数学七年级下册7.1.2平面直角坐标系导学案及答案

这是一份数学七年级下册7.1.2平面直角坐标系导学案及答案，共19页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
7.1 平面直角坐标系（知识讲解）
【学习目标】
1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.
3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.
【要点梳理】
要点一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
特别说明：：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).

特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.

特别说明：：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．

特别说明：：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
要点四、点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律

特别说明：：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【典型例题】
类型一、用有序对表示位置
1．如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，β)．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON=________；∠XON=________．
（2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形并求出AOB的面积．

【答案】（1）6，30°；（2）见解析，30
【分析】
（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；
（2）根据相应的度数判断出△AOB的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
解：(1)根据点N在平面内的位置N(6，30)可知，ON=6，∠XON=30°.
答案：6，30°
(2)如图所示：

∵A(5，30)，B(12，120)，
∴∠BOX=120°，∠AOX=30°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=5，OB=12，
∴△AOB的面积为OA·OB=30.
【点拨】本题考查了坐标确定位置及旋转的性质，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．
【变式】如图，写出表示下列各点的有序数对：
　3　，　　；；
　　，　　；　　，　　；
　　，　　；　　，　　；
　　，　　；　　，　　；
　　，　　．

【答案】3；7，3；10，3；10，5；7，7；5，7；3，6；4，8
【分析】用有序数对来表示，括号内的第1个数表示横坐标，第2个数表示纵坐标．
解：；；
；；
；；
；；
．
故答案：3；7，3；10，3；10，5；7，7；5，7；3，6；4，8．
【点拨】本题考查了点的坐标，关键是熟悉平面内用有序数对描述点的位置．
类型二、用有序对表示路线
2．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：
（1）（________，________），（________，________），（________，________）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置．

【答案】（1）+3，+4；+2，0；+1，-2；（2）见解析
【分析】
（1）根据规定及实例可知A→C记为（+3，+4），B→C记为（+2，0），C→D记为（+1，-2）；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可．
解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴A→C记为（+3，+4）；
B→C记为（+2，0）；
C→D记为（+1，-2）；
故答案为：+3，+4；+2，0；+1，-2；
（2）P点位置如图所示．
．
【点拨】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，小鱼家在处，小云家在处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走：
路线①：．
路线②：．

（1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短；
（2）请你依照上述方法再写出一条路线．
【答案】（1）作图见解析，长度相等；（2）作图见解析
【分析】
（1）根据有序实数对的意义即可画出路线①②，再利用平移的性质解答即可；
（2）画出路线（10，8）→（10，4）→（4，4）即可．
解：（1）路线①②如图所示．根据平移的性质可知它们的长度相等．
（2）（答案不唯一）画出路线③：，如图所示：

【点拨】本题考查了利用数对确定位置和路线，熟练掌握有序数对的意义是关键．
类型三、写出直角坐标系中点的坐标
3．已知点P（2m+4，m-1），分别根据下列条件求出点P的坐标；
（1）点P在x轴上；
（2）点P纵坐标比横坐标大3．
【答案】（1）点P的坐标为（6，0）；（2）点P的坐标为（-12，-9）
【分析】
（1）根据x轴上点的特征计算即可；
（2）根据纵坐标比横坐标大3列方程计算即可；
解：（1）因为点P在x轴上，
所以，
解得，
所以，
所以，点P的坐标为（6，0）；
（2）根据题意，得，
，
解得，
所以，
，
所以，点p的坐标为（-12，-9）；
【点拨】本题主要考查了坐标轴上点的特征，一元一次方程的计算，准确分析计算是解题的关键．
举一反三：
【变式】长方形的两条边长分别为8，6，建立适当的直角坐标系，并写出它的四个顶点的坐标．
【答案】作图见解析；，，，
【分析】
根据长方形的性质和边长建立平面直角坐标系即可得解；
解：根据题意可设正方形ABCD的长为8，宽为6，建立平面直角坐标系如下：


∴四个顶点的坐标分别为，，，；
【点拨】本题主要考查了建立平面直角坐标系和矩形的性质，准确作图计算是解题的关键．
类型四、写出点到坐标轴的距离
4已知点A(-2，3)，B(4，3)，C(-1，-3)
（1）求A，B两点的距离；
（2）点C到x轴的距离；
（3）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）6；（2）3；（3）18
【分析】
（1）由A与B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长即可；
（2）根据点C的坐标确定出C到x的轴的距离即可；
（3）过C作AB边上的高，根据坐标求出高，利用三角形面积公式求出即可．
解：（1）∵点A（-2，3），B（4，3），
∴AB平行于x轴，
AB=4-（-2）=6；
（2）∵点C坐标为（-1，-3），
∴点C到x轴的距离为|-3|=3；
（3）过C作CD⊥AB，
∵A（-2，3），B（4，3），C（-1，-3），
∴D(-1，3)，
∴CD=|-3-3|=6，AB=4-（-2）=4+2=6，
∴S△ABC=AB•CD=×6×6=18；

【点拨】本题考查两点间的距离，熟练掌握坐标与距离是解本题的关键．
举一反三：
【变式】已知点，若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】2021
【分析】根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可．
解：∵点在第二象限，
∴
又点P到x轴、y轴的距离相等
∴2a-2=-(a+5)，
解得：a=-1，
把a=-1代入a2020+2020，得1+2020=2021．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
类型五、判断点的位置
5.如图，建立平面直角坐标系，使点，的坐标分别为和，写出点，，，，的坐标，并指出它们所在的象限．

【分析】以点B为坐标原点建立直角坐标系，然后写出各点的坐标即可．
解：平面直角坐标系如图所示．，，，，．点在第二象限，其余各点都在第一象限．

【点拨】本题考查坐标与图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式】指出下列各点的横坐标和纵坐标，并指出各点所在的象限．
，，，．
【答案】点，，，的横坐标分别是2，，，3；点，，，的纵坐标分别是3，3，，；点在第一象限，点在第二象限，点在第三象限，点在第四象限．
【分析】根据已知的点的坐标直接解答即可．
解：点，，，的横坐标分别是2，，，3；点，，，的纵坐标分别是3，3，，；点在第一象限，点在第二象限，点在第三象限，点在第四象限．
【点拨】此题考查直角坐标系中点的横纵坐标，以及直角坐标系中点所在的象限，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键．
类型六、由点所在象限求参数
6 已知平面直角坐标系中一点
（1）当点P在轴上时，求出点P的坐标；
（2）当点在过点A（—4，—3）、且与轴平行的直线上时，求出点的坐标；
（3）当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值．
【答案】（1）点P的坐标为（0，9）；（2）点P的坐标为（-6，-3）；（3）或
【分析】
（1）根据在y轴上点的坐标特征：横坐标为0进行求解即可；
（2）根据点P（m-4，2m+1）在过点A（-4，-3），且与x轴平行的直线上，即点P（m-4，2m+1）在直线y=-3上，由此求解即可；
（3）根据当点P（m-4，2m+1）到两坐标轴的距离相，可以得到，由此求解即可．
解：（1）∵点P（m-4，2m+1）在y轴上，
∴m-4=0，
∴m=4，
∴点P的坐标为（0，9）；
（2）点P（m-4，2m+1）在过点A（-4，-3），且与x轴平行的直线上，
∴点P（m-4，2m+1）在直线y=-3上，
∴2m+1=-3，
∴m=-2，
∴点P的坐标为（-6，-3）；
（3）∵当点P（m-4，2m+1）到两坐标轴的距离相等时，
∴，
∴或，
∴或．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，点到坐标轴的距离，在y轴上点的坐标特征，平行与x轴的直线的特征，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解．
举一反三：
【变式】已知点，，根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点的坐标为，直线轴．
【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为，．
【分析】
（1）根据轴上的点横坐标为，列式求出的值即可得出结果；
（2）根据可得，求解即可．
解：（1）令，解得，
，
点的坐标为；
（2）令，解得．
，，
所以点的坐标为，．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知轴上的点横坐标为以及平行于轴上的点纵坐标相等是解本题的关键．
类型七、坐标系中描点
7 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，0），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC，△ABC的面积是 　　　；
（2）在（1）的条件下，延长线段CA，与x轴交于点M，则M点的坐标是　　　.（作图后直接写答案）

【答案】（1）见解析； 6；（2）作图见解析；（-1，0）．
【分析】
（1）根据A（0，1），B（3，0），C（3，4）在坐标系中描点即可；
（2）根据题意作图，由图知点Ｍ的坐标．
解：（1）如图，

△ABC的面积＝，
故答案为：6；
（2）如图，

设经过点A，C的直线为，代入A（0，1），C（3，4）得，



令，则
点M的坐标（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、一次函数的图象与坐标轴的交点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式】在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点依次用线段连接起来．
（1），，，，；
（2），，，，．
观察所得的图形，你觉得它像什么？
【答案】（1）像字母M；（2）像字母W．
【分析】先描出相应的点，再连接成图形，观察即可得答案．
解：（1）如图：

所得的图形像字母M；
（2）如图：

所得的图形像字母W；
【点拨】本题主要是对点的坐标的表示及正确描点、连线等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．
类型八、坐标与图形
8 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B在x轴上，顶点C在y轴上，且∠ACB＝90°．
（1）图中与∠ABC相等的角是 　 　；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求点C的坐标．

【答案】（1）∠ACO；（2）点C的坐标为(0，)．
【分析】（1）由同角的余角相等，可得到∠ABC=∠ACO；（2）利用面积法可求得CO的长，进而得到点C的坐标．
解：（1）∵OC⊥AB，∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BCO=∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ABC=∠ACO；
故答案为：∠ACO；
（2）∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴三角形ABC是直角三角形，∠ACB=90°
ABCO=ACBC，即CO==，
∴点C的坐标为(0，)．
【点拨】本题考查了同角的余角相等，面积法求线段的长，坐标与图形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
举一反三：
【变式】已知三角形ABC的三个顶点坐标为A（﹣4，0），B（2，0），C（1，2）
（1）求△ABC的面积
（2）若△ABD与△ABC面积相等，且点D在y轴上，求D的坐标

【答案】（1）6，（2）（0，2）或（0，-2）
【分析】
（1）过点C作CG⊥AB于G，根据三角形面积公式计算即可；
（2）根据△ABD与△ABC面积相等，则点D纵坐标与点C的纵坐标绝对值相同即可求．
解：（1）过点C作CG⊥AB于G，
∵三角形ABC的三个顶点坐标为A（﹣4，0），B（2，0），C（1，2），
∴AB=2-（-4）=6，CG=2，
SΔABC=12AB·CG=12×6×2=6．
（2）∵△ABD与△ABC面积相等，
∴CG=OD=2，
∴D的坐标为（0，2）或（0，-2），

【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，解题关键是树立数形结合思想，利用点的坐标求线段长．
类型九、点的坐标规律
9 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．

（1）填写下列各点的坐标A4　 　，A8　 　，A12　 　．
（2）写出点A4n的坐标（n为正整数） 　 　．
（3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是 　 　（填“向上”、“向右”或“向下”）．
【答案】（1）（2，0）；（4，0）；（6，0）；（2）（2n，0）；（3）向上
【分析】
（1）观察图形可知，A4，A8，A12都在x轴上，求出OA4、OA8的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2这一规律，写出点A4n的坐标即可；
（3）根据2020÷4=505，可知从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致．
解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上，
∵蚂蚁每次移动1个单位，
∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，
∴A4（2，0），A8（4，0）；A12（6，0）；
故答案为：（2，0）；（4，0）；（6，0）；
（2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2，这一规律写出，
∴点A4n的坐标（2n，0）；
故答案为：（2n，0）；
（3）∵2020÷4=505，即：点A2020与点A4的位置保持一致，
∴从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致，为向上，
故答案为：向上．
【点拨】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出A4n都在x轴上是解题的关键．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置看看它们在第几象限或哪条坐标轴上：
(1)点P(x，y)的坐标满足xy＞0；
(2)点P(x，y)的坐标满足xy＜0；
(3)点P(x，y)的坐标满足xy＝0.
【答案】(1)第一象限或第三象限；(2)第二象限或第四象限；(3)坐标轴上．
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
解：(1)点P(x，y)的坐标满足xy＞0，得点P在第一象限或第三象限；
(2)点P(x，y)的坐标满足xy＜0，得点P在第二象限或第四象限；
(3)点P(x，y)的坐标满足xy＝0，得点P在坐标轴上．
【点拨】此题主要考查直角坐标系内点的特点，解题的关键是熟知各象限与坐标轴上的点的特点.