2020年江苏省南京市玄武区中考数学零模试卷【含答案】

这是一份2020年江苏省南京市玄武区中考数学零模试卷【含答案】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学零模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）截止2月28日17时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐赠款逾15.7亿元，将数据15.7亿用科学记数法表示为（　　）
A．15.7×108 B．1.57×109 C．1.57×1010 D．0.157×1011
2．（2分）计算（﹣ab2）3的结果是（　　）
A．ab6 B．﹣ab6 C．a3b6 D．﹣a3b6
3．（2分）不等式3﹣x≤2x的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
5．（2分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B （0，﹣1）、C（﹣1，0）、D （0，1），点P （0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2020的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2020） D．（2020，0）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是　 　．
8．（2分）方程﹣＝0的解为　 　．
9．（2分）分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是　 　．
10．（2分）计算的结果是　 　．
11．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2﹣1，则m＝　 　．
12．（2分）圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为　 　．
13．（2分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AC、BC．若△ABC的面积为2，则k的值为　 　．

14．（2分）如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若AG＝5，BG＝3，则＝　 　．

15．（2分）如图，在菱形ABCD中，以点C为圆心，CB为半径作，与AB、AD分别交于点E、F，点E、F恰好是的三等分点，连接DE，则∠AED＝　 　°．

16．（2分）在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是　 　．
三、解答题（共11题，共88分）
17．（8分）计算：
（1）tan45°﹣﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0；
（2）（m﹣n）（m2+mn+n2）．
18．（7分）先化简，再求值：÷（a+1﹣），其中a＝﹣2．
19．（8分）为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某社区积极响应党的号召，鼓励共产党员踊跃捐款．为了了解该社区共产党员的捐款情况，抽取了部分党员的捐款金额进行统计，数据整理成如图尚不完整的统计表和统计图．

某社区抽样党员捐款金额统计表
组别
捐款金额（元）
人数
A
x≤100
2
B
100＜x≤200
10
C
200＜x≤300

D
300＜x≤400
14
E
x＞400
4
（1）一共抽取了　 　名党员，捐款金额的中位数在　 　中（填组别）；
（2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为　 　°；
（3）该社区共有1000名党员，请估计捐款金额超过300元的党员有多少名？
20．（7分）如图在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF＝CE，求证：△ABE≌△CDF．

21．（8分）如图，A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币．

（1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是　 　；
（2）同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率；
（3）若这枚硬币在A杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置（硬币随A杯一起移动），则经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为　 　．
A.B.C.D.
22．（8分）甲、乙两人从M地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往N地．乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．已知乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙两人离M地的距离（米）与乙行驶的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题．
（1）M、N两地之间的距离为　 　米，甲的速度为　 　米/分钟．
（2）求线段BD所表示的y与x之间的函数表达式．
（3）直接写出当x取何值时，甲、乙两人在到达N地之前相遇．

23．（7分）疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．）

24．（6分）在⊙O中，AB和CD是弦，且AB＝CD，请用无刻度直尺完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在上找一点P，使点P到AB、CD所在直线的距离相等．
（2）如图②，E是⊙O上一点，且BE∥CD，BE＝CD，在上找一点Q，使点Q到AB、CD所在直线的距离是1：2．

25．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣1（m为常数）．
（1）若该函数图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
（2）将该函数图象沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图象．
①则新函数的表达式为　 　，并证明新函数图象始终经过一个定点；
②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若新函数图象与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．
26．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，过点A的直线l与⊙O相交于点C，D是弦CA延长线上一点，∠BAC、∠BAD的角平分线与⊙O分别相交于点E、F，G是的中点，过点G作MN∥AE，与AF、EB的延长线分别交于点M、N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若AE＝24，AM＝18，
①求⊙O的半径；
②连接MC，则tan∠MCD的值为　 　．

27．（10分）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r．
【操作感知】
（1）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；
【初步探究】
（2）求证：CD2+CE2＝4r2；
（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为　 　；
【深入研究】
（4）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为　 　．


2020年江苏省南京市玄武区中考数学零模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）截止2月28日17时，中国红十字会共接收到用于新型冠状病毒肺炎疫情防控的社会捐赠款逾15.7亿元，将数据15.7亿用科学记数法表示为（　　）
A．15.7×108 B．1.57×109 C．1.57×1010 D．0.157×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于15.7亿＝1570000000有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
【解答】解：15.7亿＝1570000000＝1.57×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2．（2分）计算（﹣ab2）3的结果是（　　）
A．ab6 B．﹣ab6 C．a3b6 D．﹣a3b6
【分析】根据积的乘方法则先展开得出（﹣a）3×（b2）3，再求出结果即可．
【解答】解：（﹣ab2）3＝﹣a3b6．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
3．（2分）不等式3﹣x≤2x的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：3﹣x≤2x，
﹣x﹣2x≤﹣3，
﹣3x≤﹣3，
x≥1，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4．（2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．
【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱柱，
故选：B．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
5．（2分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间＝原计划生产450台时间．
【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B （0，﹣1）、C（﹣1，0）、D （0，1），点P （0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2020的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2020） D．（2020，0）
【分析】通过前几个点坐标确定周期，即可判断 P2020在周期内所处位置．
【解答】解：结合图象确定前几个点的坐标为：
P1 （2，﹣2）、P2 （﹣2，0）、P3 （0，0）、P4 （0，2）、P5 （2，﹣2）……
发现周期为 4，
∴2020÷4＝505，
故 P2020是周期内的第四个，
同 P4 坐标．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化寻找规律．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是　x≤2　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：依题意有2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
8．（2分）方程﹣＝0的解为　x＝﹣3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x+3﹣2x＝0，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（2分）分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是　2（x﹣1）2　．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
故答案为：2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（2分）计算的结果是　2　．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
11．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2﹣1，则m＝　﹣1　．
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，代入x1+x2＝x1x2﹣1，即可求出m的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，
∵x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，
∵x1+x2＝x1x2﹣1，
∴﹣2＝m﹣1，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．（2分）圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为　12πcm　．
【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．
【解答】解：∵底面圆的半径为2cm，
∴底面周长为4πcm，
∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，
设扇形的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
∴＝4π，
解得：r＝6，
∴侧面积为×4π×6＝12πcm，
故答案为：12πcm．
【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．
13．（2分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AC、BC．若△ABC的面积为2，则k的值为　4　．

【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝2，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝2，
∵k＞0，
∴k＝4．
故答案为4．

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．（2分）如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若AG＝5，BG＝3，则＝　　．

【分析】过B作BP⊥AG于P，则∠BPG＝90°，∠AGB＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BP⊥AG于P，则∠BPG＝90°，∠AGB＝60°，
∵BG＝AL＝3，AG＝5，
∴LG＝2，PG＝，BP＝，
∴AP＝5﹣＝，
∴AB═＝，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
15．（2分）如图，在菱形ABCD中，以点C为圆心，CB为半径作，与AB、AD分别交于点E、F，点E、F恰好是的三等分点，连接DE，则∠AED＝　54　°．

【分析】连接BD，如图，设∠BDE的度数为x，由于点E、F恰好是的三等分点，则根据圆周角定理得到∠EBD＝2x，∠BCD＝6x，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠CBD＝∠CDB＝90°﹣3x，接着根据平行线的性质得2x＝90°﹣3x，解得x＝18°，然后利用三角形外角性质计算∠AED的度数．
【解答】解：连接BD，如图设∠BDE的度数为x，
∵点E、F恰好是的三等分点，
∴∠EBD＝2x，∠BCD＝6x，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣6x）＝90°﹣3x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，即2x＝90°﹣3x，解得x＝18°，
∴∠AED＝∠EBD+∠BDE＝2x+x＝3x＝54°．
故答案为54°．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了菱形的性质．
16．（2分）在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是　2＜a＜4　．
【分析】由已知条件∠C＝60°，根据正弦定理用a表示出sinA，由∠C的度数及正弦函数的图象可知满足题意的△ABC有两个A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．
【解答】解：由正弦定理得：＝，即＝，
再sinA＝，
由题意得：当60°＜∠A＜120°时，满足条件的△ABC有两个，
所以＜＜1，
解得2＜a＜4．
故答案为：2＜a＜4．
【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．
三、解答题（共11题，共88分）
17．（8分）计算：
（1）tan45°﹣﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0；
（2）（m﹣n）（m2+mn+n2）．
【分析】（1）分别根据特殊角的三角函数值，数的开平方，负指数、零指数幂的运算法则，分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
（2）根据多项式的乘法进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣2+1
＝1﹣3﹣2+1
＝﹣3；
（2）原式＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3
＝m3﹣n3．
【点评】本题考查的是实数的运算，整式的运算．解题的关键是掌握实数的运算法则和整式的运算法则，熟知负指数、零指数幂的运算法则及数的开平方的运算，特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．（7分）先化简，再求值：÷（a+1﹣），其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（a+1﹣）
＝
＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（8分）为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某社区积极响应党的号召，鼓励共产党员踊跃捐款．为了了解该社区共产党员的捐款情况，抽取了部分党员的捐款金额进行统计，数据整理成如图尚不完整的统计表和统计图．

某社区抽样党员捐款金额统计表
组别
捐款金额（元）
人数
A
x≤100
2
B
100＜x≤200
10
C
200＜x≤300

D
300＜x≤400
14
E
x＞400
4
（1）一共抽取了　50　名党员，捐款金额的中位数在　C　中（填组别）；
（2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为　72　°；
（3）该社区共有1000名党员，请估计捐款金额超过300元的党员有多少名？
【分析】（1）根据D组人数统计百分比求出总人数即可．
（2）根据C组人数画出条形图，再根据圆心角＝360°×百分比计算即可．
（3）利用样本估计总体的思想思考问题即可．
【解答】解：（1）总人数＝14÷28%＝50（名），C组人数＝50﹣2﹣10﹣14﹣4＝20（名），
捐款金额的中位数在C组．
故答案为：50；C．
（2）条形图如图所示：

B组对应扇形的圆心角度数为360°×＝72°，
故答案为72．
（3）估计捐款金额超过300元的党员有：1000×＝360 （名），
答：估计捐款金额超过300元的党员有360名．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（7分）如图在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF＝CE，求证：△ABE≌△CDF．

【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，BC＝AD，对角相等可得∠B＝∠D，然后求出DF＝BE，再利用“边角边”证明两三角形全等．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
即DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【点评】本题考查了平行四边形的对边相等，对角相等的性质，全等三角形的判定，求出DF＝BE是证明三角形全等的关键．
21．（8分）如图，A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币．

（1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是　　；
（2）同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率；
（3）若这枚硬币在A杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置（硬币随A杯一起移动），则经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为　B　．
A.B.C.D.
【分析】（1）根据其中一个杯子里有一枚硬币，共3个杯子，可直接得出随机翻开一个杯子，出现硬币的概率；
（2）根据题意画出树形图，求出所有情况数，和出现硬币的情况数，再根据概率公式计算即可；
（3）先求出第一次交换后的情况数，再求出第二次交换后的情况数，从而求出所有情况数和硬币恰好在中间位置的杯子内的请况数，最后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是；
故答案为：；

（2）根据题意画图如下：

共有6种等情况数，其中出现硬币的情况数有4种，
则出现硬币的概率是：＝；

（3）根据题意得：第一次交换后情况是：BAC、CBA、ACB，
把BAC再交换一次的情况数：ABC、CAB、BCA，
把CBA再交换一次的情况数：BCA、ABC、CAB，
把ACB再交换一次的情况数：CAB、BCA、ABC，
共有9种情况数，
硬币恰好在中间位置的杯子内的请况数有3种，
则硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为＝．
故答案为：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）甲、乙两人从M地出发，甲先出发，乙后出发，都匀速骑车前往N地．乙在骑行途中休息片刻后，以原速度继续骑行．已知乙的速度是甲的1.6倍．甲、乙两人离M地的距离（米）与乙行驶的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答问题．
（1）M、N两地之间的距离为　6400　米，甲的速度为　200　米/分钟．
（2）求线段BD所表示的y与x之间的函数表达式．
（3）直接写出当x取何值时，甲、乙两人在到达N地之前相遇．

【分析】（1）根据题意结合图象解答即可；
（2）先求出点D的坐标，再运用待定系数法解答即可；
（3）分情况讨论①乙在休息前，根据两人的速度列方程解答即可；②乙在休息时，把y＝3200代入（2）的结论计算即可．
【解答】（1）由图象可知，M、N两地之间的距离为6400米，
乙的速度为3200÷10＝320（米/分钟），
甲的速度为320÷1.6＝200（米/分钟）．
故答案为：6400；200．

（2）甲车走完全程需6400÷200＝32 分钟．
32﹣30＝2 分钟，
∴D点纵坐标为 2×20＝400．
∴D（0，400），
∵B（30，6400），
设 BD：y＝kx+b（k≠0），
，解得，
∴线段BD的解析式为：y＝200x+400（ 0≤x≤30 ）．

（3）根据题意得：320x＝200x+400或400+200x＝3200，
解得x＝或x＝14．
答：当x＝或x＝14时，甲、乙两人在到达N地之前相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．（7分）疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．）

【分析】过点E 作EM⊥DC于M．设 BM＝x 米．则AC＝BC＝EM（60+x）米．DM＝（10+x）米，得出tan∠D＝＝，解出x即可得出答案．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥DC于M．

∵AE∥CD．
∴∠ABC＝∠BAE＝45°．
∵BC⊥AC，EM⊥DC，
∴AC∥EM，
∴四边形AEMC为矩形．
∴CM＝AE＝60 米．
设 BM＝x 米．
则AC＝BC＝EM（60+x）米．DM＝（10+x）米．
在 Rt△EDM中，
∵∠D＝37°．
∴tan∠D＝＝，
解得：x＝120，
∴AC＝60+x＝60+120＝180 （米）．
∴飞机高度为180米．
答：无人机飞行的高度AC为180米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（6分）在⊙O中，AB和CD是弦，且AB＝CD，请用无刻度直尺完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在上找一点P，使点P到AB、CD所在直线的距离相等．
（2）如图②，E是⊙O上一点，且BE∥CD，BE＝CD，在上找一点Q，使点Q到AB、CD所在直线的距离是1：2．

【分析】（1）根据角平分线的性质即可在图①的上找一点P，使点P到AB、CD所在直线的距离相等；
（2）根据平行线对应线段成比例定理即可在图②的上找一点Q，使点Q到AB、CD所在直线的距离是1：2．
【解答】解：（1）如图①，点P即为所求；

（2）如图②，点Q即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是综合运用以上知识画图．
25．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣1（m为常数）．
（1）若该函数图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
（2）将该函数图象沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图象．
①则新函数的表达式为　y＝﹣x2+2mx﹣1　，并证明新函数图象始终经过一个定点；
②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若新函数图象与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）△＝（﹣2m）2﹣4（2m2﹣1）＝0，即可求解；
（2）①翻折后抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2mx﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，即可求解；
②当m＞0时，如上图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1；当m＜0时，同理可得：m＜﹣1，即可求解．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（2m2﹣1）＝0，
∴m＝±1，
即函数图象与x轴只有一个公共点时，m的值为±1；

（2）①∵y＝x2﹣2mx+2m2﹣1＝（x﹣m）2+m2﹣1，顶点坐标为（m，m2﹣1），
∴翻折后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m2﹣1＝﹣x2+2mx﹣1，
故答案为：y＝﹣x2+2mx﹣1；
当x＝0时，y＝﹣1，
故新函数过定点（0，﹣1）；
②设定点为C（0，﹣1），而点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上，

新抛物线的对称轴为x＝m，
当m＞0时，如上图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1，
当m＜0时，同理可得：m＜﹣1，
此外当抛物线顶点在线段AB上时，也就是顶点在（0，﹣1），此时抛物线与线段AB只有一个公共点，此时m＝0，
故m的取值范围为：m＞1或m＜﹣1或m＝0．
【点评】此题是抛物线的交点坐标题，主要考查抛物线与直线的交点，解本题的关键是画出图象，分析抛物线与线段AB只有一个交点是解本题的难点．
26．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，过点A的直线l与⊙O相交于点C，D是弦CA延长线上一点，∠BAC、∠BAD的角平分线与⊙O分别相交于点E、F，G是的中点，过点G作MN∥AE，与AF、EB的延长线分别交于点M、N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若AE＝24，AM＝18，
①求⊙O的半径；
②连接MC，则tan∠MCD的值为　　．

【分析】（1）如图1，连接 GO、GA，先根据角平分线的定义证明∠MAE＝（∠BAC+∠BAD）＝90°，由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA＝∠FAG，则OG∥AM，所以∠MGO＝180﹣∠M＝90，从而得结论；
（2）①延长GO交AE于点P，证明四边形 MGPA为矩形，得GP＝MA＝18，∠GPA＝90°，设OA＝OG＝r，则OP＝18﹣r，根据勾股定理列方程解出即可；
②如图3，过M作MH⊥l，连接BC，延长NE交l于I，连接GO交延长交AE于P，tan∠MAH＝tan∠ABE＝tan∠BIA＝，BI＝2BE＝20，根据三角函数计算MH，AH，CI的长，最后计算MH和HC的长，代入tan∠MCD＝，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接 GO、GA，

∵∠BAC、∠BAD的角平分线与⊙O分别相交于点E、F，
∴∠MAE＝（∠BAC+∠BAD）＝90°，
∵MN∥AE，
∴∠M＝180﹣∠MAE＝90°，
∵G是 的中点，
∴＝，
∴∠FAG＝∠BAG，
∵OA＝OG，
∴∠OGA＝∠BAG，
∴∠OGA＝∠FAG，
∴OG∥AM，
∴∠MGO＝180﹣∠M＝90°，
∵G为半径的外端，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：①如图2，连接GO交延长交AE于点P，

∵∠MGO＝∠M＝∠MAE＝90°，
∴四边形 MGPA为矩形，
∴GP＝MA＝18，∠GPA＝90°，
即 OP⊥AE，
∴AP＝ AE＝12，
设OA＝OG＝r，则OP＝18﹣r，
在 Rt△OAP 中，∵OA2＝OP2+AP2，
∴r2＝（18﹣r）2+122，
解得：r＝13，
答：⊙O的半径是13；
②如图3，过M作MH⊥l，连接BC，延长NE交l于I，连接GO交延长交AE于P，

由①知：OG＝13，PG＝18，
∴OP＝5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠AEI＝90°，
∵∠BAE＝∠EAC，
∴∠ABE＝∠AIB，
∵AM∥NI，
∴∠MAH＝∠BIA＝∠ABE，
∴tan∠MAH＝tan∠ABE＝tan∠BIA＝，BI＝2BE＝20，
∵cos∠AMH＝，sin∠AMH＝，sin∠CBI＝＝，
∴MH＝＝，AH＝＝，
CI＝20×＝，
∴AC＝AI﹣CI＝26﹣＝，
∴HC＝AH+AC＝+＝，
∴tan∠MCD＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r．
【操作感知】
（1）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；
【初步探究】
（2）求证：CD2+CE2＝4r2；
（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为　448　；
【深入研究】
（4）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为　　．

【分析】（1）根据要求画出图形即可（如图①所示）．
（2）如图②中，连接DE．利用勾股定理即可解决问题．
（3）因为CD2+CE2是定值，FG是⊙O的弦，⊙O的半径为定值 8，所以弦心距越小则弦FG越长，圆心O在以C为圆心8为半径的圆上，当CO⊥AB时，O到AB距离最短，此时FG最大，由此即可解决问题．
（4）首先确定r的范围．圆心距离AB最近时CD2+CE2+FG2的值最大，当半径比较小时，O在CH上时CD2+CE2+FG2的值最大，当圆心在CH 上，圆正好经过点A时，设O0A＝O0C＝r，在Rt△AO0H中，则有r2＝（12﹣r）2+92，解得r＝，当r＞时，若O还在CH上，则A点在圆内，圆不与AB边相交，推出此时圆心应该是在AC中垂线上，推出6＜r≤时，O在CH上，≤r≤时，O在AC中垂线上，则CD2+CE2+FG2的值最大，推出O路径如下图折线 O1﹣O0﹣O2
【解答】（1）解：如图①即为所求，


（2）证明：如图②中，连接DE．

∵∠DCE＝90°，
∴DE为⊙O直径，即DE＝2r，
∴CD2+CE2＝DE2＝4r2，

（3）解：如图③中，

∵CD2+CE2是定值，FG是⊙O的弦，⊙O的半径为定值 8，
∴弦心距越小则弦FG越长，圆心O在以C为圆心8为半径的圆上，
当CO⊥AB时，O到AB距离最短，此时FG最大，
∵•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝＝12，
∵OC＝8，
∴OH＝4，
OH⊥FG，
∴FH＝HG＝＝＝4，
∴FG＝2FH＝8
∴CD2+CE2+FG2的最大值＝162+（8）2＝448．
故答案为448．

（4）如图④中，

当⊙O1 与AB相切时，⊙O1的直径最小，最小值为12，此时r＝6，
当圆心O2在AB上时，圆直径最大等于AB＝25，
∴6≤r≤，
∵圆心距离AB最近时CD2+CE2+FG2的值最大，
当半径比较小时，O在CH上时CD2+CE2+FG2的值最大，
当圆心在CH 上，圆正好经过点A时，设O0A＝O0C＝r，
在Rt△AO0H中，则有r2＝（12﹣r）2+92，
解得r＝，
∴OH＝12﹣＝，
当r＞时，若O还在CH上，则A点在圆内，圆不与AB边相交，
∴此时圆心应该是在AC中垂线上，
∴6＜r≤时，O在CH上，
≤r≤时，O在AC中垂线上，则CD2+CE2+FG2的值最大，
∴O路径如下图折线 O1﹣O0﹣O2
∵O1H＝6，O0H＝，
∴O1O1＝6﹣＝，
∵AO2＝，AH＝9，
∴HO2＝﹣9＝，
∴O0O2＝＝，
∴O点路径长＝+＝．
故答案为．
【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2020/6/19 15:59:08；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080