第一章《三角函数》(中档题)达标检测(一)-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】(北师大2019版第二册)
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第一章《三角函数》(中档题)达标检测(一)【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】一、单选题1.已知角的终边过点,若,则( )A. B. C.10 D.【答案】B【分析】由诱导公式可知,再由正切函数的定义知,即可求出.【详解】,角的终边过点,由正切函数的定义知,解得.故选:B.【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式的应用,属于基础题.2.如图所示的函数图象对应的解析式可能为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和在的正负即可判断.【详解】由图象可知,该函数图象关于y轴对称,是偶函数.对A,,是偶函数,当时,,,,符合图象;对B,,是奇函数,不符合,故B错误;对C,当时,,,,不符合图象,故C错误;对D,,是奇函数,故D错误.故选:A.【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.3.下列函数中,同时满足①对于定义域内的任意,都有,②存在区间,在区间上单调递减的函数是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A,,且存在区间,单调递减,故A正确;对于B,是增函数,不存在减区间,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,在定义域是增函数,不存在减区间,故D错误.故选:A.4.已知函数的最大值为,最小值为,则( )A.2 B.0 C.1 D.-2【答案】A【分析】设,则为奇函数,则,根据奇函数的对称性可得答案.【详解】设,则,则为奇函数.,显然当取得最大值时,取得最大值.当取得最小值时,取得最小值.又为奇函数,则,所以故选:A【点睛】本题考查奇函数的对称性的应用,属于基础题.5.函数,的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据奇偶性,可排除CD,计算可得,可排除B,即可选出答案.【详解】由题意,,且,所以在上是奇函数,可排除选项CD;当时,,可排除选项B,只有A符合题意.故选:A.【点睛】本题考查函数图象的识别,考查奇偶性的应用,考查学生的推理能力,属于基础题.6.等于( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值求得结果.【详解】.故选:D.7.《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的一只手臂长约为米,整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之向的距离约为( )(参考数据:)A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米【答案】B【分析】根据弧长公式求出圆心角为直角,再根据勾股定理可求得弦长.【详解】由题得:“弓”所在的弧长为:;,所以其所对的圆心角;∴两手之间的距离.故选:B.8.若函数在上单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用,得,再根据单调性,得,列不等式求解.【详解】当时,,因为在上单调递增,所以,得,又,则.故选:D二、多选题9.已知函数([]表示不超过实数的最大整数部分),则( )A.的最小正周期为 B.是偶函数C.在单调递减 D.的值域为【答案】AB【分析】根据正、余弦函数的图象性质及题目条件分析判断即可.【详解】因为,所以函数为偶函数,所以B正确;根据正弦、余弦函数的图象性质可知的最小正周期为,故A正确;又因为当和时, ,所以,,且在上无单调性,故C错;当时,,所以,;当时,,所以,则,所以函数的值域为,故D错.故选:AB.【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合运用问题,较简单,解答时根据函数解析式的特点及奇偶性、周期性的概念判断即可.10.下列说法正确的是( )A.,使得B.命题“,”的否定是“,”C.“”的一个充分不必要条件是“”D.若,,则“”是“”的必要不充分条件【答案】BD【分析】由指数函数性质判断A,根据命题的否定的定义判断B,根据充分必要条件的定义判断CD.【详解】∵恒成立,∴选项A错误;命题“,”的否定是“,”,选项B正确;∵,反之不成立,∴选项C错误;若,则或,那么或,也即或,∴“”是“”的必要不充分条件,即选项D正确.故选:BD.三、填空题11.不等式,的解集是______.【答案】【分析】画出函数在的图象,即可结合图象求出.【详解】画出函数在的图象,当时,或,观察图形可知,不等式的解集为.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数不等式的求解,属于基础题.12.已知扇形的圆心,弧长为,则该扇形的面积为______.【答案】【分析】用弧长公式求出扇形半径,再用扇形面积公式得解.【详解】因为扇形的圆心,弧长为,,, 故答案为:【点睛】本题考查弧长公式和扇形面积公式,属于基础题.13.已知函数(a,b为常数),且,则________.【答案】1【分析】设,并且函数是奇函数,利用奇函数的性质求值.【详解】设是奇函数,,因为函数是奇函数,所以,所以.故答案为:1.【点睛】本题考查奇函数的应用,意在考查转化与变形,属于基础题型.14.已知函数相邻两个零点之间的距离是,若将该函数的图象向左平移个单位,则所得函数的解析式为________.【答案】【分析】根据题意求出函数的最小正周期,可得出的值,再利用图象的平移变换可得出结果.【详解】由于函数相邻两个零点之间的距离是,则该函数的最小正周期为,.将函数的图象向左平移个单位,所得函数的解析式为.故答案为:.【点睛】本题考查利用图象平移求三角函数解析式,同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数,考查计算能力,属于基础题.15.已知函数,若满足,则的一个取值为________.【答案】(答案不唯一)【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为的值域为,故若满足则必有的值分别为,故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得.此时为的半个周期,即.故答案为:【点睛】关键点点睛:相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.四、解答题16.已知函数.(1)求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间;(2)若,,求角的大小.【答案】(1)对称中心为(,0),;单调递减区间为,;(2).【分析】(1)令可求出对称中心,令可求出单调递减区间;(2)由可直接求出角的大小.【详解】(1)由,,得,,∴函数图像的对称中心为(,0),,由,,得函数的单调递减区间为,;(2),又∵,∴,∴.【点睛】本题考查余弦型函数的对称中心和单调区间的求法,考查已知函数值求角,属于基础题.17.设函数的图象关于直线对称,其中.(1)求的最小正周期;(2)若函数的图象过点,求在上的值域;【答案】(1);(2).【分析】(1)由函数图象关于直线对称,可得的值,进而得出函数的最小正周期;(2)由函数的图象过点,求出的值,由,结合正弦函数的图象和性质得出函数的值域.【详解】(1)函数的图象关于直线对称,则,解得又,则当时,即,的最小正周期为;(2)函数的图象过点,则,解得故,,则,在上的值域为.18.已知,且lg(cos α)有意义.(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(,m),求m的值及sin α的值.【答案】(1)第四象限;(2)m=-;sin α=-.【分析】(1)由条件可分别判断的正负,即可判断所在的象限;(2)由可得,再由是第四象限角可判断,即可求出,根据定义可求出.【详解】(1)∵=-,∴sin α<0,①由lg(cos α)有意义,∴cos α>0.②,由①②得,角α在第四象限.(2)∵点M(,m)在单位圆上,∴()2+m2=1,解得m=±.又α是第四象限角, m<0,∴ m=-.由三角函数定义知,sin α=-.19.已知函数(其中,)的图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的3倍,得到函数的图象,求当时,函数的单调递增区间.【答案】(1);(2)增区间为.【分析】(1)由函数最值求得,由周期得到,再将特殊点代入解析式可求,即可得到函数解析式;(2)由图像变换得到函数解析式,然后利用正弦函数图像的性质可得函数在上的单调增区间,对 取值即可得当时的单调递增区间.【详解】(1)根据函数(,,)的部分图象,可得,,∴.再根据五点法作图,,∴,∴.(2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的3倍,得到函数的图象,对于函数,令,求得,可得的增区间为,.结合,可得增区间为.20.已知函数只能同时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为;②最大值为;③;④.(Ⅰ)请指出同时满足的三个条件,并说明理由;(Ⅱ)求的解析式;(Ⅲ)求的单调递增区间.【答案】(Ⅰ)①②④,见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)【分析】(Ⅰ)代入③计算,可判断不成立,故满足的三个条件为①②④;(Ⅱ)由①②④,分别计算的值,可得函数解析式;(Ⅲ)利用整体法列不等式计算单调递增区间.【详解】(Ⅰ)因为,,,所以,故③不成立;所以满足的三个条件为:①②④;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,最小正周期为,最大值为,可得,,所以,又因为,,则,即,得,所以.(Ⅲ)由,得,所以的单调递增区间为.【点睛】求三角函数的解析式时,由即可求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标,则令(或),即可求出,否则需要代入点的坐标,利用一些已知点的坐标代入解析式,再结合函数的性质解出和,若对,的符号或对的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.