(通用版)中考数学一轮复习4.4《等腰三角形 优选训练题 (含答案)

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1．下列三角形，不一定是等边三角形的是( )
A．有两个角等于60°的三角形
B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形
D．边上的高也是这边的中线的三角形
2．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A．(1，1) B．(eq \r(3)，1)
C．(eq \r(3)，eq \r(3)) D．(1，eq \r(3))
3．若实数m，n满足|m－2|＋eq \r(n－4)＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )
A．12 B．10
C．8 D．10或8
4．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC等于( )
A．10° B．12.5°
C．15° D．20°
5．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
6．)如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝_______．
7．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于________°.
8．)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝______cm.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论：①∠ADC＝15°；②AF＝AG；③AH＝DF；④AF＝(eq \r(3)－1)EF.其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝eq \f(1,2)，则该等腰三角形的顶角为________度．
13．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB，AC于点D，E，且DE∥BC.若AB＝6 cm，AC＝8 cm，则△ADE的周长为______________．
14．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.
(1)求证：AE＝AF；
(2)求证：BE＝eq \f(1,2)(AB＋AC)．
15．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
参考答案
【基础训练】
1．D 2.D 3.B 4.C 5.D
6．30° 7.65 8.6
9．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∵D为AC的中点，∴AD＝DC.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝CD，,DE＝DF，))
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC.
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
【拔高训练】
10．D 11.B
12．36 13.14 cm
14．证明：(1)∵DA平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD∥EM，∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.
(2)如图，作CG∥EM，交BA的延长线于G.
∵EF∥CG，∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE.
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠G＝∠ACG，
∴AG＝AC.
∵BM＝CM，EM∥CG，∴BE＝EG，
∴BE＝eq \f(1,2)BG＝eq \f(1,2)(BA＋AG)＝eq \f(1,2)(AB＋AC)．
【培优训练】
15．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.
故∠B＝50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝(eq \f(180－x,2))°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
当eq \f(180－x,2)≠180－2x且180－2x≠x且eq \f(180－x,2)≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．