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2020-2021学年5.2.2 平行线的判定学案设计
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这是一份2020-2021学年5.2.2 平行线的判定学案设计，共31页。学案主要包含了平行公理的应用，平行公理推论的应用，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，垂直于同一直线的两直线平行等内容，欢迎下载使用。
知识点一、平行公理的应用
1．下列说法：
①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③同位角相等；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．下列说法中，错误的有（ ）．
①若与相交， 与相交，则与相交；
②若，那么；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
3．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，，则
知识点二、平行公理推论的应用
4．下列说法正确的个数是（ ）．
（1）两条直线不相交就平行；
（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．
A．0B．1C．2D．4
5．下列说法：
①同位角相等；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线一定平行；
④连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
6．已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（ ）
①②B．③④C．①②③D．②③④
知识点三、同位角相等，两直线平行
7．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是（ ）
A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°
8．如图所示，给出了过直线外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行．B．内错角相等，两直线平行．
C．同旁内角互补，两直线平行．D．以上都不对．
9．如图，下面哪个条件不能判断EF∥DC的是（ ）
∠1＝∠2B．∠4＝∠CC．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°
知识点四、内错角相等，两直线平行
10．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，．这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
11．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
12．如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点五、同旁内角互补，两直线平行
13．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判定BDAE的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCED．∠A+∠ABD＝180°
14．如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，CD，则下列条件不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠AED＝∠ACDB．∠ADE＝∠B
C．∠EDC＝∠DCBD．∠DEC+∠ACB＝180°
15．如图所示，下列条件（ ）成立时，．
B．C．D．
知识点六、垂直于同一直线的两直线平行
16．下列说法正确的个数为（ ）．
①一条直线的垂线只能画一条．
②垂直于同一直线的两条直线互相垂直．
③平面内，过线段外一点有且只有一条直线与垂直．
A．0B．1C．2D．3
17．已知，三条直线、、在同一平面内，下列命题是假命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
18．下列四个命题其中正确的个数是（ ）
①对顶角相等；②在同一平面内，若，与相交，则与也相交；③邻补角的平分线互相垂直；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题
知识点一、平行公理的应用
19．（1）平行公理是：____________________________________________．
（2）平行公理的推论是如果两条直线都与______________，那么这两条直线也________．即三条直线，若，则_________．
20．现有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若，，则；
④若，的两边与的两边分别平行，则或；
⑤若，，则．
其中正确的是_______（填写序号）．
21．如图，在三角形中，已知，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点到直线的距离为；③过点仅能作一条直线与垂直；④过直线外一点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的结论序号有________．
知识点二、平行公理推论的应用
22．在同一平面内，三条直线a、b、c，若a∥b，a∥c，则_____．
23．下列说法正确的是________（填序号）．
①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则________ ．
知识点三、同位角相等，两直线平行
25．如图，请写一个条件________________，使．（不添加辅助线）
26．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件____，则有CE∥DF，理由是____．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果___________，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：_________，两直线平行．
知识点四、内错角相等，两直线平行
28．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是___________．
29．在同一平面内，4条直线的位置如图所示，已知，请添加一个条件______，使（填一个即可）．
30．如图，要使，可以添加的条件是______（填写一个你认为正确的即可）．
知识点五、同旁内角互补，两直线平行
31．根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）
（1）（已知）∴______（__________________________________）
（2）_____（已知）（________________________）
（3）_______（已知） （______________________________）
（4）____（已知） （_______________________________）
32．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________．
这个判定方法2可简述为：____________，____________．
几何语言表述为：如图，_______________
（2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________．
这个判定方法3可简述为：___________，_________________．
几何语言表述为：______ ______
33．如图所示，若，则_______________，根据是_____________________．
知识点六、垂直于同一直线的两直线平行
34．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．
35．如图， a⊥c，b⊥c，则直线a、b的关系是________
36．若直线，则a与d的位置关系是_______．（填垂直或平行）
三、解答题
37．完成下面的证明：
如图，平分，平分，且，求证．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
∵平分（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．
38．如图，AB//CD．∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE，请你将下面解答过程填写完整．
解：∵AB//CD，
∴∠4= （ ）
∵∠3=∠4
∴∠3= （ ）
∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAE
即∠BAE= ．
∴∠3= ）
∴AD//BE（ ）
39．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分，，．求证：．
40．如图，四边形中，，平分，平分，试问与平行吗？为什么？
参考答案
1．B
【分析】
根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．
【详解】
解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；
②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；
③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；
其中正确的有④一共1个．
故选择B．
【点睛】
本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．
2．A
【分析】
依次判断所给内容的正误，即可得．
【详解】
解：①若a与c相交， b与c相交，则a与b相交；错误，符合题意，a与b还有可能平行，如图所示：
②若a//b，b//c那么a//c；正确，不符合题意；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误，符合题意；应为“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，”
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；错误，符合题意，因为垂直是相交的特殊情况，
综上，①③④错误，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线，解题的关键是熟记平行公理及其推论和平面内两条直线的位置关系．
3．A
【分析】
根据平行线的判定判断即可．
【详解】
解：A、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c，故正确；
B、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故错误；
C、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a⊥c，故错误；
D、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c，故错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的判定，平行公理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．B
【分析】
（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；
（2），根据平行线的定义进行判断即可；
（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．
【详解】
(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；
(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；
(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；
(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，
所以只有（4）一项正确，
故选：B．
【点睛】
本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．
5．C
【分析】
利用所学的公理，定理，判断选择即可.
【详解】
解:①根据平行线的性质:两直线平行，同位角相等；故此选项错误；
②根据垂线的性质:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；
③由平行的公理知:平行于同一条直线的两条直线一定平行，故本选项正确；
④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确；
所以正确的有②③④，
故选:C．
【点睛】
此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义等，正确把握相关定义是解题关键.
6．A
【分析】
根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．
【详解】
①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确；
②若则，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误；
④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误
故正确的有：①②
故选：A
【点睛】
本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系．
7．B
【分析】
根据平行线的判定定理分析即可．
【详解】
A、∠A和∠ACE是AB与CE被AC所截形成的内错角，则∠A＝∠ACE时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
B、∠B和∠ACE不属于AB与CE被第三条直线所截形成的任何角，则∠B＝∠ACE时，无法推出AB∥CE，符合题意；
C、∠B和∠ECD是AB与CE被BD所截形成的同位角，则∠B＝∠ECD时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
D、∠B和∠BCE AB与CE被BD所截形成的同旁内角，则∠B+∠BCE＝180°时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，理解并熟练运用平行线的判定定理是解题关键．
8．A
【分析】
由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答．
【详解】
解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．
9．C
【分析】
根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．
【详解】
选项A：因为∠1＝∠2，所以EF∥DC，故本选项能判断EF∥DC；
选项B：因为∠4＝∠C，所以EF∥DC，故本选项能判断EF∥DC；
选项C：因为∠1+∠3＝180°，所以ED∥BC，故本选项能不判断EF∥DC；
选项D：因为∠3+∠C＝180°，所以EF∥DC，故本选项能判断EF∥DC，
故选：C
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理的应用，考查了数学推理论证能力．
10．D
【分析】
利用三角形板的特征可确定，然后根据内错角相等，两直线平行可判断．
【详解】
解：如图，
由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行．
11．A
【分析】
由″内错角相等，两直线平行″即可求解．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴CD∥AB．
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行线的判定，熟记平行线判定定理是解题的关键．
12．D
【分析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【详解】
解：A、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B、根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
C、根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2属于直线AB和CD的内错角、同位角、同旁内角，无法判定AB∥CD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
13．A
【分析】
根据平行线的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】
解：A、与不是直线BD与AE被BC所截的同位角或内错角，若，不能判定，故本选项符合题意；
B、若，则可根据内错角相等，两直线平行判定，故本选项不符合题意；
C、若，则可根据内错角相等，两直线平行判定，故本选项不符合题意；
D、若，则可根据同旁内角互补，两直线平行判定，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
14．A
【分析】
同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行 ；同旁内角互补，则两直线平行；根据这三点对四个选项逐一判断．
【详解】
A、∠AED＝∠ACD，不能判定DE∥BC，不符合题意；
B、∠ADE＝∠B，同位角相等，则两直线平行，能判定DE∥BC，符合题意；
C、∠EDC＝∠DCB，内错角相等，则两直线平行，能判定DE∥BC，符合题意；
D、∠DEC+∠ACB＝180°，同旁内角互补，则两直线平行，能判定DE∥BC，符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查两直线平行的判定，掌握相关角度之间的关系推断平行时本题解题关键．
15．A
【分析】
根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．
【详解】
解：A、正确，根据内错角相等，两直线平行；
B、错误，由内错角相等，两直线平行，得出ABCD，而不是；
C、错误，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，即∠ABC＝∠ADC，无法说明；
D、错误，∠A＋∠C＝180°，但这两个角不是同旁内角，所以无法说明．
故选：A．
【点睛】
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
16．B
【分析】
根据平行线的性质与垂线的定义进行逐一判断即可．
【详解】
解：①一条直线的垂线能画无数条，此说法错误；
②垂直于同一直线的两条直线互相平行，此说法错误；
③平面内，过线段外一点有且只有一条直线与垂直，此说法正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．D
【分析】
根据垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行，逐条分析每个命题的真假即可．
【详解】
解：A、若a⊥c，b⊥c，则a∥b，是真命题；
B、若a∥c，b∥c，则a∥b，是真命题；
C、若a∥b，b⊥c，则a⊥c，是真命题；
D、若a⊥c，b⊥c，则a∥b，原命题是假命题；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查同一平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
18．D
【分析】
分别根据对顶角、邻补角、平行线的判定方法即可解答．
【详解】
①对顶角相等，正确；
②在同一平面内，若，与相交，则与也相交，正确；
③邻补角之和为180°，所以它们平分线的夹角为，即邻补角的平分线互相垂直，正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线定理，两直线位置关系和对顶角、邻补角等知识，熟练掌握定理并灵活运用是解题关键．
19．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 第三条直线平行 平行
【分析】
根据平行公理以及平行公理的推论解答即可．
【详解】
（1）平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，即三条直线，若，则．
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行，平行，．
【点睛】
本题主要考查了平行公理以及平行公理的推论，属于基础题，掌握平行公理以及平行公理的推论是解题的关键．
20．③④
【分析】
根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．
【详解】
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确；
若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确；
若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误．
所以其中正确的是③④．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
21．②③④
【分析】
根据同旁内角的定义，对①进行判断；根据三角形的面积公式，对②进行判断；根据垂线的性质对③进行判断；根据平行线的性质，对④进行判断
【详解】
解：与是直线AB和AC被直线BC所截的同旁内角，故①错误；
∵，，，，，
∴三角形的面积=ABAC==BCAD
∴34=5AD，∴AD=
∴点到直线的距离=AD=，故②正确；
∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴过点仅能作一条直线与垂直，故③正确
∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴过直线外一点有且只有一条直线与直线平行，故④正确
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查了点到直线的距离、同旁内角、平行线的性质、垂线的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识．
22．b∥c．
【分析】
根据平行线的判定得出即可．
【详解】
∵同一平面内三条直线a、b、c，a∥b，a∥c，
∴b∥c，
故答案为：b∥c．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理的应用，能熟记知识点（平行于同一直线的两直线平行）是解此题的关键．
23．②④⑥
【分析】
根据同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质即可依次判断．
【详解】
①两直线平行，同位角相等，故错误；
②对顶角相等，正确；
③在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
⑤如果直线，那么a,c的位置关系不确定，故错误；
⑥垂线段最短，正确；
⑦在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误．
故答案为：②④⑥．
【点睛】
此题主要考查同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质，解题的关键是熟知各自的性质及特点．
24．a∥c
【分析】
根据平行公理推论，即可求解．
【详解】
∵a，b，c是直线，且a∥b，b∥c
∴a∥c
故答案为：a∥c
【点睛】
本题考查了平行公理及推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
25．（答案不唯一）
【分析】
根据平行线的判定，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
也可以写： ．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
26．∠3=∠F 同位角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定定理可得．
【详解】
解：若∠3=∠F，则CE∥DF，
理由是：同位角相等，两直线平行，
故答案为：∠3=∠F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
27．同位角相等（答案不唯一） 同位角相等（答案不唯一）
【分析】
根据平行线的判定定理解答即可．
【详解】
两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：
两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等，那么这两条直线平行．
这个判定方法可简述为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，同位角相等．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定定理，属于基础题，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
28．内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定方法解决问题即可．
【详解】
解：由作图可知，
，
（内错角相等两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查作图，平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．
29．
【分析】
根据平行线的判定条件求解即可.
【详解】
解：∵AD∥BC
∴∠A=∠ABF=65°
故答案为：∠ABF=65°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件.
30．（答案不唯一，只要正确即可得分）
【分析】
根据平行线的判定方法即可解答．
【详解】
解：∵
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（答案不唯一，只要正确即可得分）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
31．AB CD 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 3 2 内错角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行
【分析】
（1）根据内错角相等，两直线平行得出即可；
（2）根据同旁内角互补，两直线平行得出即可；
（3）根据内错角相等，两直线平行得出即可；
（4）根据同位角相等，两直线平行得出即可．
【详解】
解：（1）（已知），
（内错角相等，两直线平行），
（2）（已知），
（同旁内角互补，两直线平行），
（3）32（已知），
（内错角相等，两直线平行）
（4）（已知），
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；3；2；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
32．内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 2 8 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 5
【分析】
（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可；
（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可．
【详解】
解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．
这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．
几何语言表述为：如图，∵∠2=∠8，∴AB//CD；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．
这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．
几何语言表述为：∵∠2+∠5=180° ，∴AB//CD．
故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
33．AD BC 同旁内角互补，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）回答即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键．
34．a1∥a100；
【分析】
从已知两直线的位置关系，运用平行线的性质，观察分析得几条特殊直线与a1的位置关系为a1∥a4，a1∥a5；a1⊥a2，a1 ⊥a3；且a1与an的位置关系是4为周期进行循环，下角标的余数为0或1时与a1平行，下角标的余数为2或3时与a1垂直，计算100=4×25，余数为0判定两直线的位置关系为a1∥a100．
【详解】
解：在同一平面内有直线两直线的位置，
关系是相交或平行，如图所示：
∵a1⊥a2，a2∥a3，
∴a1 ⊥a3，
又∵a3⊥a4，
∴a1∥a4，
又∵a4∥as，
∴a1∥a5，
又∵a5⊥a6，
∴a1⊥a6，
又∵a6∥a7，
∴a1⊥a7，
…
从以上的规律可知：a1与an的位置关系是4为周期进行循环，
若下角标的余数为0或1时与a1平行；若下角标的余数为2或3时与a1垂直．
∵100=4×25，
∴a1∥a100，
故答案为：a1∥a100．
【点睛】
本题综合考查了平行线的性质，同一平面内图形的变化规律，倍数和余数的运用等相关知识点，重点是掌握平行线的性质，难点是掌握由特殊到一般图形变化规律在几何中的运用．
35．a//b
【分析】
由图可知，两直线在同一平面内，根据a⊥c，b⊥c，即可得到a∥b．
【详解】
解：由图可知，两直线在同一平面内，
又∵a⊥c，b⊥c，
∴a∥b，
故答案为：a∥b．
【点睛】
本题考查平行线的判定，注意：在同一平面内，垂直与同一条直线的两直线平行．
36．平行
【分析】
作出图形，根据平行公理的推论解答．
【详解】
解：如图，∵a∥b，b⊥c，
∴a⊥c，
∵c⊥d，
∴a∥d，
故答案为：平行．
【点睛】
本题考查了平行公理，主要利用了垂直于同一直线的两直线平行，作出图形更形象直观．
37．角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】
根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．
【详解】
解：平分（已知）
∴（角平分线的定义）
平分（已知）
∴2∠β（角平分线的定义）
∴（等式性质）
（已知）
∴180°（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．
38．∠BAE；两直线平行，同位角相等；∠BAE；等量代换；∠CAD；∠CAD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的性质得出∠4=∠BAE，求出∠3=∠BAE，求出∠3=∠CAD，根据平行线的判定得出即可．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等），
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠BAE（等量代换），
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠3=∠CAD（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠BAE；两直线平行，同位角相等；∠BAE；等量代换；∠CAD；∠CAD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
39．证明见解析．
【分析】
根据角平分线定义可求，然后利用等量代换可得，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得．
【详解】
证明：∵CD平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
40．BE∥DF，理由见解析
【分析】
由四边形内角和得到∠ADC+∠ABC=180°，由平分和平分得到∠FDC+∠CBE=90°，再结合∠C=90°得到∠BEC+∠CBE=90°即可得到∠BEC=∠FDC，最后由同位角相等得到BE∥DF．
【详解】
解：∵，且四边形ABCD内角和为360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵平分，平分，
∴2∠FDC+2∠CBE=180°，
∴∠FDC+∠CBE=90°，
又∠C=90°，
∴∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠BEC=∠FDC，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了四边形内角和为360°，角平分线的概念，平行线的判定定理，同角的余角相等等知识点，熟练掌握各图形的性质和基本定理是解决本题的关键
知识点一、平行公理的应用
1．下列说法：
①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③同位角相等；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．下列说法中，错误的有（ ）．
①若与相交， 与相交，则与相交；
②若，那么；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
3．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，，则
知识点二、平行公理推论的应用
4．下列说法正确的个数是（ ）．
（1）两条直线不相交就平行；
（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．
A．0B．1C．2D．4
5．下列说法：
①同位角相等；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线一定平行；
④连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
6．已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（ ）
①②B．③④C．①②③D．②③④
知识点三、同位角相等，两直线平行
7．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是（ ）
A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°
8．如图所示，给出了过直线外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行．B．内错角相等，两直线平行．
C．同旁内角互补，两直线平行．D．以上都不对．
9．如图，下面哪个条件不能判断EF∥DC的是（ ）
∠1＝∠2B．∠4＝∠CC．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°
知识点四、内错角相等，两直线平行
10．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，．这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
11．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
12．如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点五、同旁内角互补，两直线平行
13．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判定BDAE的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCED．∠A+∠ABD＝180°
14．如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，CD，则下列条件不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠AED＝∠ACDB．∠ADE＝∠B
C．∠EDC＝∠DCBD．∠DEC+∠ACB＝180°
15．如图所示，下列条件（ ）成立时，．
B．C．D．
知识点六、垂直于同一直线的两直线平行
16．下列说法正确的个数为（ ）．
①一条直线的垂线只能画一条．
②垂直于同一直线的两条直线互相垂直．
③平面内，过线段外一点有且只有一条直线与垂直．
A．0B．1C．2D．3
17．已知，三条直线、、在同一平面内，下列命题是假命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
18．下列四个命题其中正确的个数是（ ）
①对顶角相等；②在同一平面内，若，与相交，则与也相交；③邻补角的平分线互相垂直；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题
知识点一、平行公理的应用
19．（1）平行公理是：____________________________________________．
（2）平行公理的推论是如果两条直线都与______________，那么这两条直线也________．即三条直线，若，则_________．
20．现有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若，，则；
④若，的两边与的两边分别平行，则或；
⑤若，，则．
其中正确的是_______（填写序号）．
21．如图，在三角形中，已知，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点到直线的距离为；③过点仅能作一条直线与垂直；④过直线外一点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的结论序号有________．
知识点二、平行公理推论的应用
22．在同一平面内，三条直线a、b、c，若a∥b，a∥c，则_____．
23．下列说法正确的是________（填序号）．
①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则________ ．
知识点三、同位角相等，两直线平行
25．如图，请写一个条件________________，使．（不添加辅助线）
26．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件____，则有CE∥DF，理由是____．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果___________，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：_________，两直线平行．
知识点四、内错角相等，两直线平行
28．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是___________．
29．在同一平面内，4条直线的位置如图所示，已知，请添加一个条件______，使（填一个即可）．
30．如图，要使，可以添加的条件是______（填写一个你认为正确的即可）．
知识点五、同旁内角互补，两直线平行
31．根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）
（1）（已知）∴______（__________________________________）
（2）_____（已知）（________________________）
（3）_______（已知） （______________________________）
（4）____（已知） （_______________________________）
32．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________．
这个判定方法2可简述为：____________，____________．
几何语言表述为：如图，_______________
（2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________．
这个判定方法3可简述为：___________，_________________．
几何语言表述为：______ ______
33．如图所示，若，则_______________，根据是_____________________．
知识点六、垂直于同一直线的两直线平行
34．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．
35．如图， a⊥c，b⊥c，则直线a、b的关系是________
36．若直线，则a与d的位置关系是_______．（填垂直或平行）
三、解答题
37．完成下面的证明：
如图，平分，平分，且，求证．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
∵平分（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴________（ ）．
∴（ ）．
38．如图，AB//CD．∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE，请你将下面解答过程填写完整．
解：∵AB//CD，
∴∠4= （ ）
∵∠3=∠4
∴∠3= （ ）
∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAE
即∠BAE= ．
∴∠3= ）
∴AD//BE（ ）
39．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分，，．求证：．
40．如图，四边形中，，平分，平分，试问与平行吗？为什么？
参考答案
1．B
【分析】
根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．
【详解】
解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；
②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；
③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；
其中正确的有④一共1个．
故选择B．
【点睛】
本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．
2．A
【分析】
依次判断所给内容的正误，即可得．
【详解】
解：①若a与c相交， b与c相交，则a与b相交；错误，符合题意，a与b还有可能平行，如图所示：
②若a//b，b//c那么a//c；正确，不符合题意；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误，符合题意；应为“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，”
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；错误，符合题意，因为垂直是相交的特殊情况，
综上，①③④错误，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线，解题的关键是熟记平行公理及其推论和平面内两条直线的位置关系．
3．A
【分析】
根据平行线的判定判断即可．
【详解】
解：A、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c，故正确；
B、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故错误；
C、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a⊥c，故错误；
D、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c，故错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的判定，平行公理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．B
【分析】
（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；
（2），根据平行线的定义进行判断即可；
（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．
【详解】
(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；
(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；
(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；
(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，
所以只有（4）一项正确，
故选：B．
【点睛】
本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．
5．C
【分析】
利用所学的公理，定理，判断选择即可.
【详解】
解:①根据平行线的性质:两直线平行，同位角相等；故此选项错误；
②根据垂线的性质:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；
③由平行的公理知:平行于同一条直线的两条直线一定平行，故本选项正确；
④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确；
所以正确的有②③④，
故选:C．
【点睛】
此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义等，正确把握相关定义是解题关键.
6．A
【分析】
根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．
【详解】
①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确；
②若则，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误；
④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误
故正确的有：①②
故选：A
【点睛】
本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系．
7．B
【分析】
根据平行线的判定定理分析即可．
【详解】
A、∠A和∠ACE是AB与CE被AC所截形成的内错角，则∠A＝∠ACE时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
B、∠B和∠ACE不属于AB与CE被第三条直线所截形成的任何角，则∠B＝∠ACE时，无法推出AB∥CE，符合题意；
C、∠B和∠ECD是AB与CE被BD所截形成的同位角，则∠B＝∠ECD时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
D、∠B和∠BCE AB与CE被BD所截形成的同旁内角，则∠B+∠BCE＝180°时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，理解并熟练运用平行线的判定定理是解题关键．
8．A
【分析】
由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答．
【详解】
解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．
9．C
【分析】
根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．
【详解】
选项A：因为∠1＝∠2，所以EF∥DC，故本选项能判断EF∥DC；
选项B：因为∠4＝∠C，所以EF∥DC，故本选项能判断EF∥DC；
选项C：因为∠1+∠3＝180°，所以ED∥BC，故本选项能不判断EF∥DC；
选项D：因为∠3+∠C＝180°，所以EF∥DC，故本选项能判断EF∥DC，
故选：C
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理的应用，考查了数学推理论证能力．
10．D
【分析】
利用三角形板的特征可确定，然后根据内错角相等，两直线平行可判断．
【详解】
解：如图，
由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行．
11．A
【分析】
由″内错角相等，两直线平行″即可求解．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴CD∥AB．
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行线的判定，熟记平行线判定定理是解题的关键．
12．D
【分析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【详解】
解：A、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B、根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
C、根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2属于直线AB和CD的内错角、同位角、同旁内角，无法判定AB∥CD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
13．A
【分析】
根据平行线的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】
解：A、与不是直线BD与AE被BC所截的同位角或内错角，若，不能判定，故本选项符合题意；
B、若，则可根据内错角相等，两直线平行判定，故本选项不符合题意；
C、若，则可根据内错角相等，两直线平行判定，故本选项不符合题意；
D、若，则可根据同旁内角互补，两直线平行判定，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
14．A
【分析】
同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行 ；同旁内角互补，则两直线平行；根据这三点对四个选项逐一判断．
【详解】
A、∠AED＝∠ACD，不能判定DE∥BC，不符合题意；
B、∠ADE＝∠B，同位角相等，则两直线平行，能判定DE∥BC，符合题意；
C、∠EDC＝∠DCB，内错角相等，则两直线平行，能判定DE∥BC，符合题意；
D、∠DEC+∠ACB＝180°，同旁内角互补，则两直线平行，能判定DE∥BC，符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查两直线平行的判定，掌握相关角度之间的关系推断平行时本题解题关键．
15．A
【分析】
根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．
【详解】
解：A、正确，根据内错角相等，两直线平行；
B、错误，由内错角相等，两直线平行，得出ABCD，而不是；
C、错误，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，即∠ABC＝∠ADC，无法说明；
D、错误，∠A＋∠C＝180°，但这两个角不是同旁内角，所以无法说明．
故选：A．
【点睛】
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
16．B
【分析】
根据平行线的性质与垂线的定义进行逐一判断即可．
【详解】
解：①一条直线的垂线能画无数条，此说法错误；
②垂直于同一直线的两条直线互相平行，此说法错误；
③平面内，过线段外一点有且只有一条直线与垂直，此说法正确；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．D
【分析】
根据垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行，逐条分析每个命题的真假即可．
【详解】
解：A、若a⊥c，b⊥c，则a∥b，是真命题；
B、若a∥c，b∥c，则a∥b，是真命题；
C、若a∥b，b⊥c，则a⊥c，是真命题；
D、若a⊥c，b⊥c，则a∥b，原命题是假命题；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查同一平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
18．D
【分析】
分别根据对顶角、邻补角、平行线的判定方法即可解答．
【详解】
①对顶角相等，正确；
②在同一平面内，若，与相交，则与也相交，正确；
③邻补角之和为180°，所以它们平分线的夹角为，即邻补角的平分线互相垂直，正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线定理，两直线位置关系和对顶角、邻补角等知识，熟练掌握定理并灵活运用是解题关键．
19．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 第三条直线平行 平行
【分析】
根据平行公理以及平行公理的推论解答即可．
【详解】
（1）平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，即三条直线，若，则．
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行，平行，．
【点睛】
本题主要考查了平行公理以及平行公理的推论，属于基础题，掌握平行公理以及平行公理的推论是解题的关键．
20．③④
【分析】
根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．
【详解】
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确；
若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确；
若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误．
所以其中正确的是③④．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
21．②③④
【分析】
根据同旁内角的定义，对①进行判断；根据三角形的面积公式，对②进行判断；根据垂线的性质对③进行判断；根据平行线的性质，对④进行判断
【详解】
解：与是直线AB和AC被直线BC所截的同旁内角，故①错误；
∵，，，，，
∴三角形的面积=ABAC==BCAD
∴34=5AD，∴AD=
∴点到直线的距离=AD=，故②正确；
∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴过点仅能作一条直线与垂直，故③正确
∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴过直线外一点有且只有一条直线与直线平行，故④正确
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查了点到直线的距离、同旁内角、平行线的性质、垂线的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识．
22．b∥c．
【分析】
根据平行线的判定得出即可．
【详解】
∵同一平面内三条直线a、b、c，a∥b，a∥c，
∴b∥c，
故答案为：b∥c．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理的应用，能熟记知识点（平行于同一直线的两直线平行）是解此题的关键．
23．②④⑥
【分析】
根据同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质即可依次判断．
【详解】
①两直线平行，同位角相等，故错误；
②对顶角相等，正确；
③在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
⑤如果直线，那么a,c的位置关系不确定，故错误；
⑥垂线段最短，正确；
⑦在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误．
故答案为：②④⑥．
【点睛】
此题主要考查同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质，解题的关键是熟知各自的性质及特点．
24．a∥c
【分析】
根据平行公理推论，即可求解．
【详解】
∵a，b，c是直线，且a∥b，b∥c
∴a∥c
故答案为：a∥c
【点睛】
本题考查了平行公理及推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
25．（答案不唯一）
【分析】
根据平行线的判定，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
也可以写： ．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
26．∠3=∠F 同位角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定定理可得．
【详解】
解：若∠3=∠F，则CE∥DF，
理由是：同位角相等，两直线平行，
故答案为：∠3=∠F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
27．同位角相等（答案不唯一） 同位角相等（答案不唯一）
【分析】
根据平行线的判定定理解答即可．
【详解】
两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：
两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等，那么这两条直线平行．
这个判定方法可简述为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，同位角相等．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定定理，属于基础题，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
28．内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定方法解决问题即可．
【详解】
解：由作图可知，
，
（内错角相等两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查作图，平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．
29．
【分析】
根据平行线的判定条件求解即可.
【详解】
解：∵AD∥BC
∴∠A=∠ABF=65°
故答案为：∠ABF=65°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件.
30．（答案不唯一，只要正确即可得分）
【分析】
根据平行线的判定方法即可解答．
【详解】
解：∵
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（答案不唯一，只要正确即可得分）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
31．AB CD 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 3 2 内错角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行
【分析】
（1）根据内错角相等，两直线平行得出即可；
（2）根据同旁内角互补，两直线平行得出即可；
（3）根据内错角相等，两直线平行得出即可；
（4）根据同位角相等，两直线平行得出即可．
【详解】
解：（1）（已知），
（内错角相等，两直线平行），
（2）（已知），
（同旁内角互补，两直线平行），
（3）32（已知），
（内错角相等，两直线平行）
（4）（已知），
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；3；2；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
32．内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 2 8 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 5
【分析】
（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可；
（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可．
【详解】
解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．
这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．
几何语言表述为：如图，∵∠2=∠8，∴AB//CD；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．
这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．
几何语言表述为：∵∠2+∠5=180° ，∴AB//CD．
故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
33．AD BC 同旁内角互补，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）回答即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键．
34．a1∥a100；
【分析】
从已知两直线的位置关系，运用平行线的性质，观察分析得几条特殊直线与a1的位置关系为a1∥a4，a1∥a5；a1⊥a2，a1 ⊥a3；且a1与an的位置关系是4为周期进行循环，下角标的余数为0或1时与a1平行，下角标的余数为2或3时与a1垂直，计算100=4×25，余数为0判定两直线的位置关系为a1∥a100．
【详解】
解：在同一平面内有直线两直线的位置，
关系是相交或平行，如图所示：
∵a1⊥a2，a2∥a3，
∴a1 ⊥a3，
又∵a3⊥a4，
∴a1∥a4，
又∵a4∥as，
∴a1∥a5，
又∵a5⊥a6，
∴a1⊥a6，
又∵a6∥a7，
∴a1⊥a7，
…
从以上的规律可知：a1与an的位置关系是4为周期进行循环，
若下角标的余数为0或1时与a1平行；若下角标的余数为2或3时与a1垂直．
∵100=4×25，
∴a1∥a100，
故答案为：a1∥a100．
【点睛】
本题综合考查了平行线的性质，同一平面内图形的变化规律，倍数和余数的运用等相关知识点，重点是掌握平行线的性质，难点是掌握由特殊到一般图形变化规律在几何中的运用．
35．a//b
【分析】
由图可知，两直线在同一平面内，根据a⊥c，b⊥c，即可得到a∥b．
【详解】
解：由图可知，两直线在同一平面内，
又∵a⊥c，b⊥c，
∴a∥b，
故答案为：a∥b．
【点睛】
本题考查平行线的判定，注意：在同一平面内，垂直与同一条直线的两直线平行．
36．平行
【分析】
作出图形，根据平行公理的推论解答．
【详解】
解：如图，∵a∥b，b⊥c，
∴a⊥c，
∵c⊥d，
∴a∥d，
故答案为：平行．
【点睛】
本题考查了平行公理，主要利用了垂直于同一直线的两直线平行，作出图形更形象直观．
37．角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】
根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．
【详解】
解：平分（已知）
∴（角平分线的定义）
平分（已知）
∴2∠β（角平分线的定义）
∴（等式性质）
（已知）
∴180°（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．
38．∠BAE；两直线平行，同位角相等；∠BAE；等量代换；∠CAD；∠CAD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的性质得出∠4=∠BAE，求出∠3=∠BAE，求出∠3=∠CAD，根据平行线的判定得出即可．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等），
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠BAE（等量代换），
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠3=∠CAD（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠BAE；两直线平行，同位角相等；∠BAE；等量代换；∠CAD；∠CAD；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
39．证明见解析．
【分析】
根据角平分线定义可求，然后利用等量代换可得，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得．
【详解】
证明：∵CD平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
40．BE∥DF，理由见解析
【分析】
由四边形内角和得到∠ADC+∠ABC=180°，由平分和平分得到∠FDC+∠CBE=90°，再结合∠C=90°得到∠BEC+∠CBE=90°即可得到∠BEC=∠FDC，最后由同位角相等得到BE∥DF．
【详解】
解：∵，且四边形ABCD内角和为360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵平分，平分，
∴2∠FDC+2∠CBE=180°，
∴∠FDC+∠CBE=90°，
又∠C=90°，
∴∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠BEC=∠FDC，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了四边形内角和为360°，角平分线的概念，平行线的判定定理，同角的余角相等等知识点，熟练掌握各图形的性质和基本定理是解决本题的关键
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