专题31 特殊平行四边形【专题巩固】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全国通用)课件PPT
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专题31 特殊平行四边形 考点1:菱形的性质与判定1.(2021·安徽中考真题)如图,在菱形ABCD中,,,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH,利用勾股定理得出EF和OE的长,即可求出该四边形的周长.【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°,∵∠A=120°,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∠EOH=60°,由菱形的对边平行,得HF⊥AD,EG⊥CD,因为O点是菱形ABCD的对称中心,∴O点到各边的距离相等,即OE=OF=OG=OH,∴∠OEF=∠OFE=30°,∠OEH=∠OHE=60°,∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°,所以四边形EFGH是矩形;设OE=OF=OG=OH=x,∴EG=HF=2x,,如图,连接AC,则AC经过点O,可得三角形ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°,∴AE=,∴x=OE=∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,故选A.
2.(2021·陕西中考真题)如图,在菱形中,,连接、,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】设AC与BD的交点为O,由题意易得,,进而可得△ABC是等边三角形,,然后问题可求解.【详解】解:设AC与BD的交点为O,如图所示:∵四边形是菱形,∴,,∵,∴△ABC是等边三角形,∴,∴,∴,∴,∴;故选D.3.(2021·四川凉山彝族自治州·中考真题)菱形中,对角线,则菱形的高等于___________.【答案】【分析】过A作AE⊥BC,垂足为E,根据菱形的性质求出菱形边长,再利用菱形的面积公式得到方程,解之可得AE.【详解】解:如图,过A作AE⊥BC,垂足为E,即AE为菱形ABCD的高,∵菱形ABCD中,AC=10,BD=24,∴OB=BD=12,OA=AC=5,在Rt△ABO中,AB=BC==13,∵S菱形ABCD=,∴,解得:AE=,故答案为:.4.(2021·江苏镇江·中考真题)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长DA,BC,使得AE=CF,连接BE,DF.(1)求证:;(2)连接BD,∠1=30°,∠2=20°,当∠ABE= °时,四边形BFDE是菱形.【答案】(1)见解析;(2)当∠ABE=10°时,四边形BFDE是菱形【分析】(1)根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF;(2)先证明四边形BFDE是平行四边形,再通过证明BE=DE,可得结论.【解析】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠BAD=∠BCD,∴∠1=∠DCF,在△ABE和△CDF中,,∴△ABE≌△CDF(SAS);(2)当∠ABE=10°时,四边形BFDE是菱形,理由如下:∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF,AE=CF,∴BF=DE,∴四边形BFDE是平行四边形,∵∠1=30°,∠2=20°,∴∠ABD=∠1-∠2=10°,∴∠DBE=20°,∴∠DBE=∠EDB=20°,∴BE=DE,∴平行四边形BFDE是菱形,故答案为10.5.(2021·四川遂宁市·中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证:AE=CF;(2)请再添加一个条件,使四边形BFDE是菱形,并说明理由.【答案】(1)见解析;(2)EF⊥BD或EB=ED,见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明,则可得到AE=CF;(2)连接BF,DE,由,得到OE= OF,又AO=CO,所以四边形AECF是平行四边形,则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形.【详解】证明:(1)∵四边形是平行四边形∴OA=OC,BE∥DF∴∠E=∠F在△AOE和△COF中∴∴AE=CF(2)当EF⊥BD时,四边形BFDE是菱形,理由如下: 如图:连结BF,DE∵四边形是平行四边形∴OB=OD∵∴ ∴四边形是平行四边形∵EF⊥BD, ∴四边形是菱形6.(2021·浙江嘉兴市·中考真题)如图,在的正方形网格中,网格线的交点称为格点,在格点上,每一个小正方形的边长为1.(1)以为边画菱形,使菱形的其余两个顶点都在格点上(画出一个即可).(2)计算你所画菱形的面积.
【答案】(1)答案不唯一,见解析;(2)6或8或10(答案不唯一)【分析】(1)根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图;(2)利用菱形面积公式求解.【详解】解:(1)根据题意,菱形ABCD即为所求
(2)图1中AC=2,BD=6∴图1中菱形面积.图2中,AC=,BD=∴图2中菱形面积.图3中,∴图3菱形面积. 考点2:矩形的性质与判定7.(2021·江苏扬州市·中考真题)如图,在中,,矩形的顶点D、E在上,点F、G分别在、上,若,,且,则的长为________.【答案】【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB,证明△CGF∽△CAB,可得,证明△ADG≌△BEF,得到AD=BE=,在△BEF中,利用勾股定理求出x值即可.【详解】解:∵DE=2EF,设EF=x,则DE=2x,∵四边形DEFG是矩形,∴GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,∴,即,∴,∴AD+BE=AB-DE==,∵AC=BC,∴∠A=∠B,又DG=EF,∠ADG=∠BEF=90°,∴△ADG≌△BEF(AAS),∴AD=BE==,在△BEF中,,即,解得:x=或(舍),∴EF=,故答案为:.8.(2021·山东泰安市·中考真题)如图,将矩形纸片折叠(),使落在上,为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将边折起,使点B落在上的点G处,连接,若,,则的长为________.【答案】【分析】根据矩形的性质和正方形的性质,证明,从而,又因为,代入求解即可.【详解】解:∵四边形是矩形,, ∴,,,且四边形是正方形,∴, ∴,又∵,∴,∴ 又∵(折叠,∴,, , 设,则,∴ ,又∵是正方形对角线,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,解得:,即 ,∴. 故答案为:9.(2021·湖北十堰市·中考真题)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为_______.【答案】20.【详解】∵AB=5,AD=12,∴根据矩形的性质和勾股定理,得AC=13.∵BO为Rt△ABC斜边上的中线∴BO=6.5∵O是AC的中点,M是AD的中点,∴OM是△ACD的中位线∴OM=2.5∴四边形ABOM的周长为:6.5+2.5+6+5=20故答案为2010.(2021·江苏连云港市·中考真题)如图,点C是的中点,四边形是平行四边形.(1)求证:四边形是平行四边形;(2)如果,求证:四边形是矩形.【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)由平行四边形的性质以及点C是BE的中点,得到AD∥CE,AD=CE,从而证明四边形ACED是平行四边形;(2)由平行四边形的性质证得DC=AE,从而证明平行四边形ACED是矩形.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE,∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形;(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,∵AB=AE,∴DC=AE,∵四边形ACED是平行四边形,∴四边形ACED是矩形. 考点3:正方形的性质与判定11.(2021·重庆中考真题)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O做ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为( )A.1 B. C.2 D.【答案】C【分析】先证明,再证明四边形MOND的面积等于,的面积,继而解得正方形的面积,据此解题.【详解】解:在正方形ABCD中,对角线BD⊥AC,又四边形MOND的面积是1,正方形ABCD的面积是4,故选:C.12.(2021·重庆中考真题)如图,把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中,,直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,点M,N分别在AB和CD边上,MN与BD交于点O,且点O为MN的中点,则的度数为( )A.60° B.65° C.75° D.80°【答案】C【分析】根据斜边中线等于斜边一半,求出∠MPO=30°,再求出∠MOB和∠OMB的度数,即可求出的度数.【详解】解:∵四边形ABCD是正方形中,∴∠MBO=∠NDO=45°,∵点O为MN的中点∴OM=ON,∵∠MPN=90°,∴OM=OP,∴∠PMN=∠MPO=30°,∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°,∴∠BMO=180°-60°-45°=75°,,故选:C.13.(2021·四川自贡市·中考真题)如图,在正方形ABCD中,,M是AD边上的一点,.将沿BM对折至,连接DN,则DN的长是( )A. B. C.3 D.【答案】D【分析】延长MN与CD交于点E,连接BE,过点N作,根据折叠的正方形的性质得到,在中应用勾股定理求出DE的长度,通过证明,利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度,利用勾股定理即可求解.【详解】解:如图,延长MN与CD交于点E,连接BE,过点N作,∵,M是AD边上的一点,,∴,,∵将沿BM对折至,四边形ABCD是正方形,∴,,∴(HL),∴,∴,在中,设,则,根据勾股定理可得,解得,∴,,∵,,∴,∴,∴,,∴,∴,故选:D.
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