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初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线导学案
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这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线导学案，共38页。学案主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题四 平行线几何模型-平行线+角平分线（巩固篇）
（专项练习）
如图一
一、单选题
1．如图，已知，点在上，连接，作平分交于点，，则的度数为（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，将矩形折叠，使点C和点A重合，点D落在处，折痕为，与交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，，将沿翻折，得到．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，，则的大小为（ ）
A．136° B．138° C．140° D．148°
5．如图：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，B分别落在A1，B1的位置，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝65°，以下结论：①∠B1NC＝50°；②∠A1ME＝50°；③A1M∥B1N；④∠DEB1＝40°．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，ABCD，E为CD上的一点，射线EF经过点A，EC＝EA，若∠ACE＝30°，则∠BAF＝（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
8．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线，点，分别是，上的动点，点在上，，和的角平分线交于点，若，则的值为（ ）．
A．70 B．74 C．76 D．80
10．如图，，平分，平分，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
11．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．设为度，用关于的代数式表示，则表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，平分平分，则下列结论：①；②；③；④其中正确结论有（ ）个．
A． B． C． D．4
13．如图，若平分平分，则的度数（ ）
A． B． C． D．
14．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
A．114° B．142° C．147° D．156°
15．如图，已知长方形纸片ABCD， 点E、F在BC边上，点G、H在AD边上，分别沿EG、FH折叠，使点B和点C都落在点M处，若a +β=224°，则∠EMF的度数为（ ）
A．90° B．91° C．92° D．94°
16．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
17．如图，已知，平分，平分，则下列判断：①；②平分；③；④中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
18．如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____
19．如图，四边形中，，连接，平分，E是直线上一点，，，则的长为________．
20．如图，正方形ABCD中，BD为对角线，且BE为∠ABD的角平分线，并交CD延长线于点E，则∠E＝______°．
21．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝___．
22．如图，已知ACBD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②ABCD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是______．
23．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的是______（请把正确结论的序号都填上）
24．如图，已知AB∥EF，点O在两平行线之间，点C在直线AB上，连接OC，OE，恰好CO平分∠ACD，OG在∠COE的内部，OI、OH分别平分∠COG、∠EOG．若∠BCD＝50°，∠E＝75°，则∠IOH的度数是___．
25．如图，∠MAN＝52°，过射线AM上一点C作CP∥AN，依次作出∠BCP的角平分线CB，CB2，∠Bn﹣1CP的角平分线CB，其中点B、B1、B2、....Bn﹣1、Bn，都在射线AN上，若∠PCBn＝1°时，则n＝___．
26．如图，己知，点在上，点为平面内一点，，过点作平分平分，若，则__________．
27．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为__度．
28．如图，已知直线，直线分别是截线，，分别平分．则_______．
29．如图，于C，E是上一点，,平分平分，则：与之间的数最关系为______．
30．如图，，平分，平分，若设，则______度（用x，y的代数式表示），若平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则_____度．
31．已知，，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC落在直线MN上，线段DE落在直线PQ上，其中，，CO平分，EO平分，两条角平分线相交与点O，则________．
32．如图，已知，，平分，则________．
33．如图，点P、Q分别在一组平行直线、上，在两直线间取一点E使得，点F、G分别在、的角平分线上，且点F、G均在平行直线、之间，则__________．
参考答案
1．A
【分析】
由平行线的性质可得，再由角平分线性质可得，利用邻补角可求的度数．
【详解】
解：，，
，
平分交于点，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，解答的关键是熟记并灵活运用平行线的性质．
2．C
【分析】
根据折叠的性质可得：，由等边对等角得出，再依据三角形内角和得出，根据三角形外角和定理可得，最后依据矩形及平行线的性质即可得出答案．
【详解】
解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ADBC，
∴，
故选：C．
【点拨】题目主要考查折叠的性质、三角形外角和定理及平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并融会贯通是解题关键．
3．B
【分析】
首先利用平行线的性质得出∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，进而求出∠B的度数，进而即可求解．
【详解】
解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝80°，
∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，
∴∠D=∠B＝180°−55°−40°＝85°，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．
4．D
【分析】
作辅助线，构建三角形，根据平行线的性质可得∠MAB=∠BAC=64°，根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】
解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB=180°，
∵∠2=116°，
∴∠MAB=180°-116°=64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB=∠BAC=64°，
△BDQ中，∠BDQ=∠2-∠1=116°-20°=96°，
∴∠ADC=180°-96°=84°，
△ADC中，∠3=∠BAC+∠ADC=64°+84°=148°．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
5．A
【分析】
根据AB∥CD可得∠BOD=∠ABO=40°，利用平角得到∠COB=140°，再根据角平分线的定义得到∠BOE=70°，则③正确；利用OP⊥CD，AB∥CD，∠ABO=40°，可得∠POB=50°，∠BOF=20°，∠FOD=20°，进而可得OF平分∠BOD，则①正确；由∠EOB=70°，∠POB=50°，∠POE=20°，由∠BOF=∠POF-∠POB=20°，进而可得∠POE=∠BOF，则②正确；由②可知∠POB=50°，∠FOD=20°，则④不正确．
【详解】
③∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠COB=180°-40°=140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COB=×140°=70°，
故③正确；
①∵OP⊥CD，
∴∠POD=90°，
又∵AB∥CD，
∴∠BPO=90°，
又∵∠ABO=40°，
∴∠POB=90°-40°=50°，
∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∠FOD=40°-20°=20°，
∴OF平分∠BOD，
故①正确；
②∵∠EOB=70°，∠POB=90°-40°=50°，
∴∠POE=70°-50°=20°，
又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∴∠POE=∠BOF，
故②正确；
④由①可知∠POB=90°-40°=50°，
∠FOD=40°-20°=20°，
故∠POB≠2∠DOF，
故④不正确．
故结论正确的是①②③，
故选A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．
6．D
【分析】
由折叠的性质可得∠B1NM=∠BNM＝65°，再根据平角的定义可得∠B1NC，故可判断①；根据平行线的性质可得∠AMN＝115°，由折叠得∠A1MN＝115°，依据∠AMN+∠A1MN-180°=50°可判断②；由∠B1NM+∠A1MN=180°可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得④．
【详解】
解：在长方形纸片ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，
∴∠BNM+∠AMN=180°，
∵∠BNM＝65°，
∴∠AMN＝115°，
由折叠的性质可得：∠B1NM=∠BNM＝65°，∠AMN＝∠A1MN＝115°，
∵∠BNM+∠B1NM+∠B1NC=180°，
∴∠B1NC＝50°；故①正确；
∵∠AMN＝∠A1MN＝115°，
∴∠A1ME＝∠AMN+∠A1MN-180°=50°，故②正确；
∵∠A1MN＝115°，∠B1NM＝65°，
∴∠B1NM+∠A1MN=180°，
∴A1M∥B1N，故③正确；
∵∠A1=∠A=90°，
∴∠A1ME+∠A1EM=90°，
∵∠A1ME=50°，
∴∠DEB1=∠A1EM＝40°，故④正确；
故选D．
【点拨】本题主要考查折叠的性质、平行线的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质、平行线的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7．B
【分析】
先根据EC＝EA，∠ACE＝30°得出∠CAE＝30°，再由三角形外角的性质得出∠AED的度数，最后利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵EC＝EA．∠ACE＝30°，
∴∠CAE＝∠ACE＝30°，
∴∠AED＝∠CAE＋∠ACE＝30°＋30°＝60°．
∵ABCD，
∴∠BAF＝∠AED＝60°．
故选：B．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角性质及平行线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
8．B
【分析】
由折叠的性质可得∠DEF＝∠D′EF，因为∠AED′＝50°，结合平角可求得∠DEF＝∠D′EF＝65°，再结合平行可求得和的度数，则即可求得答案．
【详解】
解：，
，
长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，
，
∵AD∥BC，∥，
∴，
∴,
故选：B．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补是解题的关键．
9．C
【分析】
先由平行线的性质得到∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m即可．
【详解】
解：过C作CH∥MN，
∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，
∵∠ACB＝∠6＋∠7，
∴∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，
∵∠D＝52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴m°＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，∠4＝∠1＋∠D＝∠1＋52°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m°＋52°，
∴m°＋52°=128°，
∴m°＝76°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是对知识的掌握和灵活运用．
10．B
【分析】
根据角平分线的性质可得，，，再利用平角定义可得∠BCF=90°，进而可得①正确；首先计算出∠ACB的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE的度数，可分析出③错误；根据∠3和∠4的度数可得④正确．
【详解】
解：如图，
∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，
∴
∵∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CB⊥CF，故①正确，
∵CD∥AB，∠BAC=50°，
∴∠ACG=50°，
∴∠ACF=∠4=25°，
∴∠ACB=90°-25°=65°，
∴∠BCD=65°，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠BCD=65°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=65°，故②正确；
∵∠BCD=65°，
∴∠ACB=65°，
∵∠1=∠2=65°，
∴∠3=50°，
∴∠ACE=15°，
∴③∠ACE=2∠4错误；
∵∠4=25°，∠3=50°，
∴∠3=2∠4，故④正确，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．
11．B
【分析】
利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．
【详解】
解：如图，//，
，
将一条上下两边互相平行的纸带折叠
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质、翻折变换等知识，解题关键是熟练掌握基本知识．
12．B
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义和垂直定义进行求解判断即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠ABO=50°，
∴∠ABO+∠BOC=180°，∠ABO=∠BOD=50°，
∴∠BOC=180°﹣∠ABO=130°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC=65°，故①错误；
∠BOF=∠DOF=∠BOD=25°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=65°+25°=90°，
∴OF⊥OE，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠POC=∠POD=90°，
∴∠POE=90°﹣∠COE=90°﹣65°=25°，
∠POB=90°﹣∠BOD=90°﹣50°=40°，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∠POB≠2∠DOF，故④错误，
综上，正确结论有②③共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和垂直定义，熟练掌握这些知识的联系和运用是解答的关键．
13．C
【分析】
根据平行线的性质得到∠AEF+∠EFC=180°，∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，根据角平分线的定义得到∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，求得∠FEM+∠EFM=90°，根据垂直的定义得到EM⊥FM，根据平行线的性质得到∠ENF=∠MFD，等量代换得到∠MFD=40°．
【详解】
解：∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，
∴∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠M=90°，
∴EM⊥FM，
∵NE⊥EM，
∴EN//MF，
∴∠ENF=∠MFD，
∵∠AEN=40°，
∴∠ENF=∠AEN=40°，
∴∠MFD=40°，
故选：C．
【点拨】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理证得EN∥MF是解本题的关键．
14．C
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解】
∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
15．C
【分析】
根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得到∠BEG+α=180°，∠CFH+β=180°，进而得到∠BEG+∠CFH=360°-（α+β）=136°，由折叠性质可知，∠BEG=∠GEM，∠CFH=∠HFM，进而得到∠BEM+∠CFM=272°，根据平角的定义列式得到∠MEF+∠MFE=88°，再根据三角形的内角和即可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BEG+α=180°，∠CFH+β=180°，
∴∠BEG=180°-α，∠CFH=180°-β，
∵α+β=224°，
∴∠BEG+∠CFH=360°-（α+β）=136°，
由折叠可知：
∠BEG=∠GEM，∠CFH=∠HFM，
∴∠BEM+∠CFM=2（∠BEG+∠CFH）=272°，
∴∠MEF+∠MFE=360°-（∠BEM+∠CFM）=360°-272°=88°，
∴∠EMF=180°-（∠MEF+∠MFE）=92°，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和．
16．A
【分析】
①证明AB∥CD，可做判断；
②根据平行线的判定和性质可做判断；
③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．
【详解】
解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正确；
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟知平行线的判定定理与性质是解题的关键．
17．B
【分析】
根据平行线的性质求出，根据角平分线定义和平行线的性质求出，推出，再根据平行线的性质判断即可．
【详解】
∵，
∴，∴正确；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴根据已知不能推出，∴错误；错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，∴正确；
即正确的有个，
故选:．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
18．
【分析】
先根据平行线的性质得到，结合已知∠EFG＋∠EGD=150°，解得∠EGD=，再根据折叠的性质解得，结合两直线平行，同旁内角互补得到，据此整理得，进而解题．
【详解】
解：
∠EFG＋∠EGD=150°，
∠EGD=
折叠
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，两直线平行，同旁内角互补，掌握相关知识是解题关键．
19．6或10
【分析】
先利用平行线的性质和等角对等边的性质得到AB=AD，再根据点E在D的左边和右边分别求解即可；
【详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
当点E在线段AD上时，
∵，，
∴，
当点E在线段AD延长线上时，
∵，，
∴；
故答案是：6或10．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先证出AB=AD是解题的关键．
20．22.5
【分析】
由平行线的性质可知，由角平分线的定义得，进而可求∠E的度数．
【详解】
解：为正方形，
，，
，
平分，
，
又，
，
故答案为：22.5．
【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．
21．92°
【分析】
延长AB交PD与点M，过点C作CNAB，根据角平分线可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，根据平行线的性质可得∠AMD＝∠EDP＝y，再根据三角形的外角性质可得y－x＝44°，根据平行线的性质可得∠NCD＝180°－2y，∠NCB＝2x，最后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB即可求得答案．
【详解】
解：如图，延长AB交PD与点M，过点C作CNAB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵ABDE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵ABDE，CNAB，
∴CNDE，
∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CNAB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2(y－x)
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°．
【点拨】本题考查了平行线的性质及平行公理的推理，三角形的外角性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
22．①②③
【分析】
根据平行线的判定与性质和角平分线的定义逐一进行判断即可．
【详解】
解：如图，
∵ACBD，
∵∠2＝∠3
∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵CE平分∠DCM，
∴∠4＝∠5，
∵BC⊥CE．
∴∠4+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠3＝∠6，
∴CB平分∠ACD，故①正确；
∴∠1＝∠6，
ABCD，故②正确；
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BDC，故③正确；
如图，点P是线段BE上任意一点，
∵AB与PC不平行，CD与PM不平行，
∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，
∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确．
所以正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
23．①②
【分析】
求出∠EBD＋∠ABC＝90°，∠DBG＋∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝∠EBG＝α，根据平行线的性质得出∠EBD＋∠BDF＝180°，即可判断④．
【详解】
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，
∵BD平分∠EBG，
∴∠EBD＝∠DBG，
∴∠ABC＝∠GBC，
即BC平分∠ABG，故①正确；
∵AE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCG，
∵CB平分∠ACF，
∴∠ACB＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠GBC，
∴∠ACB＝∠GBC，
∴AC∥BG，故②正确；
与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误；
∵AC∥BG，∠A＝α，
∴∠EBG＝∠A＝α，
∵∠EBD＝∠DBG，
∴∠EBD＝∠EBG＝α，
∵AB∥CF，
∴∠EBD+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣α，
若，
则，
解得
则
，矛盾，
故④错误；
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
24．85°
【分析】
延长CO，交FE的延长线与点M，容易求出∠CMF=65°，根据三角形的外角求出∠MOE=10°，再根据邻补角及角平分线的定义求解即可．
【详解】
解：延长CO，交FE的延长线与点M，
∵∠BCD=50°，
∴∠ACD=180°-∠BCD=130°，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACM=∠ACD=65°，
∵AB∥EF，
∴∠CMF=∠ACM=65°，
∵∠QEF=∠CMF+∠MOE，∠QEF=75°，
∴∠MOE=75°-65°=10°，
∴∠COE=180°-∠MOE=170°，
∵OI、OH分别平分∠COG、∠EOG，
∴∠IOH=∠IOG+∠GOH=∠COE=85°，
故答案为：85°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理及作出正确的辅助线是解题的关键．
25．6
【分析】
根据角平分线的定义和平行线的性质求得的度数规律，然后代入求解．
【详解】
解：，
，
平分，
，
又平分，
，
．
，
，，
，
解得：，
故答案为：6．
【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，理解角平分线的概念，并通过探索发现题目数量间蕴含的规律是解题关键．
26．
【分析】
设，则，通过角的关系转化，可得，三角形内角和定理可得，求得目标角，再根据已知条件，求得即可求得．
【详解】
设
平分
，
平分
在中
，
即
解得
故答案为：
【点拨】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，找到是解题的关键．
27．59或121
【分析】
分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【详解】
解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝＝31°，
∴∠FGE＝31°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．
则∠PGF的度数为59或121度．
故答案为：59或121．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，准确计算是解题的关键．
28．165°
【分析】
过点E作，结合可得，根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，，由此即可求得答案．
【详解】
解：如图，过点E作，
又∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：165°．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
29．2∠H+∠ACF=180°
【分析】
延长EC，交DH于K，根据三角形外角的性质，平行线的性质即可得到90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，从而求得∠ACE，进而即可求得∠H与∠ACF之间的数量关系．
【详解】
解：延长EC，交DH于K，
∵∠EKD=∠HEC+∠H，∠ECD=∠EKD+∠HDC，
∴∠ECD=∠HEC+∠HDC+∠H，
∵DF∥AB，
∴∠B=∠BDG，
∵EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，
∴∠HEC=∠BEC，∠HDC=∠B，
∵∠BEC=∠A+∠ACE，
∴∠HEC=∠A+∠ACE，
∴∠ECD=∠A+∠ACE+∠B+∠H，
∵AC⊥BD，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ECD=45°+∠ACE+∠H，
∵AC⊥BD，
∴∠ECD=90°+∠ACE，
∴90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，
∴90°+∠ACE=2∠H，
∴90°+（90°-∠ACF）=2∠H，即2∠H+∠ACF=180°，
故答案为：2∠H+∠ACF=180°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质，是基础题．
30．
【分析】
过点P1作PG∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得，再根据角平分线的定义总结规律可得．
【详解】
解：过点作∥AB，可得∥CD，
设，，
∴，，
∴；
同理可得：，，...，
∵平分，平分，
∴，
，
...，
∴，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了平行线性质的应用和角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
31．52.5
【分析】
延长CO交PQ于点F，根据∠COE=∠CFE+∠OEF，结合平行线的性质，角的平分线的定义计算；
【详解】
延长CO交PQ于点F，则∠COE=∠CFE+∠OEF，
∵，，CO平分，EO平分，
∴∠BCF=30°，∠OEF=22.5°，
∵，
∴∠BCF=∠CFE，
∴∠COE=30°+22.5°=52.5°，
故答案为：52.5°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，三角形外角定理，延长构造三角形外角，活用平行线的性质是解题的关键．
32．64°．
【分析】
由角平分线的性质和平行线的性质，即可求出答案．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠B=32°，
∴∠ADB=∠B=32°．
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE=2∠ADB=64°，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE=64°．
故答案为：64°．
【点拨】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
33．35°
【分析】
过点F作，过点G作，利用平行线的性质和角平分线的定义即可求解.
【详解】
过点F作，过点G作，
∵平分，平分，
设，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴
故．
【点拨】本题考查平行线的性质，根据题意作出平行线是解题的关键．
专题四 平行线几何模型-平行线+角平分线（巩固篇）
（专项练习）
如图一
一、单选题
1．如图，已知，点在上，连接，作平分交于点，，则的度数为（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，将矩形折叠，使点C和点A重合，点D落在处，折痕为，与交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，，将沿翻折，得到．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，，则的大小为（ ）
A．136° B．138° C．140° D．148°
5．如图：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，B分别落在A1，B1的位置，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝65°，以下结论：①∠B1NC＝50°；②∠A1ME＝50°；③A1M∥B1N；④∠DEB1＝40°．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，ABCD，E为CD上的一点，射线EF经过点A，EC＝EA，若∠ACE＝30°，则∠BAF＝（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
8．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线，点，分别是，上的动点，点在上，，和的角平分线交于点，若，则的值为（ ）．
A．70 B．74 C．76 D．80
10．如图，，平分，平分，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
11．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．设为度，用关于的代数式表示，则表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，平分平分，则下列结论：①；②；③；④其中正确结论有（ ）个．
A． B． C． D．4
13．如图，若平分平分，则的度数（ ）
A． B． C． D．
14．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）
A．114° B．142° C．147° D．156°
15．如图，已知长方形纸片ABCD， 点E、F在BC边上，点G、H在AD边上，分别沿EG、FH折叠，使点B和点C都落在点M处，若a +β=224°，则∠EMF的度数为（ ）
A．90° B．91° C．92° D．94°
16．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
17．如图，已知，平分，平分，则下列判断：①；②平分；③；④中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
18．如图将一条两边互相平行的纸带按如图折叠，若∠EFG＋∠EGD=150°，则∠EGD=_____
19．如图，四边形中，，连接，平分，E是直线上一点，，，则的长为________．
20．如图，正方形ABCD中，BD为对角线，且BE为∠ABD的角平分线，并交CD延长线于点E，则∠E＝______°．
21．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝___．
22．如图，已知ACBD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②ABCD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是______．
23．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的是______（请把正确结论的序号都填上）
24．如图，已知AB∥EF，点O在两平行线之间，点C在直线AB上，连接OC，OE，恰好CO平分∠ACD，OG在∠COE的内部，OI、OH分别平分∠COG、∠EOG．若∠BCD＝50°，∠E＝75°，则∠IOH的度数是___．
25．如图，∠MAN＝52°，过射线AM上一点C作CP∥AN，依次作出∠BCP的角平分线CB，CB2，∠Bn﹣1CP的角平分线CB，其中点B、B1、B2、....Bn﹣1、Bn，都在射线AN上，若∠PCBn＝1°时，则n＝___．
26．如图，己知，点在上，点为平面内一点，，过点作平分平分，若，则__________．
27．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为__度．
28．如图，已知直线，直线分别是截线，，分别平分．则_______．
29．如图，于C，E是上一点，,平分平分，则：与之间的数最关系为______．
30．如图，，平分，平分，若设，则______度（用x，y的代数式表示），若平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则_____度．
31．已知，，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC落在直线MN上，线段DE落在直线PQ上，其中，，CO平分，EO平分，两条角平分线相交与点O，则________．
32．如图，已知，，平分，则________．
33．如图，点P、Q分别在一组平行直线、上，在两直线间取一点E使得，点F、G分别在、的角平分线上，且点F、G均在平行直线、之间，则__________．
参考答案
1．A
【分析】
由平行线的性质可得，再由角平分线性质可得，利用邻补角可求的度数．
【详解】
解：，，
，
平分交于点，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，解答的关键是熟记并灵活运用平行线的性质．
2．C
【分析】
根据折叠的性质可得：，由等边对等角得出，再依据三角形内角和得出，根据三角形外角和定理可得，最后依据矩形及平行线的性质即可得出答案．
【详解】
解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ADBC，
∴，
故选：C．
【点拨】题目主要考查折叠的性质、三角形外角和定理及平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并融会贯通是解题关键．
3．B
【分析】
首先利用平行线的性质得出∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，进而求出∠B的度数，进而即可求解．
【详解】
解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝80°，
∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，
∴∠D=∠B＝180°−55°−40°＝85°，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．
4．D
【分析】
作辅助线，构建三角形，根据平行线的性质可得∠MAB=∠BAC=64°，根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】
解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB=180°，
∵∠2=116°，
∴∠MAB=180°-116°=64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB=∠BAC=64°，
△BDQ中，∠BDQ=∠2-∠1=116°-20°=96°，
∴∠ADC=180°-96°=84°，
△ADC中，∠3=∠BAC+∠ADC=64°+84°=148°．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
5．A
【分析】
根据AB∥CD可得∠BOD=∠ABO=40°，利用平角得到∠COB=140°，再根据角平分线的定义得到∠BOE=70°，则③正确；利用OP⊥CD，AB∥CD，∠ABO=40°，可得∠POB=50°，∠BOF=20°，∠FOD=20°，进而可得OF平分∠BOD，则①正确；由∠EOB=70°，∠POB=50°，∠POE=20°，由∠BOF=∠POF-∠POB=20°，进而可得∠POE=∠BOF，则②正确；由②可知∠POB=50°，∠FOD=20°，则④不正确．
【详解】
③∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠COB=180°-40°=140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COB=×140°=70°，
故③正确；
①∵OP⊥CD，
∴∠POD=90°，
又∵AB∥CD，
∴∠BPO=90°，
又∵∠ABO=40°，
∴∠POB=90°-40°=50°，
∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∠FOD=40°-20°=20°，
∴OF平分∠BOD，
故①正确；
②∵∠EOB=70°，∠POB=90°-40°=50°，
∴∠POE=70°-50°=20°，
又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∴∠POE=∠BOF，
故②正确；
④由①可知∠POB=90°-40°=50°，
∠FOD=40°-20°=20°，
故∠POB≠2∠DOF，
故④不正确．
故结论正确的是①②③，
故选A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．
6．D
【分析】
由折叠的性质可得∠B1NM=∠BNM＝65°，再根据平角的定义可得∠B1NC，故可判断①；根据平行线的性质可得∠AMN＝115°，由折叠得∠A1MN＝115°，依据∠AMN+∠A1MN-180°=50°可判断②；由∠B1NM+∠A1MN=180°可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得④．
【详解】
解：在长方形纸片ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，
∴∠BNM+∠AMN=180°，
∵∠BNM＝65°，
∴∠AMN＝115°，
由折叠的性质可得：∠B1NM=∠BNM＝65°，∠AMN＝∠A1MN＝115°，
∵∠BNM+∠B1NM+∠B1NC=180°，
∴∠B1NC＝50°；故①正确；
∵∠AMN＝∠A1MN＝115°，
∴∠A1ME＝∠AMN+∠A1MN-180°=50°，故②正确；
∵∠A1MN＝115°，∠B1NM＝65°，
∴∠B1NM+∠A1MN=180°，
∴A1M∥B1N，故③正确；
∵∠A1=∠A=90°，
∴∠A1ME+∠A1EM=90°，
∵∠A1ME=50°，
∴∠DEB1=∠A1EM＝40°，故④正确；
故选D．
【点拨】本题主要考查折叠的性质、平行线的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质、平行线的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7．B
【分析】
先根据EC＝EA，∠ACE＝30°得出∠CAE＝30°，再由三角形外角的性质得出∠AED的度数，最后利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵EC＝EA．∠ACE＝30°，
∴∠CAE＝∠ACE＝30°，
∴∠AED＝∠CAE＋∠ACE＝30°＋30°＝60°．
∵ABCD，
∴∠BAF＝∠AED＝60°．
故选：B．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角性质及平行线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
8．B
【分析】
由折叠的性质可得∠DEF＝∠D′EF，因为∠AED′＝50°，结合平角可求得∠DEF＝∠D′EF＝65°，再结合平行可求得和的度数，则即可求得答案．
【详解】
解：，
，
长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，
，
∵AD∥BC，∥，
∴，
∴,
故选：B．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补是解题的关键．
9．C
【分析】
先由平行线的性质得到∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m即可．
【详解】
解：过C作CH∥MN，
∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，
∵∠ACB＝∠6＋∠7，
∴∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，
∵∠D＝52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴m°＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，∠4＝∠1＋∠D＝∠1＋52°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m°＋52°，
∴m°＋52°=128°，
∴m°＝76°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是对知识的掌握和灵活运用．
10．B
【分析】
根据角平分线的性质可得，，，再利用平角定义可得∠BCF=90°，进而可得①正确；首先计算出∠ACB的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE的度数，可分析出③错误；根据∠3和∠4的度数可得④正确．
【详解】
解：如图，
∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，
∴
∵∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CB⊥CF，故①正确，
∵CD∥AB，∠BAC=50°，
∴∠ACG=50°，
∴∠ACF=∠4=25°，
∴∠ACB=90°-25°=65°，
∴∠BCD=65°，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠BCD=65°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=65°，故②正确；
∵∠BCD=65°，
∴∠ACB=65°，
∵∠1=∠2=65°，
∴∠3=50°，
∴∠ACE=15°，
∴③∠ACE=2∠4错误；
∵∠4=25°，∠3=50°，
∴∠3=2∠4，故④正确，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．
11．B
【分析】
利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．
【详解】
解：如图，//，
，
将一条上下两边互相平行的纸带折叠
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质、翻折变换等知识，解题关键是熟练掌握基本知识．
12．B
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义和垂直定义进行求解判断即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠ABO=50°，
∴∠ABO+∠BOC=180°，∠ABO=∠BOD=50°，
∴∠BOC=180°﹣∠ABO=130°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC=65°，故①错误；
∠BOF=∠DOF=∠BOD=25°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=65°+25°=90°，
∴OF⊥OE，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠POC=∠POD=90°，
∴∠POE=90°﹣∠COE=90°﹣65°=25°，
∠POB=90°﹣∠BOD=90°﹣50°=40°，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∠POB≠2∠DOF，故④错误，
综上，正确结论有②③共2个，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和垂直定义，熟练掌握这些知识的联系和运用是解答的关键．
13．C
【分析】
根据平行线的性质得到∠AEF+∠EFC=180°，∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，根据角平分线的定义得到∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，求得∠FEM+∠EFM=90°，根据垂直的定义得到EM⊥FM，根据平行线的性质得到∠ENF=∠MFD，等量代换得到∠MFD=40°．
【详解】
解：∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，
∴∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠M=90°，
∴EM⊥FM，
∵NE⊥EM，
∴EN//MF，
∴∠ENF=∠MFD，
∵∠AEN=40°，
∴∠ENF=∠AEN=40°，
∴∠MFD=40°，
故选：C．
【点拨】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理证得EN∥MF是解本题的关键．
14．C
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解】
∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
15．C
【分析】
根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得到∠BEG+α=180°，∠CFH+β=180°，进而得到∠BEG+∠CFH=360°-（α+β）=136°，由折叠性质可知，∠BEG=∠GEM，∠CFH=∠HFM，进而得到∠BEM+∠CFM=272°，根据平角的定义列式得到∠MEF+∠MFE=88°，再根据三角形的内角和即可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BEG+α=180°，∠CFH+β=180°，
∴∠BEG=180°-α，∠CFH=180°-β，
∵α+β=224°，
∴∠BEG+∠CFH=360°-（α+β）=136°，
由折叠可知：
∠BEG=∠GEM，∠CFH=∠HFM，
∴∠BEM+∠CFM=2（∠BEG+∠CFH）=272°，
∴∠MEF+∠MFE=360°-（∠BEM+∠CFM）=360°-272°=88°，
∴∠EMF=180°-（∠MEF+∠MFE）=92°，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和．
16．A
【分析】
①证明AB∥CD，可做判断；
②根据平行线的判定和性质可做判断；
③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．
【详解】
解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正确；
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟知平行线的判定定理与性质是解题的关键．
17．B
【分析】
根据平行线的性质求出，根据角平分线定义和平行线的性质求出，推出，再根据平行线的性质判断即可．
【详解】
∵，
∴，∴正确；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴根据已知不能推出，∴错误；错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，∴正确；
即正确的有个，
故选:．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
18．
【分析】
先根据平行线的性质得到，结合已知∠EFG＋∠EGD=150°，解得∠EGD=，再根据折叠的性质解得，结合两直线平行，同旁内角互补得到，据此整理得，进而解题．
【详解】
解：
∠EFG＋∠EGD=150°，
∠EGD=
折叠
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，两直线平行，同旁内角互补，掌握相关知识是解题关键．
19．6或10
【分析】
先利用平行线的性质和等角对等边的性质得到AB=AD，再根据点E在D的左边和右边分别求解即可；
【详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
当点E在线段AD上时，
∵，，
∴，
当点E在线段AD延长线上时，
∵，，
∴；
故答案是：6或10．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先证出AB=AD是解题的关键．
20．22.5
【分析】
由平行线的性质可知，由角平分线的定义得，进而可求∠E的度数．
【详解】
解：为正方形，
，，
，
平分，
，
又，
，
故答案为：22.5．
【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．
21．92°
【分析】
延长AB交PD与点M，过点C作CNAB，根据角平分线可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，根据平行线的性质可得∠AMD＝∠EDP＝y，再根据三角形的外角性质可得y－x＝44°，根据平行线的性质可得∠NCD＝180°－2y，∠NCB＝2x，最后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB即可求得答案．
【详解】
解：如图，延长AB交PD与点M，过点C作CNAB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵ABDE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵ABDE，CNAB，
∴CNDE，
∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CNAB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2(y－x)
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°．
【点拨】本题考查了平行线的性质及平行公理的推理，三角形的外角性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
22．①②③
【分析】
根据平行线的判定与性质和角平分线的定义逐一进行判断即可．
【详解】
解：如图，
∵ACBD，
∵∠2＝∠3
∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵CE平分∠DCM，
∴∠4＝∠5，
∵BC⊥CE．
∴∠4+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠3＝∠6，
∴CB平分∠ACD，故①正确；
∴∠1＝∠6，
ABCD，故②正确；
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BDC，故③正确；
如图，点P是线段BE上任意一点，
∵AB与PC不平行，CD与PM不平行，
∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，
∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确．
所以正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
23．①②
【分析】
求出∠EBD＋∠ABC＝90°，∠DBG＋∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝∠EBG＝α，根据平行线的性质得出∠EBD＋∠BDF＝180°，即可判断④．
【详解】
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，
∵BD平分∠EBG，
∴∠EBD＝∠DBG，
∴∠ABC＝∠GBC，
即BC平分∠ABG，故①正确；
∵AE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCG，
∵CB平分∠ACF，
∴∠ACB＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠GBC，
∴∠ACB＝∠GBC，
∴AC∥BG，故②正确；
与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误；
∵AC∥BG，∠A＝α，
∴∠EBG＝∠A＝α，
∵∠EBD＝∠DBG，
∴∠EBD＝∠EBG＝α，
∵AB∥CF，
∴∠EBD+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣α，
若，
则，
解得
则
，矛盾，
故④错误；
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
24．85°
【分析】
延长CO，交FE的延长线与点M，容易求出∠CMF=65°，根据三角形的外角求出∠MOE=10°，再根据邻补角及角平分线的定义求解即可．
【详解】
解：延长CO，交FE的延长线与点M，
∵∠BCD=50°，
∴∠ACD=180°-∠BCD=130°，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACM=∠ACD=65°，
∵AB∥EF，
∴∠CMF=∠ACM=65°，
∵∠QEF=∠CMF+∠MOE，∠QEF=75°，
∴∠MOE=75°-65°=10°，
∴∠COE=180°-∠MOE=170°，
∵OI、OH分别平分∠COG、∠EOG，
∴∠IOH=∠IOG+∠GOH=∠COE=85°，
故答案为：85°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理及作出正确的辅助线是解题的关键．
25．6
【分析】
根据角平分线的定义和平行线的性质求得的度数规律，然后代入求解．
【详解】
解：，
，
平分，
，
又平分，
，
．
，
，，
，
解得：，
故答案为：6．
【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，理解角平分线的概念，并通过探索发现题目数量间蕴含的规律是解题关键．
26．
【分析】
设，则，通过角的关系转化，可得，三角形内角和定理可得，求得目标角，再根据已知条件，求得即可求得．
【详解】
设
平分
，
平分
在中
，
即
解得
故答案为：
【点拨】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，找到是解题的关键．
27．59或121
【分析】
分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【详解】
解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝＝31°，
∴∠FGE＝31°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．
则∠PGF的度数为59或121度．
故答案为：59或121．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，准确计算是解题的关键．
28．165°
【分析】
过点E作，结合可得，根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，，由此即可求得答案．
【详解】
解：如图，过点E作，
又∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：165°．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
29．2∠H+∠ACF=180°
【分析】
延长EC，交DH于K，根据三角形外角的性质，平行线的性质即可得到90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，从而求得∠ACE，进而即可求得∠H与∠ACF之间的数量关系．
【详解】
解：延长EC，交DH于K，
∵∠EKD=∠HEC+∠H，∠ECD=∠EKD+∠HDC，
∴∠ECD=∠HEC+∠HDC+∠H，
∵DF∥AB，
∴∠B=∠BDG，
∵EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，
∴∠HEC=∠BEC，∠HDC=∠B，
∵∠BEC=∠A+∠ACE，
∴∠HEC=∠A+∠ACE，
∴∠ECD=∠A+∠ACE+∠B+∠H，
∵AC⊥BD，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ECD=45°+∠ACE+∠H，
∵AC⊥BD，
∴∠ECD=90°+∠ACE，
∴90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，
∴90°+∠ACE=2∠H，
∴90°+（90°-∠ACF）=2∠H，即2∠H+∠ACF=180°，
故答案为：2∠H+∠ACF=180°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质，是基础题．
30．
【分析】
过点P1作PG∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得，再根据角平分线的定义总结规律可得．
【详解】
解：过点作∥AB，可得∥CD，
设，，
∴，，
∴；
同理可得：，，...，
∵平分，平分，
∴，
，
...，
∴，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了平行线性质的应用和角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
31．52.5
【分析】
延长CO交PQ于点F，根据∠COE=∠CFE+∠OEF，结合平行线的性质，角的平分线的定义计算；
【详解】
延长CO交PQ于点F，则∠COE=∠CFE+∠OEF，
∵，，CO平分，EO平分，
∴∠BCF=30°，∠OEF=22.5°，
∵，
∴∠BCF=∠CFE，
∴∠COE=30°+22.5°=52.5°，
故答案为：52.5°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，三角形外角定理，延长构造三角形外角，活用平行线的性质是解题的关键．
32．64°．
【分析】
由角平分线的性质和平行线的性质，即可求出答案．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠B=32°，
∴∠ADB=∠B=32°．
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE=2∠ADB=64°，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE=64°．
故答案为：64°．
【点拨】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
33．35°
【分析】
过点F作，过点G作，利用平行线的性质和角平分线的定义即可求解.
【详解】
过点F作，过点G作，
∵平分，平分，
设，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴
故．
【点拨】本题考查平行线的性质，根据题意作出平行线是解题的关键．
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