2022届重庆市巴蜀中学高三上学期9月高考适应性月考（二）数学试题（含解析）

巴蜀中学2022届高考适应性月考卷（二）

数  学

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知命题：，命题：，若命题是命题的充分不必要条件，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 展开式中的常数项为（    ）

A. 3 B. -3 C. 2 D. 9

5. 某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（    ）

A. 男生投篮水平比女生投篮水平高

B. 女生投篮水平比男生投篮水平高

C. 男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定

D. 男女同学投篮命中数的极差相同

7. 在棱长为2的正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，若平面平面，且平面与棱，，分别交于点，，，其中点是棱的中点，则三棱锥的体积为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

8. 已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.   B.

C.   D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（    ）

A. 从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为

B. 从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为

C. 从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为

D. 从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为

10. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ）

A. 是奇函数  B. 是周期为4的周期函数

C.   D.

11. 已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（    ）

A. 点的轨迹是椭圆

B. 点的轨迹是双曲线

C. 当点满足时，的面积

D. 当点满足时，的面积

12. 若函数存在两个极值点，，且，总有成立，则可以取的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 已知函数满足，当，，则__________.

14. 写出一个同时满足下列条件的复数__________.

①；②复数在复平面内对应的点在第四象限.

15. 某地举办庆祝建党100周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有15个参赛名额分配给甲乙丙丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有7个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种.

16. 对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数在上存在1级“平移点”，则实数的最小值为___________.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若（为的导函数），求函数的单调递增区间.

18. 某学校通过调查，了解了高三学生语文的学习情况.

（1）该校2000名高三学生语文考试成绩服从正态分布，，试估计这200名学生中大约有多少名同学语文考试成绩位于区间之内？（人数按四舍五入取整）

附：，则；；.

（2）小明调查了自己班级同学对语文学习的爱好情况，在学生对高中语文学习的爱好情况统计中，有21位男同学爱好学习高中语文，占所有男同学的；有4位女同学不爱好学习高中语文，占所有女同学的.完成下列列联表，并根据列联表，回答是否有的把握认为学生是否爱好学习高中语文与学生性别有关.

参考公式和数据：

19. 如图，在四棱锥中，四边形的对角线互相平分，；在直角边长为2的等腰直角中，；在等腰直角中，，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

20. 肺结核是一种慢性传染性疾病，据统计，一个开放性肺结核患者可传染20~30个健康人，我国每年2000万~ 4000万健康人感染肺结核.其中检验健康人是否感染肺结核是阻止其传播和流行的重要手段.现在采集了七份样品，已知其中只有一份样品是阳性（即感染了肺结核），需要通过检验来确定哪一个样品是阳性.下面有两种检验方案：

方案：逐个检验，直到能确定阳性样品为止；

方案：先把其中五份样品混在一起检验，若检验为阴性，则在另外两份样品中任取一份检验，若五份样品混在一起检验结果为阳性，则把样品中这五份逐个检验，直到能确定阳性样品为止.

（1）若采用方案，求恰好检验3次的概率；若采用方案，求恰好检验3次的概率；

（2）记表示采用方案所需检验次数，求的分布列和期望；

（3）求采用方案所需检验次数小于或等于采用方案所需检验次数的概率.

21. 在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知斜率之和为-1的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

22. 已知函数.

（1）若函数在处取得极值，求实数的值；

（2）当时，不等式对于恒成立，求实数的值.

巴蜀中学2022届高考适应性月考卷（二）

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

【解析】

1. ，，，故选B.

2. ，，所以，故选D.

3. ：，：，由是的充分不必要条件，所以：，且，，故选A.

4. 常数项为，故选B.

5. 因为该公司2020年总收入为200亿元，预计每年总收入比前一年增加 20亿元，所以2025年的总收入为300亿元；因为要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，所以2025年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为，故选A.

6. 由图可知，，，，

以，，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选C.

7. 易知点，，为中点，，且，，两两垂直，所以三棱锥的体积为，故选D.

8. 设，其判别式，所以函数一定有两个零点，设函数的两个零点为，，且，由，得，，所以函数，①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故；②当时，，所以，所以，因为在上单调递增，所以在上也单调递增，，，因为在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，综上所述：实数的取值范围是，故选D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

【解析】

9. 对选项A从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率，故选ACD.

10. 对选项A，由的图象关于直线对称，有，即为偶函数，故A错；对选项B，取代入，有，所以，故函数为周期的周期函数，故B对；对选项C，，故C对；对选项D，对任意的，且，都有，所以函数在区间单调递增，，故D错，故选BC.

11. 依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，，从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线.故A错，B对；选项C，点的轨迹方程为，当时，，所以，故C对；选项D，当时，，所以，故D对，故选BCD.

12. 由，所以，为的两根，且，，，所以，得，，所以成立，即，即，令，则，所以在单调递减，，所以，又，故选AB.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13. ，.

14. （符合条件即可）.

15. 法一：由题意，15个名额分成4份有、、、、，∴四个单位分配的方案：；四个单位分配的方案：；四个单位分配的方案：；四个单位分配的方案：；四个单位分配的方案：；∴一共有种领取方案.

法二：（采用隔板法）有7个名额的队伍只能有一个，剩余8个名额用隔板法分给其他3个队伍，这样：.

16. 已知函数在上存在1级“平移点”，则有解，即：，得：，所以在上有解，令，，，所以有：在上单调递增，这样，所以，.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解：（1）若，则，∴，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即.

（2）所以，列表如下：

所以，函数的增区间为，.

18. 解：（1）这2000名学生中大约有1909名同学语文考试成绩位于区间之内.

（2）列联表如下：

∴，

所以没有的把握认为学生是否爱好学习高中语文与学生性别有关.

19.（1）证明：∵四边形的对角线互相平分，

，

∴为的中点，

又∵为的中点，

∴，

∵平面，

平面，

∴平面.

（2）解：∵在等腰直角中，又为的中点，

∴，

又，∵，平面，平面，

∴平面.

以点为坐标原点，以，分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

∵，，

∴，，，

∵，，

∴，，

∵，，，

∴，

∴，，，，

，，，

设平面和平面的法向量分别为，，

由，得，

令，可得，

由，得，

令，可得，

，所以二面角的正弦值为.

20. 解：（1）若采用方案，恰好检验3次的概率；

若采用方案，恰好检验3次的概率.

（2）方案中，检测次数可能取值为1，2，3，4，5，6.

当时，；

当时，.

∴数学期望.

（3）方案中，检验次数可能取值为2，3，4，5.

，

，

，

；

方案所需检验的次数不少于方案的概率，，

或

.

21. 解：（1）由题意，动点到点的距离等于到直线距离，

所以曲线的方程为.

（2）设，的方程分别为，，

联立方程组，整理得，

所以，则，同理，

所以，由，可得，

所以直线的方程为，整理得，

所以直线恒过定点.

（也可以设，的方程分别为，）

22. 解：（1）因为，所以，

因为在处取极值，所以，所以，

所以，

检验：当时，，

所以在处取极值，符合题意.

（2）当时，，由题知时，，

所以时，，

令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，

故问题转化为“，恒成立”，不妨设，所以，

当时，，

所以在上单调递增，且，

所以当时，，这与题意不符；

当时，令，解得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

所以，所以，

记，，

当时，，单调递减，当时，

，单调递增，

所以，

又因为，即，所以.

（也可直接讨论函数的单调性）