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数学人教版9.3 一元一次不等式组学案
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这是一份数学人教版9.3 一元一次不等式组学案，共21页。学案主要包含了巩固练习，知识点梳理等内容，欢迎下载使用。
9.3 一元一次不等式组
【总结解题方法 提升解题能力】
【知识点梳理】
一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．
二、解一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种基本类型如下表所示：
不等式组（a>b）
不等式组的解集
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小无解了
2、一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
第一步：分别求出不等式组中各个不等式的解集；
第二步：利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.
三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
一、不等式组的概念
1、下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、在下列各选项中，属于一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
3、某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．
二、解一元一次不等式组
1、解不等式组
2、解下列不等式组：
(1) （2）．
3、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
4、试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．
5、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．
三、一元一次不等式组的应用
1、“六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．
2、一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得的利润；若按原价的九折销售，可获得不足的利润，此商品原价在什么范围内？
3、“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
4、A地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．
（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？
【巩固练习】
一、选择题。
1、下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、不等式组的解集在数轴上表示为（ ）。
3、在直角坐标系中，点P(2x–6，x–5)在第四象限，则x的取值范围是（ ）。
A、3
A、m=3 B、m＞3 C、m＜3 D、m≥3
5、若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
6、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ( )
A、a＜1 B、a≤l C、1 D、a≥1
7、关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )
A、6＜m＜7 B、6≤m＜7 C、6≤m≤7 D、6＜m≤7
8、某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（ ）。
A、20人 B、19人 C、11人或13人 D、20人或19人
9、现用甲、乙两种运输车将46t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t，乙种运输车载重4t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．
A、4辆 B、5辆 C、6辆 D、7辆
10、某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（ ）
A、10km B、9 km C、8km D、7 km
二、填空题。
1、不等式组的解集是 ．
2、不等式组–1<≤2的所有整数解的和是_______.
3、已知，且，则k的取值范围是________．
4、若关于x的不等式组的解集为–1
三、简答题。
1、解不等式组：（1）． （2）．
2、若不等式组的解集为–1
3、若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．
4、已知：关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值．
（1）求的范围；
（2）化简|8+11|-|10+1|．
四、应用题。
1、我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？
2、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元，售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
（1）试求该商品的进价和第一次的售价；
（2）为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？
3、某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
4、郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?
5、现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元.
（1）求A，B两种商品每件各是多少元；
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低.
6、“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
参考答案
一、不等式组的概念
1、下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不符合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不符合题意； 故选C．
2、在下列各选项中，属于一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】A、中，x=1是等式，故A不是一元一次不等式组；
B、中，x2–1＞–3中x的最高次数是2，故B不是一元一次不等式组；
C、中含有两个未知数，因此C不是一元一次不等式组；
D、中，2x2+x≤2(x2–1)化简后为x≤–2，是一元一次不等式，故D是一元一次不等式组； 故选D.
3、某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．
【解析】解：依题意得：
二、解一元一次不等式组
1、解不等式组
【解析】解：解不等式①，得x≥1
解不等式②，得x＜4
所以，不等式组的解集是1≤x＜4．
2、解下列不等式组： (1) （2）．
【解析】解：(1)解不等式①，得x＜-2
解不等式②，得x≥-5
故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．
其解集在数轴上表示如图所示．
（2） 原不等式可变为：
解①得：
解②得：
故原不等式组的解集为．
3、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解析】解：，
∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．
在数轴上表示不等式组的解集为：
4、试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．
【解析】解：由不等式，去分母得3x+2(x+1)＞0，
去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞．
由不等式去分母得：3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．
所以原不等式组的解集为，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，
故有：1＜2a≤2，所以：≤１．
5、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．
【解析】解：解第一个不等式，得解集，解第二个不等式，得解集，
∵不等式组的解集为x＞2，∴，即，又为自然数，
∴或1或2．
三、一元一次不等式组的应用
1、“六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．
【解析】解：设有x名学生，根据题意，得：，
不等式(1)的解集是：x＜；不等式（2）的解集是：x＞20，
所以，不等式组的解集是：20＜x＜，
因为x是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）
答：这批树苗共有121棵.
2、一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得的利润；若按原价的九折销售，可获得不足的利润，此商品原价在什么范围内？
【解析】解：设这件商品原价为元，根据题意可得：
；解得：
答：此商品的原价在元（包括元）至40元范围内．
3、“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
【解析】解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：，解得：，
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
，解得：，
因为取整数，所以x取26，27，28；
方案一：文学名著26本，动漫书46本；
方案二：文学名著27本，动漫书47本；
方案三：文学名著28本，动漫书48本．
4、A地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．
（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？
【解析】解：（1）设租甲种货车辆，则租乙种货车（）辆，依题意得：
，解得，
又为整数，所以或6或7，∴有三种方案：
方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；
方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．
（2）运输费用：
方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；
方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．
【巩固练习】
一、选择题。
1、下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D；
【解析】解：A、含有两个未知数，错误；B、未知数的次数是2，错误；
C、含有两个未知数，错误；D、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.
2、不等式组的解集在数轴上表示为（ ）。
【答案】A；
【解析】解不等式组可得：．
3、在直角坐标系中，点P(2x–6，x–5)在第四象限，则x的取值范围是（ ）。
A、3
【解析】由题意得，，解得，，故选A．
4、关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）。
A、m=3 B、m＞3 C、m＜3 D、m≥3
【答案】D；
【解析】解：不等式组变形得：，由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3，故选D.
5、若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A；
【解析】原不等式组可化为而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法“大小小大中间找”可知m≤．
6、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ( )
A、a＜1 B、a≤l C、1 D、a≥1
【答案】B；
【解析】原不等式组可化为根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a≤1．
7、关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )
A、6＜m＜7 B、6≤m＜7 C、6≤m≤7 D、6＜m≤7
【答案】D；
【解析】解得原不等式组的解集为：3≤x＜m，表示在数轴上如下图，由图可得：6＜m≤7．
8、某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（ ）。
A、20人 B、19人 C、11人或13人 D、20人或19人
【答案】D；
9、现用甲、乙两种运输车将46t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t，乙种运输车载重4t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．
A、4辆 B、5辆 C、6辆 D、7辆
【答案】C；
【解析】设甲种运输车安排x辆，5x+4（10-x）≥46，x≥6，故至少要甲种运输车6辆．
10、某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（ ）
A、10km B、9 km C、8km D、7 km
【答案】B；
【解析】设这人乘的路程为xkm，则13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解得8＜x≤9.
二、填空题。
1、不等式组的解集是 ．
【答案】﹣1≤x＜3；
【解析】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，故答案为：﹣1≤x＜3．
2、不等式组–1<≤2的所有整数解的和是_______.
【答案】0
【解析】–1<≤2，同时乘以5，得–5<3x+4≤10，同时减去4，得–9<3x≤6，同时除以3，得–3
3、已知，且，则k的取值范围是________．
【答案】＜k＜1；
【解析】解出方程组，得到x，y 分别与k的关系，然后再代入不等式求解即可．
4、若关于x的不等式组的解集为–1
【解析】，∵解不等式①得：x>2a+1，解不等式②得：x<2–b，∴不等式组的解集为2a+1
【答案】7， 37；
【解析】设有x个儿童，则有0＜(4x+9)-6(x-1)＜3．
三、简答题。
1、解不等式组：（1）． （2）．
【解析】解：（1），由不等式，得x≥1，由不等式，得x<2，
所以，原不等式组的解集为1≤x<2.
解：（2），由不等式①，得x<，由不等式②，得x≥–2，故知不等式组的解集为–2≤x<.
2、若不等式组的解集为–1
3、若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．
【解析】解：，①+②得2x=4m﹣2，解得x=2m﹣1，
②﹣①得2y=2m+8，解得y=m+4，
∵x的值为负数，y的值为正数，∴，∴﹣4＜m＜．
4、已知：关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值．
（1）求的范围；
（2）化简|8+11|-|10+1|．
【解析】解：（1）解方程组，得
根据题意，得
解不等式①得．解不等式②得＜5，解不等式③得，①②③的解集在数轴上表示如图．
∴ 上面的不等式组的解集是．
（2）∵ ．
∴ 8+11＞0，10+1＜0．
∴ |8+11|-|10+1|＝8+11-[-(10+1)]＝8+11+10+1＝18+12．
四、应用题。
1、我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？
【解析】解：设小军答对道题，依题意得：3x－（20 －x），
解得：.
∵x为正整数，∴x的最小正整数为18.
答：小军至少要答对18道题.
2、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元，售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
（1）试求该商品的进价和第一次的售价；
（2）为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？
【解析】（1）解：设该商品的进价为X元，第一次的售价为Y元。
由题意，得，解得
答：该商品的进价为90元，第一次的售价为120元。
（2）设剩余商品的售价为a元，由题意得：
30×65%m+18×25%m+（a-90）（1-65%-25%）m≥90m×25%
解得：a≥75
答：剩余商品的售价为a元。
3、某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【解析】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．
根据题意得：；解得：
所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．
（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个．
根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200
解得x≥26，
又∵排球的个数小于30个，∴排球的个数可以为27，28，29，
∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低．
29×50+21×80=1450+1680=3130元．
4、郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?
【解析】解：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x-8)元．根据题意得：
3x+2(x-8)＝124
解得：x＝28．
∴ x-8＝20．
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．
（2）解：设购买书包y个，则购买词典(40-y)本．根据题意得：
，
解得：10≤y≤12.5．
因为y取整数，所以y的值为10或11或12．
所以有三种购买方案，分别是：
①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本．
5、现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元.
（1）求A，B两种商品每件各是多少元；
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低.
【解析】（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，
依题意，得，解得．
答：A商品每件20元，B商品每件50元．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10–a）件，
根据题意得，解得，
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10–5）=350（元）；
方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10–6）=320（元）；
∵350＞320，∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．
6、“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【解析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，
根据题意，得：，解得：．
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40–m）人清理捕鱼网箱，
根据题意，得：，解得：18≤m＜20，
∵m为整数，∴m=18或m=19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
9.3 一元一次不等式组
【总结解题方法 提升解题能力】
【知识点梳理】
一、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．
二、解一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种基本类型如下表所示：
不等式组（a>b）
不等式组的解集
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小无解了
2、一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
第一步：分别求出不等式组中各个不等式的解集；
第二步：利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.
三、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
一、不等式组的概念
1、下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、在下列各选项中，属于一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
3、某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．
二、解一元一次不等式组
1、解不等式组
2、解下列不等式组：
(1) （2）．
3、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
4、试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．
5、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．
三、一元一次不等式组的应用
1、“六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．
2、一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得的利润；若按原价的九折销售，可获得不足的利润，此商品原价在什么范围内？
3、“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
4、A地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．
（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？
【巩固练习】
一、选择题。
1、下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、不等式组的解集在数轴上表示为（ ）。
3、在直角坐标系中，点P(2x–6，x–5)在第四象限，则x的取值范围是（ ）。
A、3
A、m=3 B、m＞3 C、m＜3 D、m≥3
5、若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
6、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ( )
A、a＜1 B、a≤l C、1 D、a≥1
7、关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )
A、6＜m＜7 B、6≤m＜7 C、6≤m≤7 D、6＜m≤7
8、某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（ ）。
A、20人 B、19人 C、11人或13人 D、20人或19人
9、现用甲、乙两种运输车将46t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t，乙种运输车载重4t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．
A、4辆 B、5辆 C、6辆 D、7辆
10、某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（ ）
A、10km B、9 km C、8km D、7 km
二、填空题。
1、不等式组的解集是 ．
2、不等式组–1<≤2的所有整数解的和是_______.
3、已知，且，则k的取值范围是________．
4、若关于x的不等式组的解集为–1
三、简答题。
1、解不等式组：（1）． （2）．
2、若不等式组的解集为–1
3、若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．
4、已知：关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值．
（1）求的范围；
（2）化简|8+11|-|10+1|．
四、应用题。
1、我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？
2、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元，售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
（1）试求该商品的进价和第一次的售价；
（2）为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？
3、某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
4、郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?
5、现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元.
（1）求A，B两种商品每件各是多少元；
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低.
6、“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
参考答案
一、不等式组的概念
1、下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不符合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不符合题意； 故选C．
2、在下列各选项中，属于一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】A、中，x=1是等式，故A不是一元一次不等式组；
B、中，x2–1＞–3中x的最高次数是2，故B不是一元一次不等式组；
C、中含有两个未知数，因此C不是一元一次不等式组；
D、中，2x2+x≤2(x2–1)化简后为x≤–2，是一元一次不等式，故D是一元一次不等式组； 故选D.
3、某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．
【解析】解：依题意得：
二、解一元一次不等式组
1、解不等式组
【解析】解：解不等式①，得x≥1
解不等式②，得x＜4
所以，不等式组的解集是1≤x＜4．
2、解下列不等式组： (1) （2）．
【解析】解：(1)解不等式①，得x＜-2
解不等式②，得x≥-5
故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．
其解集在数轴上表示如图所示．
（2） 原不等式可变为：
解①得：
解②得：
故原不等式组的解集为．
3、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解析】解：，
∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．
在数轴上表示不等式组的解集为：
4、试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．
【解析】解：由不等式，去分母得3x+2(x+1)＞0，
去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞．
由不等式去分母得：3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．
所以原不等式组的解集为，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，
故有：1＜2a≤2，所以：≤１．
5、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．
【解析】解：解第一个不等式，得解集，解第二个不等式，得解集，
∵不等式组的解集为x＞2，∴，即，又为自然数，
∴或1或2．
三、一元一次不等式组的应用
1、“六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．
【解析】解：设有x名学生，根据题意，得：，
不等式(1)的解集是：x＜；不等式（2）的解集是：x＞20，
所以，不等式组的解集是：20＜x＜，
因为x是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）
答：这批树苗共有121棵.
2、一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得的利润；若按原价的九折销售，可获得不足的利润，此商品原价在什么范围内？
【解析】解：设这件商品原价为元，根据题意可得：
；解得：
答：此商品的原价在元（包括元）至40元范围内．
3、“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
【解析】解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：，解得：，
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
，解得：，
因为取整数，所以x取26，27，28；
方案一：文学名著26本，动漫书46本；
方案二：文学名著27本，动漫书47本；
方案三：文学名著28本，动漫书48本．
4、A地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．
（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？
【解析】解：（1）设租甲种货车辆，则租乙种货车（）辆，依题意得：
，解得，
又为整数，所以或6或7，∴有三种方案：
方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；
方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．
（2）运输费用：
方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；
方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．
【巩固练习】
一、选择题。
1、下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D；
【解析】解：A、含有两个未知数，错误；B、未知数的次数是2，错误；
C、含有两个未知数，错误；D、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.
2、不等式组的解集在数轴上表示为（ ）。
【答案】A；
【解析】解不等式组可得：．
3、在直角坐标系中，点P(2x–6，x–5)在第四象限，则x的取值范围是（ ）。
A、3
【解析】由题意得，，解得，，故选A．
4、关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）。
A、m=3 B、m＞3 C、m＜3 D、m≥3
【答案】D；
【解析】解：不等式组变形得：，由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3，故选D.
5、若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A；
【解析】原不等式组可化为而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法“大小小大中间找”可知m≤．
6、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ( )
A、a＜1 B、a≤l C、1 D、a≥1
【答案】B；
【解析】原不等式组可化为根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a≤1．
7、关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )
A、6＜m＜7 B、6≤m＜7 C、6≤m≤7 D、6＜m≤7
【答案】D；
【解析】解得原不等式组的解集为：3≤x＜m，表示在数轴上如下图，由图可得：6＜m≤7．
8、某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（ ）。
A、20人 B、19人 C、11人或13人 D、20人或19人
【答案】D；
9、现用甲、乙两种运输车将46t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t，乙种运输车载重4t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．
A、4辆 B、5辆 C、6辆 D、7辆
【答案】C；
【解析】设甲种运输车安排x辆，5x+4（10-x）≥46，x≥6，故至少要甲种运输车6辆．
10、某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（ ）
A、10km B、9 km C、8km D、7 km
【答案】B；
【解析】设这人乘的路程为xkm，则13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解得8＜x≤9.
二、填空题。
1、不等式组的解集是 ．
【答案】﹣1≤x＜3；
【解析】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，故答案为：﹣1≤x＜3．
2、不等式组–1<≤2的所有整数解的和是_______.
【答案】0
【解析】–1<≤2，同时乘以5，得–5<3x+4≤10，同时减去4，得–9<3x≤6，同时除以3，得–3
3、已知，且，则k的取值范围是________．
【答案】＜k＜1；
【解析】解出方程组，得到x，y 分别与k的关系，然后再代入不等式求解即可．
4、若关于x的不等式组的解集为–1
【解析】，∵解不等式①得：x>2a+1，解不等式②得：x<2–b，∴不等式组的解集为2a+1
【答案】7， 37；
【解析】设有x个儿童，则有0＜(4x+9)-6(x-1)＜3．
三、简答题。
1、解不等式组：（1）． （2）．
【解析】解：（1），由不等式，得x≥1，由不等式，得x<2，
所以，原不等式组的解集为1≤x<2.
解：（2），由不等式①，得x<，由不等式②，得x≥–2，故知不等式组的解集为–2≤x<.
2、若不等式组的解集为–1
3、若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．
【解析】解：，①+②得2x=4m﹣2，解得x=2m﹣1，
②﹣①得2y=2m+8，解得y=m+4，
∵x的值为负数，y的值为正数，∴，∴﹣4＜m＜．
4、已知：关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值．
（1）求的范围；
（2）化简|8+11|-|10+1|．
【解析】解：（1）解方程组，得
根据题意，得
解不等式①得．解不等式②得＜5，解不等式③得，①②③的解集在数轴上表示如图．
∴ 上面的不等式组的解集是．
（2）∵ ．
∴ 8+11＞0，10+1＜0．
∴ |8+11|-|10+1|＝8+11-[-(10+1)]＝8+11+10+1＝18+12．
四、应用题。
1、我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？
【解析】解：设小军答对道题，依题意得：3x－（20 －x），
解得：.
∵x为正整数，∴x的最小正整数为18.
答：小军至少要答对18道题.
2、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元，售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
（1）试求该商品的进价和第一次的售价；
（2）为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？
【解析】（1）解：设该商品的进价为X元，第一次的售价为Y元。
由题意，得，解得
答：该商品的进价为90元，第一次的售价为120元。
（2）设剩余商品的售价为a元，由题意得：
30×65%m+18×25%m+（a-90）（1-65%-25%）m≥90m×25%
解得：a≥75
答：剩余商品的售价为a元。
3、某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【解析】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．
根据题意得：；解得：
所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．
（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个．
根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200
解得x≥26，
又∵排球的个数小于30个，∴排球的个数可以为27，28，29，
∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低．
29×50+21×80=1450+1680=3130元．
4、郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?
【解析】解：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x-8)元．根据题意得：
3x+2(x-8)＝124
解得：x＝28．
∴ x-8＝20．
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．
（2）解：设购买书包y个，则购买词典(40-y)本．根据题意得：
，
解得：10≤y≤12.5．
因为y取整数，所以y的值为10或11或12．
所以有三种购买方案，分别是：
①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本．
5、现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元.
（1）求A，B两种商品每件各是多少元；
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低.
【解析】（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，
依题意，得，解得．
答：A商品每件20元，B商品每件50元．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10–a）件，
根据题意得，解得，
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10–5）=350（元）；
方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10–6）=320（元）；
∵350＞320，∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．
6、“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【解析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，
根据题意，得：，解得：．
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40–m）人清理捕鱼网箱，
根据题意，得：，解得：18≤m＜20，
∵m为整数，∴m=18或m=19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
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