数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直图文课件ppt

这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直图文课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了线面垂直，点到平面的距离，直线到平面的距离，平面与平面的距离等内容，欢迎下载使用。
1、直线与平面垂直的定义
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．
2、直线与平面垂直的判定
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
关键：线不在多，相交则灵.
与地面垂直的旗杆，它们有什么关系？
问题：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线，这个问题能够转化为 ？
1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学叙述一下．
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
2.请将上述命题用数学符号表示出来.
若a∥b，a⊥α，则b⊥α．
这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理.现在请同学们交换这个定理的题设和结论,写出新的命题.
若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
下面就让我们看看这个命题是否正确？
请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．
我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．
否定结论→推出矛盾→肯定结论
分析：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1，在这个例题的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．层层推进，得出证明过程如下:
证明：假定b与a不平行设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．所以,经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α。显然这是不可能的．因此，a∥b．
垂直于同一个平面的两条直线平行．
指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。
直线和平面垂直的性质定理:
证明空间直线和直线平行
揭示了“平行”与“垂直”的内在联系
交换“平行”与“垂直”
线面垂直性质定理深化探究
结论：垂直于平面的直线，也垂直于和这个平面平行的直线.
(2):设l为直线，α，β为平面，若l⊥α，α//β，则l与β的位置关系如何？为什么？
结论：两个平行平面中的一个垂直于一条直线，则另一个平面也垂直于这条直线.
（4）:设l为直线，α、β为平面，若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位置关系如何？为什么？
结论：垂直于同一条直线的两个平面平行
1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
2. 已知直线 a, b 和平面 a, 且 a⊥b, a⊥a, 则 b 与 a 的位置关系是 .
分析:借助正方体模型.
例1：如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
分析连接AB1与CB1,证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.
证明:连接AB1,B1C,BD,如图.
∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C,∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.
线面垂直性质定理的应用
本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据.
在空间证明线线平行的方法有:（1）定义法（2）基本事实4（3）线面平行的性质定理（4）面面平行的性质定理（5）线面垂直的性质定理.（6）初中所学(三角形中位线,平行四边形对边等)
直线与平面垂直的其他性质:(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线;(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面;(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面α、β，α∩β＝c，求证：AB∥c.
【分析】由题目可获取以下主要信息：①AB⊥a,AB⊥b,a、b异面；②a⊥α,b⊥β.解答本题可先利用线⊥面的性质得线⊥线，再证平行．
例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面α、β，α∩β＝c，求证：AB∥c.
【证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为AB⊥a ，a′∥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b, a′∩b＝B, 所以AB⊥γ.因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c①因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
练习：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．
【证明】 (1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
【分析】要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.
如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D点的位置．
解：∵VC⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴VC⊥AC，又∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，而BC∩VC＝C，∴AC⊥平面VBC，若DE⊥平面VBC，则由线面垂直的性质定理可知，DE∥AC，又∵点E是VC的中点，∴DE是△VAC的中位线，∴D是VA的中点．
练习：如图，已知 ∩β=l，CA⊥ 于点A，CB⊥β于点B, 求证：a∥l.
[分析]　证明MN∥AD1，转化为证明AD1⊥平面A1DC，MN⊥平面A1DC．[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
变式训练 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1；
过平面外一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思考：如果两个平面平行,在其中一个平面内任取几个点,这些点到另一个平面的距离相等吗?
棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行平面之间的距离.
[解]连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形所以SA⊥AC，BC⊥AC.取AB、AC的中点E、F，连接PF，EF，PE则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.
又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
方法提升：求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．
反思感悟 距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思想.两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化为求点到平面的距离来解决.
求点到平面的距离一般有两种方法:
(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.
解：因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离
设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1­A1BC＝VA1­BB1C