初中数学人教版七年级下册5.2.2 平行线的判定学案设计

5.2  平行线及其判定（知识讲解）

【学习目标】

1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；

2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

【要点梳理】

要点一、平行线的定义及画法

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．

特别说明：

(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；

(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．

2.平行线的画法：

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.

要点二、平行公理及推论

1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

特别说明：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点三、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

特别说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【典型例题】

类型一、平行线定义的理解 

1．下列说法中，正确的是（    ）．

A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交

C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行

【答案】C

【分析】根据平面内两直线的位置关系：平行或者相交，逐一判断选项即可．

解：A选项，在同一平面内，两直线不相交则平行，不正确，不符合题意；

B选项，在同一平面内，两直线不平行则相交，不正确，不符合题意；

C选项，若两线段平行，那么它们不相交，正确，符合题意；

D选项，两条线段不相交，那么它们不一定平行，不正确，不符合题意，

故选：C．

【点拨】本题主要考查平面内两直线的位置关系：平行或者相交，属于基础题，掌握平面内两直线的位置关系是解题关键．

举一反三：

【变式1】 下列说法不正确的是（    ）

A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行

B．同一平面内，两条不相交的直线是平行线

C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直

D．平行于同一直线的两直线平行

【答案】A

【分析】根据平行线的定义，平行公理以及垂直的定义进行判断．

解：A、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故错误，符合题意；

B、同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故正确，不合题意；

C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故正确，不合题意；

D、平行于同一直线的两直线平行，故正确，不合题意；

故选A．

【点拨】本题考查了平行线的定义，平行公理以及垂直的定义，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．

【变式2】（1）在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作________．

（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有________、_________．

【答案】不相交        平行    相交   

【分析】（1）根据平行线的定义与几何语言即可得出结论；

（2）根据平面内相交线与平行线定义即可得出结论．

 解：（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作．

故答案为：不相交；．

（2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行、相交_．

故答案为：平行；相交．

【点拨】本题考查平行的定义与平面内两直线位置关系，掌握平行的定义与平面内两直线位置关系是关键．

类型二、平行线公理 

2．如图，AD∥BC，E为AB上一点，过E点作EF∥AD交DC于F，问EF与BC的位置关系，并说明理由.

【答案】EF∥BC，理由详见解析.

 【分析】根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．

解：EF∥BC.

理由：∵AD∥BC，EF∥AD，

∴EF∥BC.

【点拨】本题考查了平行公理，熟记平行公理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图所示，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？

【答案】理由见解析.

 试题分析:首先证明CD∥EF,进而证明AB∥EF,即可解决问题.

解：:因为AB∥EF,CD∥EF,所以CD∥AB.

【变式2】将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？

【答案】CD∥AB，理由见解析.

【分析】首先证明CD∥EF，进而证明AB∥EF，即可解决问题．

解答：CD∥AB.理由如下：

由题意易知CD∥EF，EF∥AB，

∴CD∥AB.

【点拨】本题主要考查了平行线的判定问题；灵活运用判定定理是解题的关键．

类型三、同位角相等，两直线平行 

3．如图，已知，，试说明．请将过程填写完整．

证明：∵

又（_____________）

∴_______（______________）

∴（______________）

又∵

∴______________．

【答案】对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF

【分析】若能得到，再由，则可得结论，由，可得，从而可证得，因而问题解决．

解：∵

又（对顶角相等）

∴∠2（等量代换）

∴（同位角相等两直线平行）

又∵

∴EF(平行于同一条直线的两条直线平行)

故答案分别为：对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF

【点拨】本题考查了平行线的判定、平行于同一直线的两条直线平行这一性质．

举一反三：

【变式1】 如图，直线a、b被直线c所截，，直线a与直线b平行吗？为什么？（写出每一步的理由依据）

【答案】平行，见解析

【分析】先根据对顶角相等得出，再由可得出，由此得出结论．

 解：．

理由：与是对顶角，（两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的方向延长线）

．（对顶角相等）

，（已知）

，（等量代换）

．（同位角相等，两直线平行）

【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，解题的关键是用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．

【变式2】如图，∠1=70°，∠2 =70°. 　说明：AB∥CD．

【答案】详见解析.

【分析】根据对顶角相等得到∠1=∠3，推出∠2=∠3，根据平行线的判定即可推出答案．

解：如图：

∵∠1=70°，

∴∠3=∠1=70°,

又∵∠2 =70°，

∴∠3=∠2=70°,

∴ AB ∥CD.

【点拨】考查对平行线的判定，对顶角的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用平行线的判定进行证明是解题的关键．

类型四、内错角相等，两直线平行 

4．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

证明：

∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（　        　）．

∵∠ABC＝∠ADC（　        　），

∴∠　        　＝∠　        　（等量代换）．

∵∠1＝∠3（　        　），

∴∠2＝∠　        　（　        　）．

∴AB∥DC（　        　）．

【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．

【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．

 证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），

∵∠ABC＝∠ADC（已知），

∴∠1＝∠2（等量代换），

∵∠1＝∠3（已知），

∴∠2＝∠3（等量代换），

∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．

【点拨】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

举一反三：

【变式1】 如图，已知平分，点D在射线上，且．判断与的位置关系，并说明理由．

【答案】BC∥DE；理由见解析

【分析】根据角平分线的定义和已知条件可得∠CBE=∠BED，再根据平行线的判定即得结论．

 解：BC∥DE；理由如下：

∵平分，

∴∠ABE=∠CBE，

∵，

∴∠CBE=∠BED，

∴BC∥DE．

【点拨】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．

【变式2】在四边形中，于点，过点作，分别交，于点，，若，求证：．

【答案】见解析

【分析】本题先利用垂直性质求证AG与CF平行，继而利用平行性质以及角的等量代换证明∠DAG与∠AGB相等，最后利用内错角相等求证AD与BC平行．

证明：∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

【点拨】本题考查平行线的证明，难度较低，通常利用同位角或者内错角相等求证平行，反之用平行性质求证角等．

类型五、同旁内角互补，两直线平行 

4．完成下面的证明：

如图，平分，平分，且，求证．

证明：∵平分（已知），

∴（       ）．

∵平分（已知），

∴________（       ）．

∴（ ）．

∵（已知），

∴________（       ）．

∴（       ）．

【答案】角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．

【分析】根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．

 解：平分（已知）

∴（角平分线的定义）

平分（已知）

∴2∠β（角平分线的定义）

∴（等式性质）

（已知）

∴180°（等量代换）

∴（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．

【点拨】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，，平分，平分，．

（1）求证：；

（2）与平行吗？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．

【分析】（1）根据平分的性质可得，，等角代换可得∠1＝∠CDF，根据内错角相等两直线平行求证结论；

（2）由（1）得AB∥BC，根据平行线的性质可得∠C＋∠ABC＝180°，可得∠C＋∠ADC＝180°，接根据平行线的判定定理即可求证结论．

 （1）证明：∵BE平分，平分,

∴，，

∵∠ABC＝∠ADC ，

∴∠2＝∠CDF，

∵∠1＝∠2 ，

∴∠1＝∠CDF，，

∴AB∥CD；

（2）AD∥BC，理由如下：

∵AB∥CD，

∴，

∵∠ABC＝∠ADC ，

∴∠ADC＋∠C＝180°，

∴AD∥BC，．

【点拨】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法及其性质定理．

【变式2】完成下面的证明：

已知：如图，平分平分，且．

求证：，

证明：平分(已知)

（                           ）

平分(已知)

（                           ）

（                           ）

(已知)

（                           ）

（                           ）

【答案】角平分线的定义；；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行

【分析】根据角平分线的性质及平行线的判定解决即可．

【详解】

解：平分(已知)

（角平分线的定义）

平分(已知)

（2∠β）

（等式的基本性质）

(已知)

（180°）

（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：角平分线的定义；；等式的基本性质；180°；同旁内角互补，两直线平行．

【点拨】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质及判定等，熟练掌握角平分线的性质及平行线的判定和性质是解决本题的关键．

类型五、垂直于同一直线的两直线平行

4．如图，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求证：CE⊥AB． 

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：由条件可证明FE∥BC，得到角之间的关系，从而可证得HG∥CE，可得出结论．

 证明：∵∠AEF=∠B， 

∴EF∥BC，

∴∠FEC=∠BCE=∠GHB，

∴GH∥CE，

∴∠CEB=∠BGH，

∵HG⊥AB，

∴∠CEB=∠BGH，

∴CE⊥AB 

举一反三：

【变式1】在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据。小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：

小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”

小琛说的是否正确？______（回答正确或错误）

小萱做法的依据是__________________

小冉做法的依据是__________________．

【答案】正确；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行或（垂直于同一直线的两条直线平行）

【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行去判定即可.

 解：小琛的说法正确，理由如下

小琛的做法的依据是内错角相等，两直线平行，故正确；

小萱做法的依据是同位角相等两直线平行；
小冉做法的依据是内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）；
故答案为：正确；同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）．

【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【变式2】在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC．

【答案】见解析

【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC．

 证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD，

∴CF∥AG，

∴∠BGA=∠BCF，

∵∠DAG=∠BCF，

∴∠BGA=∠DAG，

∴AD∥BC．

【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“垂直于同一直线的两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键