专题06 平方根、立方根知识讲解 2022年七年级数学寒假辅导讲义

专题06 平方根、立方根知识讲解

知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念
【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】解：∵＝3，
∴选项A错误；
∵±＝±2，
∴选项B错误；
∵＝4，
∴选项C错误；
∵＝3，
∴选项D正确．
故答案为：D．
【例1－2】（2021·河北邯郸期末）可以表示（ ）
A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的负的平方根 D．的平方根
【答案】C.
【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为： ，
其中 为0.2的负的平方根
故答案为：C．
【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．9的平方根是3
B．的平方根是
C．任何一个非负数的平方根都是非负数
D．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数
【答案】D.
【解析】解：A、9的平方根是±3，错误；
B、−25的没有平方根，错误；
C、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；
D、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确．
故答案为：D．
【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若且的算术平方根为，则__________．
【答案】5.
【解析】解：∵b的算术平方根为4，
∴b=16，
∴16=a3-109
∴a =5．
故答案为：5．
【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．非负数才有平方根 B．非负数的算术平方根是非负数
C．任何数都有两个平方根 D．负数没有平方根
【答案】C.
【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确；
B. 非负数的算术平方根是非负数，正确；
C. 0只有1个平方根，错误；
D. 负数没有平方根，正确．
故答案为：C．
【变式1－2】（2020·山东济南期中）若，则的立方根是______．
【答案】－1.
【解析】解：∵，
∴3+a=0， 2-b=0，
∴a=-3，b=2
∴a+b=-1
∴a+b的立方根-1．
故答案为：-1．
【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加__________．
【答案】1.
【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a，
∵体积为64m3，
∴a==4m；
设体积达到125m3的棱长为b，则b= =5m，
∴b-a=5-4=1（m）．
故答案为：1．
【变式1－4】对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．
（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？
（2）若与的值互为相反数，求的值．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）答案不唯一.
如：， 8与﹣8互为相反数；
（2）由已知，得（3﹣2x）+（x+5）＝0，
解得x＝8，
∴1=1=1﹣4＝﹣3．
【变式1－5】（2020·海伦市期中）的算术平方根是________，的相反数是________．
【答案】3；．
【解析】解：∵=9，9的算术平方根为3
∴的算术平方根是3.
的相反数是，
故答案为：3；．
【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知是大于小于的整数，的平方根是，
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.
【解析】解：∵，且a是大于小于的整数，
∴a=5
∵3a+b-1的平方根是±4，
∴3a+b-1=16
∴b=2
（2）当a=5，b=2时，a+2b=9
∴a+2b的平方根为：±3．
知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质
【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x的两个不同的平方根是与，则x的值是（ ）
A．11 B．121 C．4 D．
【答案】B.
【解析】解：由题意得：2a+3+a-15=0
解得：a=4
当a=4时，2a+3=11
则x=112=121.
故答案为：B．
【变式2－1】已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣3|（c﹣n）2＝0，a+b+c的立方根是多少？
【答案】（1）121；（2）2.
【解析】解：（1）由正数m的平方根互为相反数，得：
2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝112＝121；
（2）∵|a﹣3|（c﹣n）2＝0，
∴a＝3，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝3+0+5＝8，
∴a+b+c的立方根是2．
【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数的两个不同平方根分别是和，则______．
【答案】36.
【解析】解：由题意得：
2x-2+6-3x=0，
解得x=4，
2x-2=6，
a=62=36
故答案为：36.
【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B.
【解析】解：由题意得：
x+2=0，y-2=0
∴x=-2，y=2
∴ =-1
故答案为：B.
【例2－3】（陕西西安月考）已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．
【答案】0或﹣1或﹣.
【解析】解：∵﹣2x﹣1＝0，
∴＝2x+1，
∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，
解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．
故答案为：0或﹣1或﹣．
知识点三：综合题型
【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x的值
（1）；（2）
【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．
【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16，
x+1=4或x+1=-4
x=3或x=-5
（2）（2x-1）3=-27
2x-1=-3
x=-1
【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】见解析.
【解析】解：(1)4x2=12
x2=3
x=或x=-
(2)（x-2）2=
x-2=或x-2=-
x=或x=-
【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m3=8，n2=9，且mn＜0，求m2-2mn+n2的值．
（2）已知=5，b2=9，（c-1）2=4，且ab＞0，bc＜0，求式子ab-bc-ca的值．
【答案】（1）25；（2）23或39.
【解析】解：（1）由m3=8，得m=2，
由n2=9，得n=±3，
由mn＜0，得：m=2，n=-3
当m=2，n=-3时，
m2-2mn+n2=4+12+9=25
（2）由题意知a=±5，
由b2=9得：b=±3，
由（c-1）2=4，得：c=3或-1
∵ab＞0，bc＜0
∴a、b同号，b、c异号
当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23
当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39．
【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．
（1）已知2x+3与x-18是某数的平方根，求x的值及这个数．
（2）已知，求d+c的平方根．
【答案】（1）x=5，169或x=-21，1521；（2）±3.
【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x-18=0，
解得：x=5
这个数是（2×5+3）2=169.
②2x+3=x-18，解得x=-21
这个数是（-21-18）2=1521；
（2）由题意得：2c-d=0，d2-36=0，
解得：d=±6，c=±3．
当d=-6，c=-3时，d+c=-9（没有平方根），
当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．
【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．
下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：

（1）列式，并计算：
①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是55，a是多少？
【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．
【解析】解：（1）①
=(-6+5)2+6
=1+7
=7
②，
=(5+5)2×2+6
=100×2+6
=206
（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，
整理得：（a+6）2=25，
a+6=5或a+6=-5
∴a=-1或a=-11.
【变式4－1】已知2x+1的算术平方根是0，4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的值．
【答案】12.
【解析】解：∵2x+1的算术平方根是0，
∴2x+1＝0，
∴2x＝﹣1，
∵4，
∴y＝16，
∵z是﹣27的立方根，
∴z＝﹣3，
∴2x+y+z＝﹣1+16﹣3＝12.
【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：

当输入的x值为64时，输出的y值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B.
【解析】解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．
故答案为：B．
【例5－1】（2020·浙江期中）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（　　　）
A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3
【答案】C.
【解析】解：．
故答案为：C．
【例5－2】（2020·哈尔滨月考）若，，则______．
【答案】0.07746.
【解析】解：
故答案为：0.07746．
【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【解析】解：（1）①∵，1000＜195112＜1000000
∴101
∴>0.5
故答案为：＞．
【例6－4】对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，现对85进行如下操作：，这样对85只需3次操作后就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．
【答案】255.
【解析】解：设，x为正整数，则，
∴1≤y