DC，
又∵BE＝BC﹣EC，
AD＝AC﹣DC，
∴BE＝AD，
故答案为：BE＝AD；
②BE＝AD，理由如下：
当点D不在AC上时，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）①BE＝AD，理由如下：
当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，
在等腰直角三角形ABC中：＝，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA∽△ECB，
∴，
∴BE＝，
②DC＝5或，理由如下：
当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：

∵AB＝3，AD＝1
由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，
又∵BE∥AC，
∴∠EBF＝∠CAF＝90°，
而∠EFB＝∠CFA，
∴△EFB∽△CFA，
∴＝＝，
∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，
∴BF＝＝，
在Rt△EBF中：EF＝＝＝，
又∵CF＝3EF＝3×＝，
∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5），
在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cos45°＝5×＝5．
当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H

∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45°
∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝，
∴CD＝＝＝，
综上所述，满足条件的CD的值为5或．
点评：本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键．
8．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

考点：三角形综合题．
专题：几何综合题；推理能力．
分析：（1）连接AD，证明△ADF≌△CDE（SAS），可得AF＝CE．
（2）结论：CE2+BF2＝BC2，利用全等三角形的性质证明BF＝AE，再证明∠AEC＝90°，可得结论．
（3）设EH＝m．证明△ADH∽△CEH，可得＝＝＝＝2，推出DH＝2m，推出AD＝CD＝2m+2，EC＝m+1，在Rt△CEH中，根据CH2＝EH2+CE2，构建方程求出m即可解决问题．
解答：（1）证明：连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，
AD＝DB＝DC．
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∵DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE．

（2）结论：CE2+BF2＝BC2．
理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，
∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，
∴∠BAF＝∠ACE，
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE（SAS），
∴BF＝AE，
∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴BF2+CE2＝BC2．

（3）设EH＝m．
∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，
∴△ADH∽△CEH，
∴＝＝＝＝2，
∴DH＝2m，
∴AD＝CD＝2m+2，
∴EC＝m+1，
在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，
∴22＝m2+（m+1）2，
∴2m2+2m﹣3＝0，
∴m＝或（舍弃），
∴AE＝AH+EH＝，
∴AD＝1+，
∴AC＝AD＝+．

点评：本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF≌△CDE，△BAF≌△ACE，△ADH∽△CEH．
9．（2021•淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　AE＝AD　．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
考点：三角形综合题．
专题：几何综合题；三角形；推理能力．
分析：【简单应用】证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
【拓展延伸】①结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
解答：【简单应用】如图（1）中，结论：AE＝AD．

理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．

【拓展延伸】①结论：AE＝AD．

理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．

②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．

理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣α）＝m•cos（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣α）．
点评：本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
10．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

考点：三角形综合题．
专题：几何综合题；推理能力；应用意识．
分析：（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC；
（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG＝∠AEH＝45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，ii）如图4，当AG＝QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
解答：（1）证明：如图1，

由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，

∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，

∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
点评：本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．