北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试达标测试

北师大版八年级数学下册

第一章　三角形的证明

单元测试训练卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(    )

A．∠B＝∠C           B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD

C．AD⊥BC，BD＝CD   D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD

2. 如图，等边三角形ABC中，D是AC边上的一点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则∠E的度数为(    )

A．15°    B．20°    C．30°    D．40°

3. 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形共有(    )

A．3个    B．4个    C．5个    D．6个

4. 下列说法中不正确的是(    )

A．三边相等的三角形是等边三角形

B．三个角相等的三角形是等边三角形

C．有一个角为60°的三角形是等边三角形

D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

5. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(    )

A．120°    B．90°    C．60°     D．30°

6. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(    )

A．3对    B．4对    C．5对    D．6对

7. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为(    )

A．4  B．2  C.  D．3

8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 (　　)

A．4 cm     B．3 cm     C．2 cm     D．1 cm

9. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为(    )

A．3  B．4  C．2  D．4.5

10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D，下列结论：①AC－BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD.其中，正确的个数有(    )

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝____．

12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为__  __．

13. 如图，等边△ABC中，AD是中线，DE⊥AC于点E，DE＝3，则点D到AB的距离为________　.

14. 如图所示的是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____秒．

15. 如图，AD垂直平分BC，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接CO并延长交AB于点E，若∠AOC＝125°，则∠AEO＝__   __．

16. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．

三．解答题（共6小题， 56分）

17．(6分) 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC的平分线AE和∠ACB的平分线CD相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．

18．(8分) 已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.

18．(1)如图①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；

(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.

19．(8分) 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.

(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；

(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．

20．(10分) 如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.

(1)求证：△ACD≌△BCE；

(2)延长BE至点Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．

21．(12分) 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．

22．(12分) 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：

(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由；

(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

参考答案

1-5DCDCD   6-10DCCBD

11．6

12．4

13．3

14．26

15．105°

16．100°

17．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.

18．证明：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′.在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)．∴∠COD＝∠C′O′D′，即∠A′O′B′＝∠AOB.

19．解：(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线．

(2)∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.

20．解：(1)证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝60°，即∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．

(2)作CH⊥BQ于点H，图略．则PQ＝2HQ.在Rt△BHC中，由(1)得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴CH＝BC＝4，在Rt△CHQ中，HQ＝＝＝3，∴PQ＝2HQ＝6.

21．(1)解：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ.∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.又∵BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ(SAS)．∴AP＝CQ.

(2)解：△PQC是直角三角形．理由如下：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a(a>0)，则PB＝4a，PC＝5a.在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.又由(1)知CQ＝PA，∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.∴△PQC是直角三角形．

22．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．理由：∵AB＝AC＝BC＝6 cm，∴当点Q到达点C时，AP＝3 cm，∴点P为AB的中点．∴QP⊥BA(等腰三角形三线合一的性质)　

(2)假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，则有BP＝BQ，∴6－t＝2t，解得t＝2，又∠B＝60°，∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形