专题05 三角函数的图象及性质（解析版）

这是一份专题05 三角函数的图象及性质（解析版），共56页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题05 三角函数的图象及性质
一、单选题
1．（2022·江苏海安·高三期末）函数的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由给定解析式及图象确定值的表达式，再逐项分析判断作答.
【详解】
依题意，点是函数的图象对称中心，且在函数的一个单调增区间内，
则，即，，
令函数周期为，由图象知，即有，而，则有，
因此，，解得，而，则，，，
由得函数图象的对称轴：，
当时，，当时，，当时，，即选项A，B，D不满足，选项C满足.
故选：C
2．（2022·江苏海安·高三期末）通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意作出图形，由三角形的边角关系以及正弦定理结合同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式即可求解.
【详解】

如图：，，，
在中，，
所以，，
因为，
所以，，
在中，由正弦定理可得：即，
所以,
整理可得：，
所以，
故选：A.
3．（2022·江苏如东·高三期末）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号获得广泛应用.已知某个信号的波形可以表示为f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x.则（ ）
A．f(x)的最大值为3 B．π是f(x)的一个周期
C．f(x)的图像关于(π，0)对称 D．f(x)在区间上单调递增
【答案】C
【分析】
由函数解析式判断各选项中的性质可得．
【详解】
取最大值1时，，，取最大值1时，，取最大值1时，，三者不可能同时取得，因此，A错；
与不可能恒相等，不可能是周期，B错；
，
所以的图象关于点对称，C正确；
函数图象是连续的，
而，，因此在上不可能递增，D错误．
故选：C．
4．（2022·江苏如皋·高三期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】B
【分析】
利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】


，
故选：B
5．（2022·江苏常州·高三期末）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别判断函数和的最小正周期，从而可得出答案.
【详解】
解：因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
且，
.
故选：C.
6．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，则该函数的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间.
【详解】
令，
解得，
所以函数的增区间是.
故选：C.
7．（2022·广东潮州·高三期末）己知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用诱导公式和二倍角公式化简计算.
【详解】
解：.
故选：A
8．（2022·广东东莞·高三期末）若，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据，和，即可得到，进而求出结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，即，所以，
故选：B.
9．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【分析】
先以偶函数定义去判断选项A的正误，再以奇函数的定义去判断选项B、C、D的正误.
【详解】
选项A:
，
是奇函数，判断错误；
选项B:
,
是偶函数，判断错误；
选项C:
，
是奇函数，判断正确；
选项D:
，
是偶函数，判断错误.
故选：C
10．（2022·广东罗湖·高三期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用三角函数诱导公式将所求式子转化后即可得出结论.
【详解】
，.
故选：D.
11．（2022·广东佛山·高三期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用诱导公式求出，再用平方关系求出即可计算作答.
【详解】
因，则，而，于是得，
所以.
故选：A
12．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）

A．若，则函数f(x)的值域为
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．函数f（x）的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】A
【分析】
结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得．
【详解】
由题图及五点作图法得，，，
则，，故.
由，得，
故，函数f(x)在区间上不是增函数，故A正确，C错误；
∵当时，，
所以点不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；
由，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D错误.
故选：A．
13．（2022·湖南娄底·高三期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得，由可求得，结合函数的单调性可得出关于的不等式，由此可得出的最大值.
【详解】
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象.
因为，所以，
因为在上单调递减，所以，，所以的最大值为.
故选：B.
14．（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由对称性先求出的解析式，再由平移得出的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域.
【详解】
设为的图像上一点，则点关于直线对称的点为
由题意点在函数的图象上，则
所以，则
当时，，则
所以
故选：C
15．（2022·湖北江岸·高三期末）计算（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值
【详解】

故选：B
16．（2022·湖北江岸·高三期末）下列四个函数中，以为最小正周期，其在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对于A，符合题中要求，对于B, 不是周期函数，对于C，D，,在上都不是单调函数，由此可判断正确答案.
【详解】
的最小正周期为，在上单调递减，符合题意，故A正确；
不是周期函数，故B错误；
中，，则，故中在时不是单调函数，故C错误；
，则，故中在时不是单调函数，故D错误，
故选：A.
17．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用倍角公式可得，再利用弦化切，即求.
【详解】
∵,
∴

.
故选：B．
18．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以齐次式法去求值即可解决.
【详解】

故选：A
19．（2022·湖北·高三期末）若点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将点化简，得，结合同角三角函数先求出，再结合二倍角公式求出即可
【详解】
由得，
则，.
故选：A.
20．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数，，，若的最小值为，且的图像关于点对称，则函数的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意分别求出与，即求出的解析式，再求出的对称轴，找到离原点最近的对称轴方程即可.
【详解】
由，，的最小值为知，
，，
.
的图像关于点对称，

.
.
的对称轴为.
.
当时，是离原点最近的对称轴方程.
故选：B.
21．（2022·山东青岛·高三期末）已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．
【详解】
因为，，
所以角的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知
，
故角的最小正值为．
故选：D．
22．（2022·山东枣庄·高三期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设此圆锥的底面半径为，高为，母线长为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高，进而求得体积.
【详解】
设此圆的底面半径为，高为，母线长为，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，
∴，又，解得，
因此，此圆锥的高．
圆锥的体积为
故选：C．
23．（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，得到，令，利用导数求得在上单调递增，得到，得出，进而得到 ，即可求解.
【详解】
因为，且在为单调递增函数，
所以，即，
令，可得，
当时，单调递减，所以在单调递增，且，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，且，
所以，即，即，所以，
又因为，所以.
故选：D.
24．（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角恒等变换公式化简求值得解.
【详解】
解：.
故选：A
25．（2022·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
第三或第四象限角，不含终边在y轴负半轴.
【详解】
对于A：第三或第四象限角，以及终边在y轴负半轴，故A错误；
对于B：第二或第三象限角，以及终边在x轴负半轴，故B错误；
对于C：第二或第三象限角，故C错误；
对于D：第三或第四象限角，故D正确.
故选：D
26．（2022·山东莱西·高三期末）要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】
首先利用诱导公式统一函数名，即，然后根据平移变换即可求解.
【详解】
解：因为函数，
所以要得到的图象，只需将的图象向右平行移动个单位长度，
故选：C.
27．（2022·山东青岛·高三期末）已知，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
A.构造函数，利用其单调性比较大小；
B.构造函数，利用其单调性比较大小；
C.构造函数及函数，利用其单调性比较大小；
D.将转化为，判断的大小关系即可.
【详解】
，则，且，
A.因为函数在上单调递减，故，A错误；
B.因为函数在上单调递减，故，B错误；
C.因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， ，C正确；
D.

，
又，，D错误；
故选：C.
28．（2022·山东德州·高三期末）若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】
利用辅助角公式化简函数的解析式，由的最小值为函数的最小正周期的，可求得函数的最小正周期，进而可求得正数的值.
【详解】
，
所以，
因为的最小值为函数的最小正周期的，
所以，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：A
29．（2022·山东济南·高三期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由函数的部分图象，即可求出的值，即可求出结果．
【详解】
由图象可知，，所以，
又过点，所以，且
即，所以，即，
又，所以，所以.
故选：A.
30．（2022·山东临沂·高三期末）已知，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】
先根据求出，进而求出
【详解】
∵，∴，故
故选：B
31．（2022·河北深州市中学高三期末）函数在上的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用函数的奇偶性排除部分选项，再由函数的值域判断.
【详解】
∵，
∴为偶函数，故排除A，B．
∵，，
∴，故排除C，
故选：D．
32．（2022·河北深州市中学高三期末）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得；
【详解】
解：
．
故选：C
33．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右移个单位
【答案】D
【分析】
先对函数的解析式进行整理，再结合三角函数的平移规律即可得到结论．
【详解】
因为：．
所以：函数的图象向右平移个单位，
可得到函数的图象．
故选:D.
34．（2022·河北保定·高三期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．的图象关于点对称
D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数的周期性定义和三角函数的对称性的概念，即可判断选项A，C是否正确；当时，易得，再根据，即可判断B是否正确；由函数的单调性，可知在上单调递增，再根据，由单调性新即可判断D是否正确.
【详解】
因为函数，所以的最小正周期为，故A错误；
当时，，所以，所以，而，所以，故B错误；
若的图象关于点对称，则，
又，

所以，故C错误；
由于函数的图象是将函数在轴下方的图象翻折到轴上方，所以可知在上单调递增，
令，
所以在区间上单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以，故D正确.
故选：D.
35．（2022·山东淄博·高三期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.
【详解】

.
故选：A.
36．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】
根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】
因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
37．（2022·湖南常德·高三期末）若，则cos2α的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据二倍角公式以及商数关系即可求出．
【详解】
．
故选：C．
38．（2022·江苏扬州·高三期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简已知条件，求得，进而求得.
【详解】
由题意可知，，
即，解得，
所以.
故选：B

二、多选题
39．（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数(ω>0)，下列说法中正确的有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在上是单调增函数
B．若，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在上有且仅有3个零点，则
【答案】BD
【分析】
化简函数f(x)的表达式，再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答.
【详解】
依题意，，
对于A，，，当时，有，因在上不单调，
所以在上不单调，A不正确；
对于B，因，则是函数图象的一条对称轴，，
整理得，而，即有，，B正确；
对于C，，，依题意，函数，
这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；
对于D，当时，，依题意，，解得，D正确.
故选：BD
40．（2022·江苏通州·高三期末）已知函数 (A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）

A．
B．是偶函数
C．当时，f(x)的最大值为1
D．若，则的最小值为π
【答案】AC
【分析】
根据图象求得，根据三角函数的奇偶性、最值等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
由图可知，A选项正确.
，
，
所以.
为奇函数，B选项错误.
，
，C选项正确.
，
若，则，，
，，
，
当时，取得最小值为，D选项错误.
故选：AC
41．（2022·江苏宿迁·高三期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象如图，则（ ）

A．为奇函数
B．在区间上单调递增
C．方程在内有个实数根
D．的解析式可以是
【答案】BC
【分析】
利用图象可求得函数的解析式，利用函数图象平移可求得函数的解析式，可判断D选项；计算可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；当时，求出方程对应的可能取值，可判断C选项.
【详解】
由图可知，函数的最小正周期为，，，
所以，，则，可得，
所以，，得，
因为，则，所以，，
将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，
故.
对于A选项，因为，故函数不是奇函数，A错；
对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B对；
对于C选项，由，可得，
当时，，所以，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
42．（2022·江苏如皋·高三期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据给定条件利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再逐项分析判断作答.
【详解】
依题意，，
对于A，，而，
即，，A正确；
对于B，，，
即，B正确；
对于C，取，，C不正确；
对于D，因，，则，D正确.
故选：ABD
43．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数，则（ ）
A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数
B．当n=3时，f(x)在[0，]上的最小值为
C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是
D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线对称
【答案】BD
【分析】
通过判断的值，判断A的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求解最大值，判断B的正误；求出函数的单调增区间判断C的正误；判断，判断D的正误．
【详解】
解：对于A，取，则，从而，此时不是奇函数，则A错误；
对于B，当时，，
当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，当时，，
令，则，
所以的递增区间为，则C错误；
对于D，因为，所以的图象关于直线对称，则D正确；
故选：BD.
44．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数，若且对任意都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称
D．的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称
【答案】BD
【分析】
先根据条件求得b值，根据可知为函数最大值，据此列出关于a的方程，求出a值，得到函数f(x)的解析式，结合辅助角公式和诱导公式，可判断A、B的正误，再根据三角函数图象的变换规律，可判断B、D的正误.
【详解】
，
，
又对任意都有，
则为 的最大值，
，
整理得： ，则 ，
所以 ，
因此A选项错误，B正确；
的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为：
，该函数图象不关于原点对称，故C错误；
的图象向右平移个单位后，得到函数 的图象，
该图象关于y轴对称，故D正确，
故选：BD
45．（2022·广东汕尾·高三期末）设函数，下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数有且只有两个零点
C．函数的值域是
D．对任意两个不相等正实数，若，则
【答案】CD
【分析】
利用导数判断时，的单调性，根据单调性可求值域，然后结合时，，从而可判断选项A，C；
首先利用导数判断时，的零点个数；然后再利用单调性判断时，的零点个数，从而可判断选项B；
不妨设，根据题意把要证明，转化为证明；然后构造函数，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D.
【详解】
当时，，所以，
所以当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
故时，，
又当时，，所以，，
所以函数在单调递增，所以A错误，C正确；
当时，令，则，
所以在单调递减，所以当时，，
所以函数在上没有零点；
当时，，所以只需求函数在上零点个数，
又因为在上单调递减，且，
所以函数在上只有一个零点．
所以函数有且仅有一个零点，所以B错误；
当时，若，因为函数在单调递增，在单调递减，
所以不妨设，则，
所以要证，只需证，即只需证，
又因为，所以只需证.
因为，
所以令函数，
则，
所以在单调递增，所以，
即恒成立，所以，
即，所以，
从而成立. 所以选项D正确.
故选：CD.
46．（2022·广东清远·高三期末）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数，则（ ）
A．的最小值是
B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期是
D．的单调递增区间是
【答案】ACD
【分析】
根据题意先求出，进而求出，然后通过两角和与差的余弦公式进行化简，最后结合三角函数值的图象和性质求得答案.
【详解】
由题意知，，则，的最小值是，最小正周期是，故A，C正确；
令，得，若，则，故B错误；
令，得，即的单调递增区间是，故D正确．
故选：ACD.
47．（2022·广东汕尾·高三期末）以下关于函数的命题，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线的函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向右平移个单位后得到的函数的图象关于原点对称
【答案】AD
【分析】
整理可得，代入周期公式，可判断A的正误，根据可判断B的正误，根据可判断C的正误，求得平移后的解析式，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
由题意得，所以最小正周期，所以A对．
，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B错．
，所以点是函数图象的一个对称中心，所以C错．
将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为，是奇函数，所以D对．
故选：AD．
48．（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．当时，在上有4个极值点
D．若在上单调递增，则的最大值为5
【答案】BCD
【分析】
利用题目已知条件，求出，再结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】
∵
∴，且，
∴，即为奇数，
∴为偶函数，故A错.
由上得：为奇数，∴，故B对.
由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，

∵在上单调，所以,解得：，又∵，
∴的最大值为5，故D对
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.
49．（2022·湖南郴州·高三期末）已知函数的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为的等差数列，函数的图像关于原点对称，则（ ）
A．在在单调递增
B．，
C．把的图像向右平移个单位即可得到的图像
D．若在上有且仅有两个极值点，则的取值范围为
【答案】BD
【分析】
由已知条件可求得，，利用正弦函数的单调性可判断A；利用函数和的值域可判断B；利用图像平移的规律可判断C；利用极值点的定义可列出关于a的不等式，解之可判断D.
【详解】
由题意可知，函数两个相邻的零点之差的绝对值为，
设函数的周期为，则，即，即，
又，，

又函数的图像关于原点对称，即为奇函数，
，，又，
，
对于A，，，，结合正弦函数性质知在在不单调，故A错误；
对于B，，函数的值域为，函数的值域为，所以，故B正确；
对于C，的图像向右平移个单位得到，故C错误；
对于D，，，，利用正弦函数的性质知，要使函数在上有且仅有两个极值点，则需满足，解得，所以的取值范围为，故D正确；
故选：BD
50．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，点的纵坐标越来越小
D．当时，
【答案】CD
【分析】
利用周期求出点所在角的终边对应的角，根据三角函数的定义可得，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】
因为，所以，
因为旋转一周用时6秒，所以角速度，
所以，
所以根据三角函数的定义可得，
所以，所以A错误，
对于B，当时，，则函数在此区间上不单调，所以B错误，
对于C，当时，，所以函数在上单调递减，所以点的纵坐标越来越小，所以C正确，
对于D，当时， ，所以，因为，所以，所以D正确，
故选：CD
51．（2022·湖北·高三期末）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点中心对称
C．在区间上单调递增 D．的值域为
【答案】BD
【分析】
根据的周期性、对称性、单调性、值域等知识确定正确选项.
【详解】
，所以A选项错误.
，，
，
所以的图象关于点中心对称，B选项正确.
，，所以C选项错误.
，
所以的值域为，D选项正确.
故选：BD
52．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知函数相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数在区间上的值域为
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得的图象
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
化简函数解析式根据周期求出，利用正弦型函数的对称性判断A，根据正弦型函数在区间上的值域判断B，由图象的伸缩与平移变换判断C，由三角恒等变换后求值判断D.
【详解】
由题意，化简得，
由题意知周期，得，
所以，当时，，故A项正确；
当时，，故，故B项错误；
将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，再向左平移个单位，可得，故C项正确；
由可得：，
于是，故D项正确.
故选：ACD
53．（2022·山东青岛·高三期末）对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．若恒成立，则的最小值为
B．当时，是单调增区间
C．当时，的图象关于对称
D．当时，的图象可由的图象向右移个单位得到
【答案】BCD
【分析】
对于A，分析可得，求出正数的最小值，可判断A的正误；利用正弦型函数的单调性可判断B的正误；利用正弦型函数的对称性可判断C的正误；利用诱导公式以及三角函数图象变换可判断D的正误.
【详解】
对于A选项，由题意可知，，
所以，，可得，
因为，当时，取最小值，A错；
对于B选项，当时，由得，
此时，函数的单调递增区间为，B对；
对于C选项，当时，，，
此时，的图象关于对称，C对；
对于D选项，当时，，
此时，的图象可由的图象向右移个单位得到，D对.
故选：BCD.
54．（2022·山东枣庄·高三期末）已知函数，则（ ）．
A． B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】
对于A，代入计算结合诱导公式可判断；对于B，利用正弦函数的性质可判断；对于C，计算，可知为对称轴；对于D，，可知点为对称中心.
【详解】
对于A，，故A错误；
对于B，，，利用正弦函数的性质知函数在上单调递减，故B正确；
对于C，令，为函数的最小值，所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，令，，所以的图象关于点对称，故D正确；
故选：BCD
55．（2022·山东日照·高三期末）已知函数的图象由函数的图象经如下变换得到：先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则下列正确的是（ ）
A．
B．函数关于对称
C．在上的值域为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】
利用函数的平移伸缩可判断A；令，求出对称轴，可判断B；利用余弦函数的性质求函数的值域可判断C；由函数的最小正周期为，可判断D.
【详解】
对于A，，将的图象向右平移个单位，得到，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到，故A正确；
对于B，令，得，当时，关于对称，故B正确；
对于C，，，，利用余弦函数的性质知，故C错误；
对于D，由函数的最小正周期为，所以，故D正确；
故选：ABD
56．（2022·山东青岛·高三期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】
变形得，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】
，A正确；
，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；
，C正确；
将的图象向左平移个单位后得
，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.
故选：AC.
57．（2022·山东淄博·高三期末）已知函数，则（ ）
A．为周期函数 B．在上单调递增
C．的值域为 D．的图像关于直线对称
【答案】AD
【分析】
易求得，即可判断A；由，得，，结合正弦函数的单调性即可判断B；分和两种情况讨论，求出函数的值域，即可判断C；判断是否相等即可判断D.
【详解】
对于A，因为，
所以是函数的一个周期，故A正确；
当时，，
此时，则，所以，
当时，，
此时，则，所以，
所以函数的值域为，故C错误；
对于B，当时，，
则，所以函数在上单调递减，故B错误.
对于D，因为，
，
所以，
所以的图像关于直线对称，故D正确.
故选：AD.
58．（2022·山东烟台·高三期末）函数的部分图象如图所示，则（ ）


A．的值为2
B．的值为
C．是函数的一个增区间
D．当时，取最大值
【答案】AD
【分析】
根据图象得到函数的表达式，结合正弦型函数的性质得到结果.
【详解】
由图象可知，，，故A正确；
当时，，
∴，又，
∴故B错误；

当时，，
此时，在上不单调，故C错误；
当时，，
故D正确.
故选：AD
59．（2022·山东临沂·高三期末）若函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最大值为1 B．最小正周期为
C． D．函数在上单调递增
【答案】BC
【分析】
化简可得，再根据正弦函数的性质即可依次判断.
【详解】
，
所以的最大值为，故A错误；
的最小正周期为，故B正确；

，故C正确；
当时，，根据正弦函数的单调性可得有增有减，故D错误.
故选：BC.
60．（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．的值域为
D．的图象向左平移个单位后关于轴对称
【答案】ACD
【分析】
根据两角和的正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的性质、以及图象变换规律进行逐一判断即可.
【详解】
，所以，所以A对，B错误；
因为，所以，
因此选项C正确；
因为，设，
因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，则D正确．
故选：ACD
61．（2022·河北保定·高三期末）若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
由题意易知，再根据两角差的正切公式，可知，进而求得，由此即可得到，对取值，逐项判断即可得到结果.
【详解】
由，可知，
当，即时，即时，
，
显然不成立，故；
所以，则，
所以，即，
当时，，当时，，当时，，
令，得，故的值不可能为.
故选：ABD.
62．（2022·河北张家口·高三期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
利用三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可求得角的值.
【详解】
，
故，
所以或，
故或.
又，所以或，
故选：BD.
63．（2022·江苏常州·高三期末）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数是周期函数 B．函数有唯一零点
C．函数有无数个极值点 D．函数在上不是单调函数
【答案】CD
【分析】
根据不是周期函数，从而可判断选项A错误；
令，，，
作出与的图象，由图象可判断选项B；
作出与的图象，由图可判断选项C；
通过图象可判断在不单调，从而可判断选项D.
【详解】
，
因为不是周期函数，则不是周期函数，A错；
令，，，
令，则，
作出与的图象，由图可知，与的图象至少有两个交点，


至少有两个零点，至少有两个零点，B错误；
作出与的图象，由图可知，有无数个零点


有无数个极值点，即有无数个极值点，C正确；
因为在有零点，所以在不单调，
在不单调，D正确；
故选：CD.


三、填空题
64．（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.
【答案】等答案较多
【分析】
先把化简成，解得后，解三角方程即可解决.
【详解】


则，故，或
故答案为：等均符合题意.
65．（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.
【答案】（答案不唯一）．
【分析】
，然后变形可得．
【详解】
由题意，
因此（实际上）．
故答案为：（答案不唯一）．
66．（2022·江苏常州·高三期末）已知为第四象限角，且，则________．
【答案】
【分析】
先由组配角公式求得的值，再由同角三角函数关系公式即可求得的值.
【详解】

则 即
代入，得，即
由为第四象限角，可知，则
故
故答案为：
67．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.
【答案】
【分析】
根据同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角差的正切公式计算即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
68．（2022·广东清远·高三期末）已知，则________．
【答案】
【分析】
首先利用两角和差公式及二倍角公式化简原式得到，再利用同角三角函数商数关系求解即可.
【详解】

．
故答案为：
69．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则___________.

【答案】
【分析】
根据图象和已知信息求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】
由已知可得，在处附近单调递增，且，故，
又因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，
所以，，可得，故，
因此，.
故答案为：.
70．（2022·湖南郴州·高三期末）已知，，则___________．
【答案】
【分析】
利用两角差的正切公式，可以求出，根据同角三角函数的关系，结合，可以求出的值.
【详解】
∵，
∴，
解得，
∵，
∵…①
，…②
解①②得.
故答案为：．
71．（2022·山东枣庄·高三期末）若的部分图象如图所示，则的值为________．

【答案】
【分析】
由图象可得，进而可得，再由图象经过得到即可得解.
【详解】
由图象可得，即，
，所以，
又图象经过，
，
所以，又 ，
，所以.
故答案为：.
72．（2022·山东泰安·高三期末）已知，则的值为___________.
【答案】
【分析】
根据，利用“1的代换，先求出 的值，再将进行弦化切，计算可得答案.
【详解】

= ，
故，
故答案为：
73．（2022·山东烟台·高三期末）已知，，则的值为______．
【答案】
【分析】
根据给定条件结合同角公式求出，再用差角的余弦公式计算作答.
【详解】
因，即，又，则，
所以.
故答案为：
74．（2022·山东济南·高三期末）已知，且，则的值为________.
【答案】
【分析】
利用正余弦和差积的三角关系求解即可.
【详解】


，，
又，所以，所以，
，

故答案为：
75．（2022·河北张家口·高三期末）已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】
由结合的取值范围可求得的值，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的范围即可得解.
【详解】
因为，又，所以，所以，，
当且时，，
因为在区间上单调递减，则，
即，即，
因为，则，则且，故，从而，
因此，的最大值为.
故答案为：.
76．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）______．
【答案】
【分析】
利用降幂公式、二倍角公式、两角差的正弦公式，切化弦的思想求解即可.
【详解】
因为 ．
故答案为：
77．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列满足，的前项的和记为，则______.
【答案】
【分析】
利用两角差的正弦公式化简得出，可求得，进而可计算得出的值.
【详解】
，
，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题
78．（2022·山东泰安·高三期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.
【答案】

（1）

（2）
【分析】
（1）利用辅助角公式结合图象的变换得出，再根据对称性得出，从而得出函数的解析式；
（2）由得出，利用正弦函数的性质结合方程在上恰有两个实数根，得出实数的取值范围.
（1）
解：
将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数为

∴
∴
又
∴
∴.
（2）
∵
∴
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
且，.
∵方程在上恰有两个实数根.
∴
∴实数a的取值范围为.
79．（2022·山东莱西·高三期末）在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，.
（1）求角B大小；
（2）设，当时，求的最小值及相应的x.
【答案】

（1）

（2）当时，有最小值.
【分析】
（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；
（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的值.
（1）
由已知条件得，
由正弦定理得，
即，,
则，
∵，∴，
又∵ ,∴;
（2）



,
∵,∴,，
则的最小值，其中，即当时，有最小值.