数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品教学设计

导入新课

旧知导入：

思考1：你还记得平面向量基本定理吗？

平面向量基本定理：

学生思考问题，引出本节新课内容。

 设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。

讲授新课

知识探究（一）：平面向量的正交分解

思考2：若两个基底向量垂直，你能得到什么结论？
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。

举例：如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解。

显然，在平面上，选取互相垂直的向量作为基底向量互相垂直的两个方向分解就是正交分解。
知识探究（二）：向量的坐标表示
思考1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？

知识探究（三）：向量的坐标与点的坐标之间的联系
思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间有什么联系？

例题讲解
例1：

变式训练

已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，(1)求向量的坐标；

(2)若B(，－1)，求的坐标．

解：(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，

即A(2，6)，所以＝(2，6)．

(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．

知识探究（四）：平面向量加、减运算的坐标表示
思考1：

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。

相等向量对应坐标相等。

相等向量对应坐标互为相反数。
例题讲解
例2：

知识探究（五）：任一向量的坐标与点的坐标的关系

思考1：

由此可得： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
例题讲解
例3：

综合训练

已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

解：(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)

＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.

若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.

若点P在第二象限，则

所以－＜t＜－.

(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，

则＝，所以该方程组无解．

故四边形OABP不能为平行四边形．

知识探究（六）：平面向量数乘运算的坐标表示
思考1：

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标。
例题讲解
例4：

思考2：如何用坐标表示两个向量共线的条件？

例题讲解
例5：

变式训练

已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

解：因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，

＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，

因为2×6－3×4＝0，

所以∥，所以与共线．

又＝，所以与的方向相同．

例6：

变式训练

设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．

因为A，B，C三点共线，即与共线，

所以存在实数λ(λ∈R)，使得＝λ.

因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，

所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，

即解得k＝－2或k＝11.

所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．

知识扩充

例7：

思考：

变式训练

已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．

解　(1)设B(x1，y1)，因为＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，

所以所以所以B(3,1)．

同理，可得D(－4，－3)，

设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1.所以M.

(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，

＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，

又＝λ(λ∈R)，

所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．

所以所以

知识探究（七）：向量数量积运算的坐标表示
思考1：

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
由此可得：

小试牛刀

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　×　)

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　√　)

(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　×　)

2.若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为__-6___．

3.已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝_2__.

例题讲解
例8：

变式训练

设O＝(2，－1)，O＝(3,1)，O＝(m,3)．若A⊥B，求实数m的值．

解：A＝O－O＝(1,2)，B＝O－O＝(m－3,2)．

因为A⊥B，所以A·B＝0，

即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1.

例9：

变式训练

已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．

(1)求a与b夹角的余弦值；

(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

【解】　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，

|a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.

(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，

所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.

例10：

提升训练 

1、

2、ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为(    C    )

A(8,9)    B(5,1)       C(1,5)     D(8,6)
3、

4、

学生根据力的分解探究平面向量的正交分解。

学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量坐标表示及坐标运算。

学生例题，巩固平面向量坐标表示及坐标运算，并能够灵活运用.

学生和教师共同探究完成4个练习题。

利用力的分解探究得出平面向量正交分解,培养学生探索的精神.

通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.

利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。

通过这4个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。

课堂小结

学生回顾本节课知识点，教师补充。

让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。

板书

§6.3.2  平面向量的坐标表示

一、旧知导入 4.加减运算坐标表示  三、课堂小结

二、探索新知5、数乘运算坐标表示 四、作业布置

1.正交分解 6.数量积运算坐标表示

2.坐标表示  例1、2、3、4、5、6

3.向量坐标  、7、8、9、10

与点的坐标  

教学反思