专题05 平行线性质及几何解题方法基础巩固+技能提升 2022年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题05 基础巩固 + 技能提升
【基础巩固】
1．（2020·无锡市月考）一条船在灯塔的北偏东30°方向，那么灯塔在船的什么方向（ ）
A．南偏西30° B．西偏南40° C．南偏西60° D．北偏东30°
【答案】A.
【解析】

解：如图，由题意可知∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝30°．
由方位角的概念可知灯塔在船的南偏西30°．
故答案为：A．
2．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是_________，是____（填“真”“假”）命题．
【答案】如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；真.
3．（2020·上海市月考）如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________.

【答案】∠2－∠1+∠3－∠4=180°.
【解析】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，
∵AB∥CD
∴AB∥EM∥FN∥CD
∴∠1=∠AEM，∠MEF+∠NFE=180°，∠4=∠NFC
又∠MEF=∠2－∠AEM，∠NEF=∠3－∠NFC
∴∠2－∠AEM+∠3－∠NFC=180°
即∠2－∠1+∠3－∠4=180°.

4．（太原月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．

【答案】α+β=γ.
【解析】解：过点B作BH∥DF，
∵DF//EG，
∴BH∥EG，
∵DF//EG，

∴∠ABH=∠ADF=α
∵BH∥EG，
∴∠CBH=∠CEG=β
∴γ=∠ABC=∠ABH+∠CBH=∠ADF+∠CEG=α+β.
故答案为：α+β=γ.
5．（2020·宁波市期中）如图，，，平分，，，为______°．

【答案】20.
【解析】解：
∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ACB=180°．
∵∠DAC=120°，
∴∠ACB=60°．
∵∠BCF+∠ACF=∠ACB=60°，∠ACF=20°
∴∠BCF=40°
∵CE平分∠BCF
∴∠BCE=∠ECF=20°
∵EF∥BC
∴∠FEC=∠BCE=20°
故答案为：20．
6．（2020·濮阳市期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为______．

【答案】15°.
【解析】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故答案为15°．
7.（2020·辽宁沈阳市期中）若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠B＝_____度．
【答案】55或20.
【解析】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B，
∵∠A比∠B的3倍少40°，
∴∠A＝3∠B﹣40°，
∴3∠B﹣40°+∠B＝180°，∠B＝55°，
或3∠B﹣40°＝∠B，∠B＝20°，
故答案为：55或20．
8．（2020·忠县月考）如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为_______米2．

【答案】144.
【解析】解：由图形得到了的总长度为20+10-2=28米，
所以道路的总面积为28×2=56米2，
所以草地面积为20×10-56=144米2．
故答案为：144.
9．（2020·浙江杭州市模拟）如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米．

【答案】18
【解析】解：地毯的长=台阶的长+台阶的高，红地毯至少要13+5=18米．
故答案为：18．
10．（2020·黑龙江哈尔滨市期中）如图，将沿水平方向向右平移到的位置，已知点、点之间的距离为5，，则的长为______．

【答案】17.
【解析】解：由题意可知BE=CF=5，
∴BF=BE+EC+CF=5+7+5=17
故答案为：17．
11．（2020·甘肃临夏市期末）如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC＝________°.

【答案】40.
【解析】解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；
故答案为：40．
12．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝　　（　　）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC　　（　　）
∴∠CDG＝　　（　　）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件：　　，结论：　　（填序号）．
②证明：　　．

【答案】（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析
13．（2019·郑州外国语期中）探究：如图1直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，求∠DEF的度数．

请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解：，
_________________.（_________________）
，
∴_____________．（_________________）
．（等量代换）
，
___________.
应用：如图2，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作交AC于点E，过点E作交BC于点F．若，则_________.
【答案】∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠EFC；两直线平行，同位角相等；50°；应用：115°.
【解析】应用：∵DE∥CB，
∴∠ABC=∠ADE=65°
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF=180°
∴∠DEF=180°−65°=115°.
则∠DEF=115°.
14．（2020·武汉市期末）完成下列推理过程
如图，M、F 两点在直线 CD 上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN 分别是∠ABC、∠
EDF 的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN 分别是∠ABC、∠EDF 的平分线
∠1= ∠ABC，∠3=_________（角平分线定义）
∵AB∥CD
∴∠1=∠2，∠ABC=________（ ）
∵CB∥DE
∴∠BCD=________（ ）
∴∠2=________（ ）
∴BM∥DN（ ）

【答案】∠EDF；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
∠EDF；两直线平行， 同位角相等；∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行.
15．（2020·浙江杭州市模拟）如图所示，直线分别与直线是好点B、F，且，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C．
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由.
（2）请判断直线与的位置关系，并说明理由.
（3）若，求的度数.

【答案】（1）AC∥DG，理由见解析；（2）BE∥CF，理由见解析；（3）145°.
【解析】解：（1）AC∥DG
证明：∵∠1=∠2，∠2=∠BFG，
∴∠1=∠BFG，
∴AC∥DG，
（2）BE∥CF
证明：∵AC∥DG
∴∠ABF=∠BFG，
由角平分线性质知∠EBF=∠ABF，∠CFB＝∠BFG，
∴∠EBF=∠CFB，
∴BE∥CF；
（3）∵AC∥DG，BE∥CF，∠C=35°，
∴∠C=∠CFG=35°，
∴∠CFG=∠BEG=35°，
∴∠BED=180°-∠BEG=145°．
16．（2020·新乡市期中）如图，已知，AB//CD，EF交AB，CD于G、H，GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD．试说明GM//HN．

【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB∥CD，
∴∠AGF=∠DHE，
∵GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD，
∴∠1=∠AGF，∠2=∠DHE，
∴∠1=∠2，
∴GM∥HN．
17．（2020·广西南宁市期末）如图，于，点是上任意一点，于，且，．

证明：
【答案】见解析.
【解析】证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB
∴CD∥EF
∴∠2=∠BCD
∵∠1=∠2
∴∠1=∠BCD
∴BC∥DG.
18．（2020·江苏苏州市期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠DEF，求证：DE∥BC．

请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵∠1+∠2＝180（已知）
∠2＝∠3（ 对顶角相等 ）
∴∠1+∠3＝180°
∴AB∥EF （ ），
∴∠B＝∠EFC（ ）
∵∠B＝∠DEF（ ），
∴∠DEF＝ （ ）
∴DE∥BC（ ）
【答案】见解析.
【解析】证明：∵∠1+∠2＝180（已知），
∠2＝∠3（对顶角相等），
∴∠1+∠3＝180°，
∴AB∥EF （同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠DEF（已知），
∴∠DEF＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
19．（2020·黑龙江佳木斯市期末）如图（1）所示，，说明：
（1）；
（2）当点在直线的右侧时，如图所示，若，则与，的关系如何？请说明理由

【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠F+∠BCF=360°，理由见解析．
【解析】（1）证明：过C作CD∥AB，

∵AB∥EF，
∴CD∥AB∥EF，
∴∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，
∴∠B+∠F=∠BCF．
（2）∠B+∠F+∠BCF=360°，
过C作CD∥AB，则∠B+∠BCD=180°，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠F+∠FCD=180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°．
【技能提升】
1．如图，已知，，，则____________

【答案】45°.
【解析】解：作直线m∥a，n∥b，

由平行线性质得：∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，
∴∠2-∠5=∠6，∠3-∠8=∠7，
∴∠2-∠1=∠6，∠3-∠4=∠7
∴∠2-∠1=∠3-∠4
即∠2-∠3=∠1-∠4=20°
又∠1+∠4=70°
∴∠1=45°，∠4=25°
故答案为45°．
2．（2020·上海市月考）如图，AB//CD，则图中_______________°；

【答案】180.
【解析】解：如图，过点E作EF//CD

∴∠3＝∠FEC
∵∠AEF＋∠2＝∠FEC，
∴∠2＋∠AEF＝∠3，
∵AB//CD，EF//CD，
∴EF//AB，
∴∠1＋∠AEF＝180°
∴∠1+∠3-∠2=180°．
故答案为：180.
3．（2020·宁波市期中）如图，，设，那么，，的关系式______．

【答案】x+y=90°+z.
【解析】解：过C作CN∥AB，过D作DM∥AB，

则AB∥CN∥DM∥EF，
∴x=∠1，∠2=∠3，z=∠4，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2=90°
x+∠3=90°，
∴x+∠3+∠4=90°+z
即x+y=90°+z.
4．（2020·宁波江北期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；），当且点在直线的上方，使的一边与三角形的某一边平行时，写出的所有可能的值____．

【答案】30°或45°.
【解析】解：当BC∥AD时，∠ACB=120°，∠ACE=30°；

当BE∥AC时，∠ACE=∠E=45°．

故答案为：30°或45°．
5．（2020·濮阳市月考）如图，将Rt△ABC沿CB的方向平移BE距离后得到Rt△DEF，已知AG=2，BE=4，DE=8，则阴影部分的面积是______．

【答案】28.
【解析】解：由平移知，S△ABC=S△DEF，BE=CF=4，DE=AB=8
∴S阴影=S梯形BEDG=28
故答案为：28．
6．（2019·甘肃庆阳市期中）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）

A．∠1+∠2−∠3=90° B．∠1−∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3−∠1=180°
【答案】D.
【解析】解：∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故答案为：D．
7．（2020·上海闵行期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知，，G是AC边上一点（不与A、C重合），
小明说：“如果还知道，则能得到”；
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由，可得到”；
小刚说：“∠AGD一定大于∠ACD”
小颖说：“如果联结GF，则GF一定平行于AB”；
他们四人中，有几个人的说法是正确的？（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B.
【解析】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB
∴EF∥CD
（1）若∠BCD=∠BFE
∵∠BCD=∠BFE
∴∠BCD=∠CDG
∴DG∥BC
∴∠AGD=∠ACB
（2）若∠AGD=∠ACB
∴DG∥BC
∴∠BCD=∠CDG，∠BCD=∠BFE
∴∠CDG=∠BFE
（3）∵DG∥BC，
∴∠AGD不一定大于∠ACD；
（4）连接GF，则GF不一定平行于AB；
综上所述，正确的说法有2个；
故答案选B．
8．（2020·山西大同市月考）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学.王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知平分与相交于点．请你用所学知识证明：．

【答案】见解析.
【解析】解:∵AB∥CD
∴∠1=∠CFE
∵AE平分∠BAD
∴∠1=∠2
∴∠2=∠CFE
∵∠CFE=∠E
∴∠2=∠E
∴AD∥BC.

9．（2020·大同市月考）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直于地面，垂足为点，平行宇地面，若，则．请你完成下面的推理过程．

证明：过点作直线，
．（_________________）
，
_________________．（_________________）
，
，
，
（_________________），
，
．
【答案】两直线平行，同旁内角互补；BM；平行于同一条直线的两直线平行；垂直的定义
10．（2019·洛阳市期中）问题情境
（1）如图1，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得________．
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．
①如图2，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图3，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由；拓展延伸
（3）当点在，两点之间运动时，若，的角平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥AB∥CD，
∴∠B+∠BPG=∠C+∠CPG=180°
又∵∠ABP=125°，∠PCD=155°
∴∠BPC=80°
（2）①∠APE=α+β；
过点P作PM∥FD，则PM∥FD∥CG，

∵PM∥FD，
∴∠1=∠α，
∵PM∥CG，
∴∠2=∠β，
∴∠1+∠2=∠α+∠β，
即：∠APE=α+β，
②∠APE=β－α；
过P作PQ∥DF，

∵DF∥CG
∴PQ∥CG
∴β=∠APQ，α=∠EPQ
∴∠APE=β－α.
（3）由①可知，∠N=∠3+∠4，

∵EN平分∠DEP，AN平分∠PAC，
∴∠3=∠α，∠4=∠β，
∴∠ANE=（α+β）．
11．（2020·达州市期中）已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．

（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°.
【解析】解：（1）过点P作PE∥MN

∵PB平分∠DBA，
∴∠DBP=∠PBA=40°，
∵PE∥MN，
∴∠BPE=∠DBP=40°，
同理：∠CPE=∠PCA=25°，
∴∠BPC＝40°+25°＝65°；
（2）过点P作PE∥MN．

∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°−80°＝100°．
∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP=50°，
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°−∠DBP＝130°，
∵PC平分∠DCA．
∴∠PCA=25°，
∵MN∥PE，MN∥GH，
∴PE∥GH，
∴∠EPC=∠PCA=25°，
∴∠BPC＝130°+25°＝155°；
（3）过点P作PE∥MN．

∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP＝∠PBA=40°，
∵PE∥MN，
∴∠BPE=∠DBP=40°，
∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°−∠DCG＝130°，
∴∠PCA=65°，
∵PE∥MN，MN∥GH，
∴PE∥GH，
∴∠CPE＝180°−∠PCA＝115°，
∴∠BPC＝40°+115°＝155°．
12．（2019·保定市期中）已知：如图，AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠CEF=130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

解：_______，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD，(_____)
∵∠B=70°，
∴∠BCD=70°，(______)
∵∠BCE=20°，
∴∠ECD=50°，
∵∠CEF=130°，
∴_______+_______=180°，
∴EF∥______，(______)
∴AB∥EF．(______)
【答案】AB∥EF，两直线平行，内错角相等；等量代换，∠E，∠DCE，CD，同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．
13．（2020·河北唐山市期末）如图，点、分别在直线和上，若，，可以得到．请完成下面说理过程中的各项“填空”
理由：∵（已知）
（对顶角相等）
∴（理由 ）
∴ （理由： ）
∴ （两直线平行，同位角相同）
又∵，
∴ （等量代换）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴（理由： ）

【答案】∠DGF；等量代换；BD；同位角相等，两直线平行；∠D；AC；两直线平行，内错角相等．
14．阅读下面材料：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．
请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）

【答案】见解析.
【解析】解：如图，

∠1+∠2＝180°；
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
15．（2020·定兴县期末）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF,垂足为E，交CD于H点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠CEH的度数．

小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：

请问小丽的提示中理由①是  ；
提示中②是：  度；
提示中③是：  度；
提示中④是：  ，理由⑤是 ．
提示中⑥是  度；
【答案】（1）补图见解析；（2）两直线平行，同旁内角互补，70，30，∠CEF，两直线平行，内错角相等，60．
【解析】解：（1）依据题意补全图形如下图所示：
.
16．（2020·陕西省西安市月考）下列各图中的MA1与NAn平行．

（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．
【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．
【解析】解：（1）图①中，∵MA1∥NA2，
∴∠A1+∠A2=180°，
如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，
…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n﹣1）．
故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．

17．（2020·洛阳市期中）已知：如图1，，．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【解析】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，

证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EF1L=∠HLN，
∴EF∥HL；
（2）∠P=3∠Q，
证明如下：由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；

18．（2020·山东烟台市期中）完成下列推理，并填写完理由
已知，如图，∠BAE+∠AED=180°，∠M=∠N，
试说明：

解：∵∠BAE＋∠AED＝180º（已知）
∴　　 　 ∥　　　　 （ ）
∴∠BAE＝　 　（ 两直线平行,内错角相等 ）
又∵∠M＝∠N　（已知）
∴　　　　∥　　　（　　　　　　 ）
∴∠NAE＝　　　　　（　　 ）
∴∠BAE－∠NAE＝　　　　－　 　　（ ）
即∠1＝∠2
【答案】见解析.
【解析】解：∵∠BAE＋∠AED＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠M＝∠N （已知），
∴AN∥ME（内错角相等，两直线平行），
∴∠NAE＝∠MEA（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE−∠NAE＝∠AEC−∠MEA（等式性质），
即∠1＝∠2．
19．（2020·佛山市月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）

问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　 　．
【答案】见解析.
【解析】
问题情境1：
∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：
过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，
即∠B+∠BPD+∠D＝360°，
故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；
问题情境2
∠P＝∠B+∠D，理由是：
过点P作EP∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，
∴∠BPD＝∠B+∠D，
即∠P＝∠B+∠D；
故答案为∠P＝∠B+∠D；
问题迁移：
（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∴∠EBF+∠EDF＝140°，
∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+∠M＝60°；
（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，
∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝；
故答案为∠M＝．